第21讲 类比与猜想.doc

让我们为全力打造甘肃名校甘肃省华亭县皇甫学校而共同努力吧!第21讲 类比与猜想 每当理智缺乏可靠的论证思路时，类比这个方法往往指引我们前进。 康德知识方法扫描传说木工用的锯子是鲁班发明的，有一天他到山上去，手指突然被一根丝毛草划了一下，划破了一道口子。他想一根小草怎么会这样厉害呢？鲁班仔细一看，发现草叶子的边缘生着许多锋利小齿。鲁班立即想到，如果照着丝毛草叶子的模样，用铁片打制一把带利齿的工具，用它在树上来回拉，不就可以很快地将树割断吗？回去后他马上打了一把这样的工具，这就是锯子。聪明的鲁班在这里所使用的推理方法称为类比（analogy）。类比是根据两个不同的对象在某方面的相似之处，推测出这两个对象在其他方面也可能有相似之处，如根据带齿的草叶与带齿的铁片结构相似，由前者能划破手指，推出后者能割断树木。这种仿照生物机制的类比，到了近代，便发展成了一门新兴的学科，即所谓近代仿生学，例如，潜水艇的设计思想来自鱼类在水中浮沉之生物机制的类比。类比是一种相似，即类比的对象在某些部分或关系上的相似。在文学艺术与科学研究中都充满了类比。类比用得好，在文学作品中可使文章大为生色，在科学研究中可引出新的发现。“问君能有几多愁，恰似一江春水向东流”（李煜）用的就是类比。医药试验不宜直接在人体上进行。老鼠、猴子与人在身体结构上具有类似之处，于是，有理由相信，在这些动物身上的试验结果类似于在人体上试验的结果。代数中根据分式与分数都具有分子、分母这个相同的形式，从而推出分式具有分数相似的性质，分式可以如分数一样进行化简和运算，这就是类比。我们在学习立体几何时常常可以类比平面几何，将在平面几何中成立的结论进行推广，得到许多类似的结论。例如，长方形和长方体的类比，如图23-1所示。图23-1长方形的每一边恰与另一边平行，而与其余的边垂直。长方体的每一面恰与另一面平行，而与其余的面垂直。这两种几何图形间可以建立类比关系。请填写下表：长方形长方体每相邻两边互相垂直每相邻两棱互相垂直每相邻两面互相垂直对边互相垂直对棱互相平行对边长度相等对棱互相相等两条对角线相等两条对角线相等对角线互相平分对角线互相平分对角线的平方等于长和宽的平方和对角线的平方等于长、宽、高的平方和面积等于两邻边的乘积Sab体积等于长、宽、高的乘积Vabc类比是从人们已经掌握的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识为基础，类比出新的结果。运用类比推理的一般步骤为：首先，找出两类比对象之间可以确切表述的相似性；然后，用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出猜想；最后，检验猜想。类比是数学发现与数学解题的重要手段之一，著名哲学家康德曾指出：“每当理智缺乏可靠的论证思路时，类比这个方法往往指引我们前进。”在数学中，常可以由命题的条件相似，去猜想结论的相似；由命题的形式相似，去猜想论证推理方法的相似。运用类比方法求解数学问题的关键是善于引进 “辅助问题”，通过与“辅助问题”的类比，形成猜想，发现解题思路，预见可能答案，从而解决面临的问题。经典例题解析1 高维与低维的类比我们通常把直线叫做一维空间，平面叫做二维空间，立体几何中所说的“空间”叫做三维空间，除此之外，“维数”还泛指未知数的个数、变量的个数、方程或不等式的次数等。当我们研究一个维数较高的问题时，先考查并解决一个与它类似而维数较低的问题，然后将解决后者时所用的方法或所得的结果试用于解决原来的维数较高的问题，这就是高维与低维类比的手法。这种手法通常称为降维。例1 试推导一元n次方程根与系数的关系。分析 让我们首先利用待定系数法推导一元二次方程根与系数的关系。设的两个根是，则有。将右端展开，比较同次项系数得。由此启发我们用类似的方法推导一元n次方程根与系数的关系。解 设次多项式(1)的个根为，则有.将上式右端展开、整理，并比较等式两边同次项次数得：这就是次多项式的根与系数的关系定理（韦达定理），评注 我们通过一元n次方程与一元二次方程的类比，导出一元n次方程根与系数的关系。这是高次与低次类比解决问题的范例韦达定理在多项式理论中有广泛的应用，且常常应用于相应的次方程的根与系数的讨论注意，韦达定理的逆定理也是成立的，即若数满足上述方程组，则它们是多项式（1）的根例2 设为三个互不相等的实数，且 求证：。分析 直接解方程组，三个未知数两个方程，要求出的值走不通。注意到题中有轮换的特点，暂时简化命题减少一元，把原命题变为：设为互不相等的实数，且，求证：。简化后的命题比原命题简单得多。为了找出之间的关系，由移项得，即。减元后的二元问题与原来的三元问题的结构类似，因此可用上述思考方式，指导原题的证明。证明 由得。同理，。三式相乘，由互不相等，约去因子即可得证。例3 设均为不等于1的正数，均为非零数，如果，且，求的值。分析 由于题中字母个数较多，难于立即找到求解思路。因此，先考虑与本题相类似的简化题：设均为不等于1的正数，均为非零数，如果，且，求的值。