【步步高】高考数学总复习 12.4离散型随机变量及其分布列配套文档 理 新人教B版 (1).DOC

12.4离散型随机变量及其分布列1 离散型随机变量如果随机变量x的所有可能的取值都能一一列举出来，则称x为离散型随机变量2 离散型随机变量的分布列及性质(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量x所有可能取的值为x1，x2，xi，xn，x取每一个值xi(i1,2，n)的概率为p1，p2，pn，则表xx1x2xixnpp1p2pipn称为离散型随机变量x的概率分布或称为离散型随机变量x的分布列(2)离散型随机变量分布列的性质：pi0_(i1,2,3，n)；p1p2pn1；p(xixxj)pipi1pj.3 常见离散型随机变量的分布列(1)二点分布：如果随机变量x的分布列为x10ppq其中0p1，q1p，则称离散型随机变量x服从参数为p的二点分布(2)超几何分布：设有总数为n件的两类物品，其中一类有m件，从所有物品中任取n件(nn)，这n件中所含这类物品件数x是一个离散型随机变量，当xm时的概率为p(xm)(0ml，l为n和m中较小的一个)，称离散型随机变量x的这种形式的概率分布为超几何分布，也称x服从参数为n，m，n的超几何分布1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量()(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象()(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数x服从两点分布()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数x服从超几何分布()2 袋中有3个白球，5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是 ()a至少取到1个白球 b至多取到1个白球c取到白球的个数 d取到的球的个数答案c解析选项a，b表述的都是随机事件，选项d是确定的值2，并不随机；选项c是随机变量，可能取值为0,1,2.3 随机变量x的分布列如下：x101pabc其中a，b，c成等差数列，则p(|x|1)等于 ()a. b.c. d.答案d解析a，b，c成等差数列，2bac.又abc1，b，p(|x|1)ac.4 设某运动员投篮投中的概率为0.3，则一次投篮时投中次数x的分布列是_答案x01p0.70.35. 已知随机变量x的分布列为p(xk)，k1,2，则p(2x4)_.答案解析p(2x4)p(x3)p(x4).题型一离散型随机变量的分布列的性质例1设x是一个离散型随机变量，其分布列为x101p12qq2则q等于()a1 b1 c1 d1思维启迪利用分布列的两个性质求解答案c解析由分布列的性质知q1.思维升华(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式设离散型随机变量x的分布列为x01234p0.20.10.10.3m求：(1)2x1的分布列；(2)|x1|的分布列解由分布列的性质知：020.10.10.3m1，m0.3.首先列表为x012342x113579|x1|10123从而由上表得两个分布列为(1)2x1的分布列2x113579p0.20.10.10.30.3(2)|x1|的分布列为|x1|0123p0.10.30.30.3题型二求离散型随机变量的分布列例2某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率(1)求当天商店不进货的概率；(2)记x为第二天开始营业时该商品的件数，求x的分布列思维启迪解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值对应的概率，只有正确地理解随机变量取值的意义才能解决这个关键问题解(1)p(当天商店不进货)p(当天商品销售量为0件)p(当天商品销售量为1件).(2)由题意知，x的可能取值为2,3.p(x2)p(当天商品销售量为1件)；p(x3)p(当天商品销售量为0件)p(当天商品销售量为2件)p(当天商品销售量为3件).所以x的分布列为x23p思维升华求解离散型随机变量x的分布列的步骤：理解x的意义，写出x可能取的全部值；求x取每个值的概率；写出x的分布列求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识4支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、40元(1)从中任取一支，求其标价x的分布列；(2)从中任取两支，若以y表示取到的圆珠笔的最高标价，求y的分布列解(1)x的可能取值分别为10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故x的分布列为x10203040p(2)根据题意，y的可能取值为20,30,40，且p(y20)，p(y30)，p(y40).y的分布列为y203040p题型三超几何分布例3一袋中装有10个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为x，求随机变量x的分布列思维启迪(1)列出符合题意的关于袋中白球个数x的方程；(2)随机变量x服从超几何分布解(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件a，设袋中白球的个数为x，则p(a)1，得到x5.故白球有5个(2)x服从超几何分布，p(xk)，k0,1,2,3.于是可得其分布列为x0123p思维升华对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1分现从盒内任取3个球(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列解(1)p1.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件b，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件c，则p(bc)p(b)p(c).(3)可能的取值为0,1,2,3，服从超几何分布，p(k)，k0,1,2,3.故p(0)，p(1)；p(2)，p(3).的分布列为0123p分类讨论思想在概率中的应用典例：(12分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记|x2|yx|.(1)求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；(2)求随机变量的分布列思维启迪(1)根据x，y的取值，随机变量的最大值为3，当3时，只能x1，y3或x3，y1；(2)根据x，y的取值，的所有取值为0,1,2,3，列举计数计算其相应的概率值即可规范解答解(1)x，y可能的取值为1,2,3，|x2|1，|yx|2，3，且当x1，y3或x3，y1时，3.