“角平分线的性质”（一）教学设计.docx

“角的平分线的性质”第1课时教学设计天津开发区国际学校 何 韬一、内容和内容解析1.教学内容角平分线的性质：角的平分线的点到角的两边的距离相等.2.教学内容的地位和作用本节课是新人教版教材数学八年级上册第12章3节第一课时的内容。角的平分线的性质是角平分线的概念和全等三角形知识的运用和延续，它为后面证明线段相等、角相等的几何证明提供了一种新的、更为简单的证明方法.本节分为两课时：第一课时让学生动手探究角的平分线的画法、角的平分线的性质；第二课时主要探究角的平分线的判定，并在此基础上进行简单应用.用尺规作一个角的平分线，是利用三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；性质的证明，运用了 “角角边”判定方法和全等三角形的性质。角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式, 即利用角的平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等。基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索角的平分线的作法，并证明角的平分线的性质。二、目标和目标解析1、教学目标（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；体会建模思想。（2）探索并证明角的平分线的性质；（3）能用角的平分线的性质解决简单问题。2、目标解析目标（1）要求学生明确尺规作图的基本要求，知道用尺规作图作角的平分线的方法与原理，能在教师的引导下用尺规作出一个已知角的平分线。目标（2）要求学生能在教师的引导下通过观察、测量等方法，发现角的平分线的性质，能准确表达性质的内容，能正确地写出已知、求证，能运用三角形全等的“AAS”判定方法和全等三角形的性质证明角的平分线的性质。目标（3）要求学生能利用角的平分线的性质构造全等三角形，证明与线段相等有关的简单问题。三、教学问题诊断分析（1）在利用平分角的仪器的原理探究角的平分线的作法中，学生在作图时出现两弧不相交的问题，角的平分线画成直线或线段等问题.（2）在探究角的平分线的性质证明过程中,学生遇到困难，原因是学生第一次接触命题的证明，不知道命题的证明该从何下手，不易分清角的平分线性质的条件和结论。因此教师可以鼓励学生在组内相互探讨、交流，从而找到性质的证明方法，同时在探究过程中总结出命题的证明步骤.而在证明的过程中，重点引导学生结合图形分析猜想的已知、求证。以及得出性质之后，用符号语言加以表示，并归纳出证明命题的一般步骤。根据以上分析，将本节课的教学难点定为：1. 如何有平分角的仪器通过数学建模找到尺规作平分线的方法；2.如何证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质。四、教与学互动设计（一）导入：前面我们学习了全等三角形，今天我们将研究角的平分线的性质问题1如果在纸上任意画出一个角，你会用什么方法很快找到它的角平分线？ 如果在黑板上画出一个角呢？【师生活动】学生思考回答，教师演示。可能方法：折纸、量角器，尺规，刻度尺，三角板等【设计意图】利用角平分线的概念，师生从生活入手，探索交流找角平分线的方法，引入课题。问题2我手中拿着一个仪器，大家看看它像个什么？边和角有什么特点？ 这是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A（点A也可与C交换位置）放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，画一条射线AE，AE就是DAB的平分线. 你能说明它的道理吗? 【师生活动】学生观察仪器特点并说明仪器的特点，教师在黑板上展示仪器的使用，学生观看，模仿，思考。【设计意图】分析仪器特点以及后面隐藏的道理，为后面尺规作图打下基础，培养数学建模的思想和方法。（二）新课1、探究一：角的平分线的作法问题3 如果没有此仪器，如何找到角的平分线？我们用数学的作图工具，能不能实现仪器的功能呢？请大家试着做一做，找到用尺规作出角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系。可以与同伴交流。已知：MON求作：MON的角平分线.作法：（1）以 为圆心， 为半径画弧，交OM于A，交ON于B.（2）分别以A、B为圆心， 的长为半径画弧，两弧在 交于点C.（3）画射线OC. 射线OC即为所求.【师生活动】学生在纸上，黑板上作图，小组交流总结作法，然后上台分享作法。教师巡视指导。【设计意图】由平分角的仪器，转化为数学上的作图，是一个建模的训练。在问题引导下思考交流并动手实践，是达成建模的有效方法和途径。问题4：做练习，并书写心得1、利用上面的方法作出角MON的平分线； 2、过点O作直线MN的垂线. 心得：“过直线上一点作这条直线的垂线”可以将其视为“作平角的角平分线”来实现。【师生活动】学生作图，并将作法补充完整。教师巡视，各组书写正确的同学作为组长检查并辅导本组其他同学正确理解和书写。【设计意图】练习1为作图，练习2目的可转化为作平角的角平分线来理解，同时改变有孩子误认为只用尺规作出锐角直角的平分线的思维定势。 一方面学生在观察，体验，交流后马上练习，起到落实和加深理解的作用；另一方面找到与作垂线的联系和转化，一举两得。2、探究二：角的平分线的性质问题5：如前面第一个图，现假设有一个情境如下：在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建一条到公路，怎样修才能使路最短? 再修一个路到铁路，怎样修才能使路最短？子问题：直觉上你感觉哪一条路更短些？有了这种直觉之后，数学课中我们可能想试图去证明，而生活中我们往往是先通过多次测量来验证我们的直觉。我们测量一下试试，在图中测量这两段路，看看有什么结论？ 子问题：如果改变角度的大小呢？子问题：如果改变P到顶点的距离呢？ 子问题：通过以上测量，你发现了角的平分线的点具备什么性质？【师生活动】教师在黑板上测量示范，然后在几何画板软件中改变角度大小，改变P的位置多次测量。学生观察后进一步强化这种直觉判断，得出性质的猜想。【设计意图】营造生活情境，转化成数学问题，培养建模思想；不断改变多种元素，并且多次测量来观察进行归纳猜想，是发现自然规律的一般方法；角的平分线的性质猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.