建立弹簧_质量_阻尼系统数学模型的数轴法.pdf

建立弹簧 质量 阻尼系统数学模型的数轴法 文章编号 1006 1355 2012 03 0059 04 建立弹簧 质量 阻尼系统数学模型的数轴法 白艳艳 张晓俊 太原理工大学 机械工程学院 太原 030024 摘要 提出一种建立弹簧 质量 阻尼系统其数学模型的简单方法 数轴建模法 即建立与系统平行方向的 数轴 把弹簧或阻尼器的实际位移值当做有理数标在数轴上对应位置 然后按照有理数比较大小的结果确定相应质量 块所受弹簧力或阻尼力的大小和方向 进而求得系统的微分方程 分别以单自由度系统 两自由度振动系统及多自由 度系统为例 阐述了数轴法在建立机械振动系统的数学模型中的应用 结果表明此方法在列写弹簧 质量 阻尼系 统的运动微分方程时非常有效 关键词 振动与波 机械振动 弹簧 质量 阻尼系统 数学模型 数轴 微分方程 中图分类号 TB535 TH113 1 O321文献标识码 ADOI编码 10 3969 j issn 1006 1355 2012 03 014 Numerical axis Method for Establishing the Mathematical Model ofNumerical axis Method for Establishing the Mathematical Model of Mass spring damper SystemMass spring damper System BAI Yan yan ZHANG Xiao jun College of Mechanical Engineering Taiyuan University of Technology Taiyuan 030024 China Abstract Abstract A simple method called Numerical Axis Method for establishing the mathematical models of the common mass spring damper systems was put forward In establishing the mathematical model a numerical axis parallel to the sys tem was built and the displacements of the spring or the damper were translated to the rational numbers which were marked on the numerical axis Then the magnitude and the direction of spring force or damping force applied to the corresponding mass was determined by comparing the two rational numbers mutually The application of this method on establishing the mathematical models of mechanical vibration systems was expatiated through a single degree of freedom DOF system a double DOF system and a multi DOF system The results show that this method was very efficient in establishing the kine matic differential equations of the mass spring damper systems Key words Key words vibration and wave mechanical vibration mass spring damper system mathematical model numeri cal axis differential equations 数学模型是定量地描述系统的动态特性 揭示 系统的结构 参数与动态特性之间关系的数学表达 式 1 其中 微分方程是基本的数学模型 2 不论 是机械的 液压的 电气的或热力学的系统等都可以 用微分方程来描述 微分方程的解就是系统在输入 作用下的输出响应 所以 建立数学模型是研究系 统 预测其动态响应的前提 3 事实上 工程科学的 共性是对工程问题引入假设或进行简化 运用基础 科学的基本原理建立数学模型 揭示工程问题的本 收稿日期 2011 05 07 修改日期 2011 08 08 作者简介 白艳艳 1973 女 山西省保德县人 讲师 硕 士 博士研究生 目前从事高速切削方面的研究 E mail sxbyy 质 并用于指导工程实践 4 