《二次函数》单元复习.docx

二次函数单元复习【知识点梳理】1. 二次函数的定义形如：（是常数，）的函数，叫做二次函数。解题关键：1.化为一般式 2. 2. 二次函数的图象和性质解析式顶点式：一般式：顶点对称轴直线直线最值增减性时时3. 求二次函数的解析式（1）一般式：.已知图像上三点或三对.的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.确定要求的二次函数解析式有几个未知数，几个未知数就要列几个方程。求解方程。4. 二次函数平移步骤：1.配成顶点式 2.平移口诀：x（左加右减），y（上加下减）5. 二次函数图象与系数a、b、c的关系a的符号：由开口方向决定开口向上，则a0；开口向下，则a0b的符号：由对称轴决定，“左同右异”原则：c的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定的符号：由抛物线与x轴的交点个数决定含a、b的代数式符号的确定：根据对称轴判断与的符号：是抛物线上的点(1，）的纵坐标，是抛物线上的点（1，abc）的纵坐标根据点的位置，可确定它们的符号.含a、c的代数式符号的判定：结合对称轴，将中的b代换成含a的代数式，进而算出x的值，找到特殊点含b、c的代数式符号的判定：利用对称轴将b代换成含a的代数式，转化为含a、c的代数式符号的判定6. 二次函数与方程（不等式）的关系7. 二次函数的应用（1）面积最大问题：（2）利润最大问题：解题步骤：列出函数关系式 写出自变量x的取值范围 求出对称轴 求最大值（分情况）【考点精讲】考点1：二次函数的定义形如：（是常数，）的函数，叫做二次函数。解题关键：1.化为一般式 2. 【典型例题】1. （三牧中学单元考）下列式子表示y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. （三牧中学周测）已知抛物线，则m的值是（ ）A. 2或5 B. 2 C. 5 D. 2或5【针对性练习】1.（时代中学单元考）下列函数中，是二次函数的是（）A B C D2.（时代中学单元考）若是关于x的二次函数，则a= 。 考点2：二次函数上的点解题关键：抓住关键词“图象经过点”、“点在图象上”将点代入解析式【典型例题】1. （三牧中学单元考）若二次函数的图像经过原点，则m= 2. （延安中学单元考）抛物线过点（2,4），则代数式的值为（） A. 2 B. 15 C. 2 D. 15【针对性练习】1. 函数的图象经过点（,8）,则的值为（ ） A. B. -2 C. 2 D.32.二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中（ ） A.(1，1) B.(1，1) C.(1，1) D.(1，1)3. 二次函数的图象经过点，则的值为 4.已知抛物线经过点（a，）和（-a，y1），则y1的值是 。 考点3：图像与坐标轴的交点或与其他函数的交点【典型例题】1.（延安中学单元考）抛物线与x轴的两个交点的坐标分别是 、 2.（时代中学单元考）抛物线与y轴的坐标交点是 3.（三牧中学单元考）直线与抛物线的交点坐标为 4.（延安中学单元考）抛物线与x轴的一个交点的横坐标为1，则a+c的值为 【针对性练习】1. 抛物线的顶点及它与x轴的交点三点连线所围成的三角形面积是 。2.直线与抛物线的交点坐标为 3.已知抛物线与x轴 交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B、C的坐标（2）P是x轴上的一个动点，连接PA、PB，问：是否存在点P使得PAB的面积为？若存在求出P点坐标；若不存在，请说明理由。 考点4：求顶点坐标、对称轴或最值问题解析式顶点式：一般式：顶点对称轴直线直线最（大/小）值【典型例题】1.（三牧中学单元考）抛物线的顶点坐标是（ ）A.(-1,3) B.(1,3) C.(-1,-3) D.（1，-3）2.（延安单元考）抛物线的开口向 ，对称轴是直线 ，有最 值，为 3.（延安单元考）请你用配方法将二次函数化成的形式，则y= 4.（周测）抛物线yx215有最_点，其坐标是_5.（周测）若抛物线yx22x2的顶点为A，与y轴的交点为B，则过A，B两点的直线的解析式为_6.抛物线的顶点在x轴上，则m=_.7.若二次函数的对称轴是直线x1，则 .【针对性练习】1. 抛物线的对称轴是（ ）A. 直线B. 直线 C. 直线 D. 直线2.抛物线的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 3.用配方法把化为的形式为 4.函数写成的形式是 。5.抛物线的顶点坐标是_,对称轴是_。6. 抛物线的对称轴为直线，则b= 7.二次函数的最小值为5，则c= 8.已知二次函数的最小值为，那么 9.