这个问题极易解答。事实上，因为，所以。但故。受此解法的启发，回到原题上，便得原题的解。解 又，故。评注 此题可进一步推广为：设为不等于1的正数，均为非零实数，如果，且，求的值。例4 把一个西瓜沿纵、横、竖三个两两互相垂直的方向分别切刀，刀刀彼此相交，问切得的西瓜共多少块？其中无皮西瓜共有多少块？分析与解 先考虑平面的情形：将一个圆沿纵、横两个方向分别切刀与刀，求出切得的块数以及不含瓜皮的块数分别为和。由类比得空间情形的结果：总块数为，其中无皮的块数为。2 一般与特殊的类比研究某个一般性问题时，它往往比较复杂，不易入手，这时可以先考查并解决它的一个较简单的特例，然后将解决特殊问题时所用的方法或所得到的结果，试用于解决原来的一般性问题，这就是一般与特殊的类比。例5 把个互不相等的实数排成下表：先取每行的最大数，得到个数，其中最小者为，再取每列的最小数，也得到个数，其中最大者为。试比较和的大小。分析与解 先讨论的情况，任取一张表由题设可得，即。是否巧合？再打乱顺序排成一个表这时，则有。总之有。为什么有这样的结果呢？不妨让我们看一看第二张表。是表中第二行第一列的数，是表中第三行第二列的数，而，由题设中的定义知，。可见，其中的关键是取所在行与所在列交叉的那个数，作为比较、大小的媒介，由此不难讨论一般情形。设，则表中所在行与所在列交叉的数为，根据、的定义，得，即。其中、恰是表中同一个数时，。例6 有个人参加会议，其中每一个人都至少与个与会者相识，证明可从中选出4个人围圆桌坐下，使每两个相邻者互相认识。分析 先考虑最简单的特殊情况：，看看能否给出证法，并由此得到关于一般情况的启示。当时，总共只有个人，只好全取。人选定之后，还要考虑排法。若4个人全部互相认识，则任一种排法均可，今设4个人不是全部互相认识，则其中至少有甲、乙二人互相不认识。由于甲、乙每人都至少认识2人，故甲、乙必共同认识其余2人，让甲、乙相对而坐，再将其余2人分坐在甲、乙之间便可。这里的证法有三个地方值得注意：（1） 问题的解答不仅与人选取法有关，还与排法有关；（2） 全部互相认识时命题是显然的，与之相对立的情况是至少有甲、乙两人彼此不认识；（3） 在其余的人中至少有两个甲、乙共同认识的。据此，可得原命题的证法如下：证明 若所有与会者全都彼此认识，则从中任取4人，随意排座都符合要求。现设不是所有与会者都互相认识，则至少有甲、乙二人互相不认识，则题设，在余下的个人中，至少有个与甲认识。我们断言在这个人中，至少有2个也与乙认识，否则乙所认识的人将至多有个，与题设矛盾。让甲、乙对坐再将甲、乙共同认识的这两人请出，分坐于甲、乙之间即可。3 结构相似的类比如果所求解问题的结构与某一熟悉的数学问题的结构相类似，可以将待解决问题的条件或结论与这一熟悉的数学问题相类比，通过猜测、进行适当的代换或直接利用这个熟悉的数学问题的解决办法，有可能使问题获得解决例7 已知，求证：分析 题设条件与一元二次方程有等根的条件：“”在结构上相类似，故根据已知条件，可构造出一个一元二次方程，并使这个方程有两个相同的根，然后根据方程结论成立证明 当，即时，由已知条件得，故结论成立当，构造一元二次方程： 因为，所以一元二次方程有两个相等的实数根。又方程的一个根，所以另一根。故=，即。例8 证明方程有无限多个满足的整数解。分析 我们熟知勾股数的定理，方程是有满足的整数解的，例如，取，就有。而且把3，4，5分别乘以同一个正整数后，仍是勾股数：。将勾股数满足的方程与本题相类比，容易看出，是本题方程的一组满足的解，我们能否将3，-1，2分别乘上某些正整数，使它们仍然满足原方程呢？这样我们就得到了本题的证法。证明 因为，所以是原方程的一个解。任取一个正整数，考虑到，取代入方程： ，即也是原方程的满足条件的解。由于正整数的个数无限，所以方程有无穷多个满足条件的整数解。通过上述例子，我们了解了类比方法在两个方面的应用，其一是发现问题的结论，其二是发现解决问题的途径。不论哪个方面的应用，关键之处都在于找到一个合适的类比问题。它们有空间与平面的类比、三次与二次的类比、三元与二元的类比、一般与特殊的类比、结构相似的类比等，这说明在数学领域内，可进行类比的对象是十分丰富的。4 类比的危险应用类比推理应当注意：只有本质上相同或相似的事物才能进行类比。如果把仅仅形式上相似而本质上都不相同的事物不分青红皂白地乱用类比，就会造成错误。例如把与或类比，把与类比，常造成下列错误：，。在数学学习中要注意防止这种形式主义的类比，其方法主要是我们对于符号所表示的内容做到深刻理解。类比与归纳一样，也是一种合情推理，是一种发现的方法而不是论证的方法，其结论正确与否，必须经过严格证明。同步训练1. 计算：（1）（2）（3）2. 设，求证：。3. （1）已知，求方程的整数解。（2）已知，求方程的整数解。4若且，求的值。5. 解方程组6. 求证：拉格朗日恒等式7. 求证：正五边形内任一点到五边距离之和为定值。8. 试把一个凸边形变成一等积三角形。9. 试用三条直线把已知三角形分割成七片，使其中四片为全等的三角形，三