问题6：这个猜想如何证明呢？子问题：对于这种几何文字命题，我们的证明步骤是什么？证明步骤： 明确命题中的已知和求证； 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证;已知：如图，AOC=BOC，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为点D、E.求证: PD=PE.M经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.证明： PDOA，PE OB (已知) PDO= PEO=90(垂直的定义)在PDO和PEO中 PDO= PEO（已证） AOC= BOC （已证）OP=OP （公共边） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的对应边相等）【师生活动】师生活动大致如下几步：1、学习命题证明的一般思路和方法，学生根据图形陆续说出已知条件；2、教师将它们与命题中的关键词一一对应，以便不断补充，确定已知条件的完整性。3、学生在学案上进行证明，一同学在黑板上书写步骤。4、之后师生共同点评，纠正书写格式的问题。5、各组书写正确的同学作为组长检查并辅导本组其他同学，确定本组同学理解并书写正确。【设计意图】先猜后证，是数学严谨性的体现，此过程设计恰好给学生强化此意识和方法的机会。在命题证明的过程中，正好可以突出性质定理的使用条件，并注意规范书写。练习：（教师出题，当场反馈）（1）下面四个图中,点P都在AOB的平分线上,则图形_ 中PDPE. ABCD(2)下图中,PDOA,PEOB，垂足分别为点D、E，判断图中PD是否等于PE ? ( 是， 否) 子问题：角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题?【师生活动】学生做题，回答，并说明理由。【设计意图】练习(1)突出性质定理使用的“距离”（即垂线段）条件；练习(2)突出性质定理中的“角平分线”条件，以巩固学生对定理使用条件的理解。3、角的平分线性质的应用（课件）（1）如图1,ABC中，C90，BD平分ABC，CD3cm，则点D到AB的距离为 cm图3图1图2 （2）变式，如图2,ABC中，C90，BD平分ABC，DEAB，垂足为点E，AC=8cm， 则AD+DE= cm. （3）变式，如图3,ABC中，C90，BD平分ABC，DEAB于E，F在BC上，AD=DF求证：CF=EA （2）如图4，ABC，若A与B的平分线交于一点O ，判断点O到三边的距离是否相等，并说明理由。变式：如图5， BD为ABC一个外角的平分线，AD平分A，判断点D到ABC三边所在直线的距离是否相等，并说明理由。（备用）变式：如图6，ABC的ABC的外角的平分线BD与ACB的外角的平分线CE相交于点P. 判断点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离是否相等，并说明理由。 图4图5图6【师生活动】学生在平板上解答，然后学生上台展示讲解自己的解题方法。 【设计意图】练习1层层递进应用性质；练习2则由两内角平分线交点，拓展到内外角平分线交点，外角平分线交点，层层递进地把角平分线的性质定理运用于三角形当中，加强应用的灵活性。学生展示可以暴露问题，或者分享解题思路（三）目标检测（教师出题）1.如图，用尺规作图作出MAN的平分线，在以B、D为圆心画弧时，选取的半径长度应该：（ ）A任意长度B.小于BD C. 等于ABD.大于二分之一BD2.如图， P是AOB的平分线上的一点，PCOA，PDOB，垂足分别是C，D，下列结论不一定成立的是（ ）AAOP =BOPB. PC=PD C. OPC =OPDD. OP=PC+PD3.如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F. 则图中有几组相等的线段? A. 3 B. 4 C. 5D. 6 【师生活动】学生在平板上回答并通过电子书包及时反馈到系统进行统计分析，教师就问题同学找出原因。【设计意图】及时检测本节课上课效果，并落实到每一个同学，以便课后补充或者下一节的课的教学调整。（四）小结与作业1.本节课的三个学习目标，是否已经达到？性质定理使用条件的两个关键词是什么？2.作业：1）必做题：习题12.3 1，22）选做题：习题12.3 4，5 ，复习题12 第12题 3) 作一个三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 五、板书设计12.3 角的平分线的性质 1. 找到并作出角的平分线（尺规作图）已知：MON 求作：MON的角平分线证明：（学生书写于此）2. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，AOC=BOC，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为点D、E.求证: PD=PE.六、教学反思结合上课实践来看教学预设，反思从如下几个方面来谈1. 从教学重点的把握上，按照课标要求“探索并证明角平分线的性质定理” 制定；难点的预设是建模和文字定理的证明，从课堂上来看，应该是把握的比较到位，克服难点的方法也是比较有效的。但在填写用尺规作角的平分线的步骤中，几个填空是有难度的。好在自己事先准备好了几何画板课件，动态演示，反例展示，顺利地突破了难点。2. 三个教学目标:探索角平分线的尺规作图方法，探索并证明角平分线的性质定理，应用，在本节课实现，符合教学实情。对“全等三角形的判定和性质”的承前，以及对后面“线段垂直平分线的作法”的启后，作用明显。3. 在教学目标的实现：经过目标检测环节来看，掌握比较好。检测三虽然正确率只用70%，但学生错误的原因不在定理的掌握，在于对“几组”相等线段的理解，AD=AD也被理解为一组，故一些同学多选了一组。可以说，教学目标完成了。4. 教学预设与课堂生成：一些细节上考虑，学生的反馈与自己设想的有出入。例如对于平分角的仪器的特点的观察，例如对于性质定理的证明的格式规范性；例如目标检测的第三题，答题正确率出乎与自己预料之外。说明今后的教学还需要加强几何证明书写的规范性要求，需要加强题目阅读理解方面的训练。5. 从媒体的使用来看：几何画板的使用起到了题目、板书、标准图形的展示作用，动态演示起到了突破难点