抛物线的顶点在x轴上，则b的值一定是（ ） A.1 B.2 C.-2 D.2或-2考点5：函数的增减性常考题型：比较y值的大小解题关键：求出对称轴，判断开口方向（最大/小值），求出每个点的横坐标与对称轴的距离，从而进行比较y的大小【典型例题】1.（三牧中学单元考）与抛物线，当x0时，y随着x的增大而减小，则a的值是（） A B C- D0 2.若A（，y1），B（，y2），C（，y3）为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是( ) A. B. C. D. 1时，y随着x的增大而增大，当xl Cl Dl【针对性练习】1.抛物线的图像上有三个点（4，y），(-1,y)，(7,y) 则 y ,y ,y的大小关系为（）A y y y B y y yy D不能确定2.（时代中学）若点A（2013，y）B(-2013,y)在抛物线y=ax-2ax+1（a0）上，则y与y的大小 是（）A.yy B.yy C.y=y D.无法确定3.（2014屏东中考模拟）若二次函数，当x=2时取得最大值，且它的图像经过两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中，则y1与y2的大小关系是（ ）A. y1y2 D.以上都有可能 4.二次函数,当x3时，y随着x的增大而减小，当x2 Ch2 Dh2考点6：二次函数的平移口诀：左加右减；上加下减【典型例题】1.抛物线y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（ ） A y= (x+3)22 B. y= (x3)2+2 C y= (x3)22 D .y= (x+3)2+22.函数的y=-2(x-1)2-1图象可以由函数y=-2(x+2)2+3的图象经过先向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到。3.（三牧的周练）若抛物线沿着x轴向左平移2个单位，再沿y轴下移1个单位，则得到的新抛物线的顶点坐标是 。 4.将函数的图象向右平移a个单位，得到函数的图象，则a的值为（ ）A1 B2 C3 D4 5.(周测)二次函数的图象在坐标平面内绕顶点旋转180，再向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为_【针对性练习】1.直角坐标平面上将二次函数y-2(x1)22的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ）A. (0，0) B. (1，2) C.(0，1) D.(2，1)2.要得到抛物线，可将抛物线( )A向上平移4个单位 B向下平移4个单位 C向右平移4个单位 D向左平移4个单位3.（2014三牧二模）抛物线y=2x2是由抛物线y=2（x+1）2+2经过平移得到，则正确的平移是 ；4.二次函数的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为，则与分别等于（ ）A. 6、4 B. 8、14 C. 4、6 D. 8、14考点7：二次函数的对称性设点A,点B，对称轴为直线，则【典型例题】1.（时代中学单元考）某同学利用描点法画二次函数y=-ax+bx+c(a0)的图像时，列出部分数据如下表 x011.534y300.75n3请你根据上面的信息写出二次函数的开口方向 ，对称轴为 ，n= .2.若抛物线yax2bx2的图像经过点(2012,8)与（2，8），则对称轴为 ；当x=2014时，y= 3（时代中学单元考）抛物线与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是_.4.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 【针对性练习】1.二次函数满足以下表格，则此拋物线的对称轴是 x-1-2-3-4-5y024202.二次函数的图象上有两点(1，2)和（-7，2)，则此拋物线的对称轴是（ ）A x4 B. x-3 C. x4 D. x13.（三牧中学）已知抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（3，0）两点，则x1为（）A-3 B-2 C-1 D14.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 5.如图，这是抛物线的部分图象，它的顶点坐标为（-1，-2.42），则关于x的一元二次方程的两个根分别为1.2和 6.（三牧中学周测）如图，抛物线与x轴交于A，B，（A在B的左侧），当时，y_0.(填“”“0；b+2a=0；抛物线与x轴的另一个交点为（4,0）a+cb；3a+c0。其中正确的结论有（）A.5个 B.4个 C.3个 D.2个3.