通常情况下 列写机械振动系统的微分方程都 是应用力学中的牛顿定律 质量守恒定律等 弹 簧 质量 阻尼系统是最常见的机械振动系统 分 析这种系统时 首先要根据弹簧 阻尼器的物理意义 对与其固连的质量块进行受力分析 然后用牛顿第 二定律列写质量块对应的合力方程 从而得到系统 的数学模型 微分方程 在对质量块进行受力分 析时一般遵循这样的原则 1 弹簧受到外作用时 在线性范围内 弹簧力 的大小与弹簧的形变成正比 弹簧力的方向总是与 形变方向相反 2 阻尼器可以看作是一个活塞液压缸系统 当 59 2012年6月噪声与振动控制第3期 活塞和液压缸之间存在相对运动时 主动一方总要 受到另一方的阻尼力 对于线性阻尼器 阻尼力的 大小与阻尼器端点的相对移动速度成正比 外力作用下 当弹簧或阻尼器的两端点都产生 位移时 在确定弹簧形变方向和阻尼器端点相对移 动速度时 情况相对有点复杂 针对这一问题 本文 提出了一种利用数轴建立弹簧 质量 阻尼系统的 数学模型 微分方程的简单方法 称之为数轴建 模法 目前 利用数轴可以解决一些化学方面的问 题 5 6 也可解决一些数学中讨论起来相对繁琐的 问题 7 本文将数轴用于弹簧 质量 阻尼系统的 数学建模中 收到了很好的效果 1 1数轴建模法 弹簧 阻尼器 质量块是组成振动系统的理想元 件 在对实际机械结构进行振动分析时 有时可以 略去阻尼 系统简化为质量 弹簧系统 当物理系 统的质量很小时 系统就可近似成阻尼 弹簧环 节 图1 a 所示即为阻尼 弹簧环节 已知弹簧的刚 度为k 阻尼器的阻尼系数为c 输入为位移xi 系 统在输入位移作用下的输出设为xo 来看一下如 何用数轴法分析系统受力情况 进而列写系统的微 分方程 图1 弹簧 阻尼环节 Fig 1 Spring damper section 假设系统的A点处存在一个质量块m A 这样 可以通过分析其受力情况求得系统的微分方程 由于弹簧和阻尼器都是垂直放置的 故建立一 竖直数轴 先来看数轴的正方向朝下的情况 将弹 簧和阻尼器端点的位移顺序地标在数轴上对应位 置 如图1 b 所示 弹簧在一端受到输入位移xi作 用后 另一端点也有位移xo输出 属于两端都产生 位移的情况 按照数轴上xi xo的位置 质量块m A 受到的弹簧力大小为k xo xi 方向规定为与数轴 正方向的反方向 朝上 阻尼器一端固定 另一个端 点有位移输出 则阻尼器端点相对移动速度为x o 阻尼器施加给m A 的阻尼力的大小为cx o 方向朝 上 是阻尼器端点实际位移方向的反方向 如图1 c 所示 此种情况下列写m A 的受力方程 如式 1 所 示 k xo xi cx o mA x o 1 系统中 A 点处质量m A 很小 可以忽略 故令 m A 0 即可得到系统的微分方程为 cx o kxo kxi 2 如果建立的数轴正方向朝上 还是将弹簧和阻 尼器端点的位移顺序地标在数轴上对应位 置 如图 1 d 所示 根据数轴上xi xo的位置关系也可得到 对应的质量块m A 受到的弹簧力大小为k xi xo 方 向朝下 与数轴正方向相反 m A 所受的阻尼力大小 为cx o 方向朝上 是阻尼器端点实际位移方向的反 方向 此时对应的质量块m A 的受力情况如图1 e 所示 按此分析列写m A 的受力方程 如式 3 所示 k xi xo cx o mA x o 3 显然 式 1 和式 3 是等价的 同样可以求得 系统的微分方程为 2 式 因此 数轴正方向的任意 假设不影响结果的正确性 如果按照一般的物理方法来列写系统微分方 程 也需要取质量块m A 为脱离体 对其进行受力分 析 弹簧输入位移为xi 输出位移为xo 经过能量 损耗后 输出位移必定小于输入位移 故弹簧受压 m A 所受弹簧力向下 质量块受到弹簧压力使得阻尼 器的活塞杆向下移动 这样活塞杆将受到缸体施加 的向上的阻尼力 此阻尼力传到质量块m A 故m A 的受力分析简图如图1 e 所示 可见按照数轴法和 一般物理方法求得的系统微分方程是一致的 从上例可以看出 用数轴法分析系统受力 列写 弹簧 质量 阻尼系统微分方程时 我们无需考虑 弹簧的压缩或拉伸情况 也不用分析阻尼器内部活 塞和液压缸的相互运动情况 只需建立一个数轴 规 定原点 正方向和单位长度 把弹簧或阻尼器的输入 位移变量和输出位移变量当作有理数按照实际顺序 标在数轴上对应位置 这样弹簧力 阻尼力的大小分 别由以下公式计算 F K k xk 4 F C c x c 5 式中k 弹簧刚度 c 阻尼系数 xk 弹簧两端位移差的绝对值 建立弹簧 质量 阻尼系统数学模型的数轴法 x c 表示阻尼器端点的相对移动速度 而弹簧力或阻尼力的方向的确定遵循以下原 则 当系统中弹簧两端或阻尼器两端都有位移时 弹 簧力或阻尼力的方向与所建立的数轴正方向相反 当弹簧或阻尼器只有一端有位移时 弹簧力或阻尼 力的方向与弹簧或阻尼器端点的实际位移方向相 反 这种通过建立与系统平行方向的数轴 借助数 轴分析系统中质量块的受力情况 进而根据牛顿第 