因此，随机变量的最大值为3.3分有放回地抽两张卡片的所有情况有339(种)，p(3).故随机变量的最大值为3，事件“取得最大值”的概率为.6分(2)的所有取值为0,1,2,3.0时，只有x2，y2这一种情况，1时，有x1，y1或x2，y1或x2，y3或x3，y3四种情况，2时，有x1，y2或x3，y2两种情况，3时，有x1，y3或x3，y1两种情况8分p(0)，p(1)，p(2)，p(3).10分则随机变量的分布列为0123p12分温馨提醒(1)解决本题的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率(2)随机变量的值是x，y的函数，所以要对x，y的取值进行分类讨论(3)分类不全面或计算错误是本题的易错点.方法与技巧1对于随机变量x的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量x的取值范围以及取这些值的概率2求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出取各个值的概率失误与防范掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量x所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量x的值的事件发生的概率看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误a组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1 随机变量x的概率分布规律为p(xn)(n1,2,3,4)，其中a是常数，则p(x)的值为 ()a. b. c. d.答案d解析p(xn)(n1,2,3,4)，1，a，p(x)p(x1)p(x2).2 袋中装有10个红球、5个黑球每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止若抽取的次数为，则表示“放回5个红球”事件的是()a4 b5c6 d5答案c解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故6.3 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数x是一个随机变量，其分布列为p(x)，则p(x4)的值为()a. b. c. d.答案c解析由题意取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故p(x4).4 设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量x去描述1次试验的成功次数，则p(x0)等于 ()a0 b. c. d.答案c解析设x的分布列为x01pp2p即“x0”表示试验失败，“x1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.由p2p1得p，故应选c.5 在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用x表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于的是()ap(x2) bp(x2)cp(x4) dp(x4)答案c解析x服从超几何分布p(xk)，故k4.二、填空题6 设随机变量x等可能取值1,2,3，n，如果p(x4)0.3，那么n_.答案10解析由于随机变量x等可能取1,2,3，n.所以取到每个数的概率均为.p(x4)p(x1)p(x2)p(x3)0.3，n10.7 已知随机变量只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是_答案解析设取x1，x2，x3时的概率分别为ad，a，ad，则(ad)a(ad)1，a，由得d.8 抛掷2颗骰子，所得点数之和x是一个随机变量，则p(x4)_.答案解析相应的基本事件空间有36个基本事件，其中x2对应(1,1)；x3对应(1,2)，(2,1)；x4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)所以p(x4)p(x2)p(x3)p(x4).三、解答题9 从一批含有13件正品与2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数的分布列解设随机变量表示取出次品的个数，则服从超几何分布，它的可能取值为0,1,2，其相应的概率为p(0)，p(1)，p(2).所以的分布列为012p10. (2013重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与均值e(x)解设ai(i0,1,2,3)表示摸到i个红球，bj(j0,1)表示摸到j个蓝球，则ai与bj独立(1)恰好摸到1个红球的概率为p(a1).(2)x的所有可能值为0,10,50,200，且p(x200)p(a3b1)p(a3)p(b1)，p(x50)p(a3b0)p(a3)p(b0)，p(x10)p(a2b1)p(a2)p(b1)，p(x0)1.综上可知，获奖金额x的分布列为x01050200p从而有e(x)010502004(元)b组专项能力提升(时间：30分钟)1 将一颗骰子均匀掷两次，随机变量为 ()a第一次出现的点数 b第二次出现的点数c两次出现点数之和 d两次出现相同点的种数答案c解析a、b中出现的点数虽然是随机的，但它们取值所反映的结果，都不是本题涉及试验的结果d中出现相同点数的种数就是6种，又不是变量c整体反映两次投掷的结果，可以预见两次出现数字的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，这十一种结果，但每掷一次前，无法预见是十一种中的哪一个，故是随机变量，选c.2 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是_答案解析设所选女生人数为x，则x服从超几何分布，其中n6，m2，n3，则p(x1)p(x0)p(x1).3 由于电脑故障，使得随机变量x的分布列中部分数据丢失(以“x，y”代替)，其表如下：x123456p0.200.100.x50.100.1y0.20则丢失的两个数据依次为_答案2,5解析由于0.200.100.x50.100.1y0.201，得0.x50.1y0.40，于是两个数据分别为2,5.4. 如图所示，a、b两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中