（2014年十八中中考模拟）已知二次函数的图像如图示，对称轴是直线且过（-3,0）.下列结论：；其中正确的有（ ）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【当堂检测】1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论：a+b+c0；ab+c0；b+2a0，其中所有正确结论的序号是（ ）A B C D 2.已知抛物线 (a0)的图象如图所示，则下列结论中：正确的个数是（ ） a，b同号；当x1和x3时，函数值相同；4ab0;当y2时，x的值只能取0 A1 B2 C3 D43.（2010福州中考） 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列结论正确的是Aa0 Bc0 Cb24ac0 Da+b+c0 第1题 第2题 第3题4抛物线中，b4a，它的图象如图，有以下结论：； ；其中正确的为（ ） A B C D5已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论:；其中，正确结论的个数是（ ）A2个 B3个 C4个 D5个6. （三牧单元考）已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：b2-4ac0；abc0；9a+3b+c0；a+c0，b0时，它的图象经过()A. 一、二、三象限B. 一、二、四象限 C一、三、四象限 D. 一、二、三、四象限 15. 若b0，则二次函数的图象的顶点在 （ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限16. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论：a+b+c0；ab+c0；b+2a0，其中所有正确结论的序号是（ ）A B C D 17. 若抛物线的顶点在第一象限，与轴的两个交点分布在原点两侧，则点（，）在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限18. 已知二次函数yax2bxc经过一.三.四象限（不经过原点和第二象限）则直线不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C. 第三象限D第四象限考点10：二次函数与方程（不等式）的关系二次函数的图象与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根 二次函数y=ax2+bx+c(a0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的关系. ax2+bx+c=0根的情况y=ax2+bx+c与x轴的交点 = b2-4ac0有两个不相等的根有两个不同的交点 = b2-4ac=0有两相等的根只有惟一的一个交点 = b2-4ac -x2+2x+3 ； 当x 时， x+1 -x2+2x+3.9.（2014十六中中考模拟）二次函数的部分对应值如下表：x-3-2-1012345y1250-3-4-30512利用二次函数的图像可知，当函数值时，的取值范围是 。10.（2011福州二检）已知二次函数yx2bxc的对称轴为直线x1，且图象与x轴交于A、B两点，AB2若关于x的一元二次方程x2bxct0(t为实数)，在2x的范围内有实数解，则t的取值范围是_yxO1【当堂检测】1.二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）一元二次方程 的解是 ；（2）时， x的取值范围是 ；（3）时， x的取值范围是 2.（时代小测）抛物线y=-x+bx+c的部分图像如图所示，若y0，则x的取值范围是（） A.-4x1 B.-3x1 C.x1 D.x1 第2题 第3题 第4题 第5题3.（三牧）如图是抛物线的部分图象，由图象可知不等式的解集为（ ）A. B. C. D.4.（三牧单元考）已知抛物线的图像如图，根据其中提供的信息，可求的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 或5.（三牧）抛物线如图所示，当时，下列说法正确的是（ ）A,. y有最小值5，最大值0 B. y有最小值0，最大值6 C. y有最小值2，最大值6 D. y有最小值3，最大值66.（延安中学）已知抛物线经过A、B、C三点，当时，其图象如图所示（1）求抛物线的解析式；（2）画出抛物线当时的图象；（3）利用图形回答：当 时，y07.（2014十六中二模）二次函数的部分对应值如下表：x-3-2-1012345y1250-3-4-30512 利用二次函数的图像可知，当函数值y0时，x的取值范围是（ ）A x0或x2 B0x2 C x-1或x3 D -1x38.