二定律列写系统微分方程的方法就称之为数轴建模 法 在建立弹簧 质量 阻尼系统数学模型时 这 种方法非常有效 当弹簧 质量 阻尼系统含有两个或两个以上 的质量块时 建立系统数学模型时需对每个质量块 进行受力分析 由于相邻质量块间存在负载效应 用数轴法对系统进行受力分析时需考虑第一个进行 受力分析的质量块如何选取 一般来说 前一个质 量块的受力分析总是从相邻的后一个质量块受力分 析开始 也就是说 第n个质量块的受力分析要先 考虑第n 1个质量块对其的作用 因此 可采取这 样一个方法 即 沿着输入量 力或位移 作用方向寻 找最后一个质量块 按照数轴法先分析其受力情况 然后逆实际运动方向依次分析其余质量块的受力情 况 进而按照牛顿第二定律列出每个质量块的受力 方程 然后联立即可得到系统的运动微分方程 2 2数轴法在建立弹簧 质量 阻尼系 统的数学模型中的应用 2 2 1 1 单自由度振动系统的数学模型的建立 图 2 单自由度系统 Fig 2 Single degree of freedom system 单自由度弹簧 质量 阻尼系统是最简单的振 动系统 它可用一个2阶常系数微分方程来描述 图2 a 所示为一单自由度系统 外界对振动系统的 激励是弹簧左端点的位移xi 设m的输出位移为 xo 试列写系统的动力学方程 步骤如下 1 建立一水平数轴 正方向可以任意假设 如图2 b 所示是正方向朝右的数轴 2 把弹簧k的输入 输出位移变量xi xo看作 有理数标在数轴上对应的位置 并以此为前提做质 量块m的受力分析简图 图2 b 所示数轴正方向朝 右 弹簧两端都有位移 故质量块m所受弹簧力方 向向左 大小为k xo xi 阻尼器只有一端有位移 故m承受的阻尼力大小cx o 阻尼力方向朝左 是阻 尼器端点实际位移方向的反向 质量块m的受力 情况可以用图2 c 描述 3 根据受力分析简图列写微分方程 按照图2 c 所示m的受力分析 参考图2 b 所 示数轴方向 列写微分方程如 6 式 k xo xi cx o m x o 6 从而求得系统的微分方程为 m x o cx o kxo kxi 7 2 2 2 2 两自由度振动系统的数学模型的建立 需要用两个独立坐标来描述其运动的振动系统 成为两自由度系统 两自由度振动系统的运动微分 方程可以用两个联立的二阶常系数微分方程来描 述 系统如图3 a 所示 输入为xi 输入作用下的输 出设为xo 试建立系统的数学模型 图 3 两自由度系统 Fig 3 Two degree of freedom system 假设在A B两点处有两个质量块m A 和m B 并 假设点B的位移为x 需要注意的是 在外力作用 下 m A 的输出受到后接m B的影响 也就是说mA 和 m B 之间存在负载效应 这时 分析受力时需根据实 际运动方向找到最后一个受力的质量块即m B 先分 61 2012年6月噪声与振动控制第3期 析其受力情况 再返回来分析质量块m A 的受力情 况 下面建立数轴分析系统受力 列写系统的微分 方程 建立如图3 b 所示正方向朝下的数轴 将输入 输出各位移值xi xo和x标在数轴上对应位置 则 相应的m A 和m B 的受力分析如图3 c 所示 m B 是 第一个受力分析的质量块 它受到弹簧力和阻尼力 的作用 其中 弹簧力的大小为k2x 方向朝上 是 弹簧实际位移方向的反方向 由于与m B相连的阻尼 器c2两端点都有位移 阻尼器的相对移动速度为 x x o 故mB所受阻尼力的大小为c2 x x o 方向 朝上 指向相应数轴正向的反方向 阻尼器c2对m A 的作用力与其对m B 的作用力大小相等 方向相反 另外m A还受到弹簧k1和阻尼器c1作用 由图3 b 所示的数轴可知弹簧k1给m A 的弹簧力大小为 k1 xo xi 阻尼器c1作用于m A 的阻尼力大小为 c1 x o x i 弹簧力和阻尼力的方向均向上 指向数轴 正方向的反向 由此得到系统的动力学方程为式 8 k2x c2 x x 0 c2 x x c1 x x 1 k1 x x1 0 8 2 2 3 3 多自由度振动系统的数学模型的建立 运用数轴建模法也可方便的建立多自由度振动 系统的数学模型 一个n自由度的振动系统的运动 方程是n个2阶相互耦合的的常微分方程 3 图 4 三自由度系统 Fig 4 Three degree of freedom system 三自由度系统如图4 a 所示 f1 t f2 t f3 t 是分别施加到质量块m 1 m2 m3的激励 x1 t x2 t x3 t 是相应的输出位移 试求系统的动力学 方程 我们来按照数轴法列写系统的动力学方程 需 要注意的是 由于质量块m 1 m2及m2 m3之间存 在负载效应 故需沿着受力方向寻找第一个受力分 析的质量块m 3 先分析其受力情况 再返回来依次 分析m 2 m1的受力情况 建立如图4 b 所示的数轴 正方向朝右 把弹簧 和阻尼器端点的位移值x1 t x2 t x3 t 顺序标在数 轴上相应位置 则质量块m 1