（延安模拟）已知二次函数yx2bx的对称轴为直线x-1，若关于x的一元二次方程x2bxt0(t为实数)，在3x的范围内有实数解，则t的取值范围是_9. 二次函数的对称轴为x=1。若关于x的一元二次方程（b为实数）在-1x4的范围内有解，则t的取值范围是_.考点10：二次函数的应用：1.面积最大问题：2.利润最大问题：解题步骤：1.列出函数关系式 2.写出自变量x的取值范围 3.求出对称轴 4.求最大值（分情况）【例题精讲】面积最大问题：1.如图所示，一边靠校园院墙另外三边用总长为50m的篱笆围成一个长方形的场地，设垂直于院墙的边长为xm.(1)写出长方形场地的面积y(m2)与x(m)的函数表达式；(2)请你说出边长是多少时，长方形的面积最大。2.要在一面靠墙（墙长11米）的空地上，用长为16米的篱笆围成一个矩形花园。设与墙平行的一边BC的长为x米，面积y平方米。（1） 若矩形花圃的面积为30平方米，求BC的长；（2）若与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度，问BC边应为多少米时，才能使矩形花圃ABCD所占地面面积最小，并求出此时最小的面积3.（三牧单元考）用12米长的栅栏围成一个中间被隔断的矩形鸭舍（栅栏占地面积忽略不计）如图,若现有一面长4m的墙可以利用，其余三方及隔断使用栅栏，所围成两间鸭舍面积和的最大值是多少?4.如图，陈叔叔准备利用一面长15米的墙和40米长的篱笆围成4个相连且面积相等的矩形养马场（1） 设每个小矩形一边的长为x米，则小矩形的另一边长为 米；（用含x的代数式表示）（2） 设四个小矩形的总面积为y平方米，当x为何值时，y有最大值，并求出最大值利润最大问题：1.每件进价为100元的商品按150元出售，一天可售出10件，若想通过降价和增加销量的办法来提高利润，经调查发现，商品单价每降低10元，其销售量可增加5件，问商品售价降低多少时，能使销售利润最大？ 2.（2013.盐城，10分）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系求y与x之间的函数关系式；请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润=销售收入进货金额）【当堂检测】1.空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园靠墙的一边长为x(m)，花园的面积为y(m2)。（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由：（3）根据(1)中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？2.（十八中期中）（12分）王大爷要围成一个如图所示的矩形ABCD花圃花圃的一边利用20米长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成设AB边的长为x米，BC的长为y米，且BCAB（1）求y与x之间的函数关系式（要求直接写出自变量的取值范围）；（2）当x是多少米时，花圃面积S最大？最大面积是多少？3.（2014成都）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值4.每件进价为100元的商品按150元出售，一天可售出10件，若想通过降价和增加销量的办法来提高利润，经调查发现，商品单价每降低10元，其销售量可增加5件，问商品售价降低多少时，能使销售利润最大？5.某旅社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后提高租金，经市场调查，如果每间客房的日租金提高5元，则旅社每天租出的客房会减少6间，不考虑其它因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金收入增加多少元？6.（延安期末模拟）（3+3+4）丽江古城某客栈客房部有20套房间供游客居住，当每套房间的定价为每天120元时，房间可以住满。当每套房间的定价每增加10元时，就会有一套房间空闲，对有游客入住的房间，客栈需对每套房间每天支出20元的各种费用。设每套房间每天的定价增加x元。求：（1）房间每天的入住量y（套）关于x元的函数关系式；（2）该客栈每天的房间收费总额z元关于x元的函数关系式；（3）该客栈客房部每天的利润w元关于x元的函数关系式；当每套房间定价为每天多少元是，w有最大值？最大值是多少？7.某商品的进价为每件40元当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件在确保盈利的前提下，解答下列问