重庆市中考数学 第一部分 考点研究 第四章 三角形 第二节 三角形及其性质课件.ppt

第四章三角形第二节三角形及其性质 考点精讲 三角形及其性质 三角形及其边角关系 三角形的分类 三角形边角关系 三角形中的重要线段 特殊三角形的性质与判定 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 三角形的分类 按边分 不等边三角形 三条边都不想等 有两条边相等等边三角形 三条边都相等 按角分 锐角三角形 三个角都是锐角 有一个角为90 钝角三角形 有一个角是钝角 等腰三角形 直角三角形 角的关系 内角和等于 任意一个外角 与它不相邻的两个内角之和任意一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 三角形边角关系 三角形两边之和 第三边 两边之差 第三边 即a b c a b c a b c为三角形的三边长 大于 小于 180 等于 边的关系 cd 90 等腰三角形 概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 即ab ac 判定 性质 1 两底角相等 即 b c 2 两腰相等 即ab ac 4 顶角的 底边上的高和底边的中线互相重合 三线合一 3 它是轴对称图形 有一条对称轴 即ad 1 有两边相等的三角形是等腰三角形 2 有两角相等的三角形是等腰三角形 面积计算公式 s 其中a是底边长 h是底边上的高 11 角平分线 60 性质 判定 1 三边相等2 三角相等 且每一个角都等于3 是轴对称图形 有三条对称轴 1 三边都相等的三角形是等边三角形2 三角都相等的三角形是等边三角形3 有一个角是60 的三角形 等腰 概念 三边都相等的三角形叫做等边三角形 即ab bc ca 等边三角形 面积计算公式 s a是三角形任意一边的长 h是任意边上的高 12 13 14 1 两锐角之和等于 即 a b 2 斜边上的中线等于斜边的3 30 角所对的直角边等于斜边的一半4 勾股定理 若直角三角形的两直角边分别为a b 斜边为c 则有a2 b2 c25 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么这条直角边所对的锐角等于30 一半 直角三角形的性质 90 15 16 17 90 直角三角形 面积计算公式 s 其中a b为两个直角边 c为斜边 h是斜边上的高 1 有一个角为90 的三角形是直角三角形2 勾股定理逆定理 若a2 b2 c2 则以a b c为边的三角形是直角三角形3 一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形4 有两个角互余的三角形是直角三角形 判定 18 重难点突破 例1在等腰 abc中 ac bc d是边ab上一点 e是线段cd上一点 且 aed acb 2 bed 1 如图 若 bed 45 点e是cd的中点 ad 2 求线段bd的长度 2 如图 若 acb 90 求证 ae be 等腰三角形的相关证明及计算 一 1 思维教练 要求bd的长 由题知ad 2 只需求得ab长即可 根据已知条件可得ae cd 且e是cd中点 即ac ad 又由ac bc即可得出ab的长 3 如图 若 acb 60 猜想ae与be的数量关系 并证明你的结论 解 bed 45 aed acb 2 bed acb aed 90 ae cd e是cd的中点 ae垂直平分cd ac ad 2 ac bc ab2 ac2 bc2 2ac2 8 ab 2 bd ab ad 2 2 2 思维教练 要证ae be 可将两线段转换到一个三角形中 过点b作bf cd 交cd延长线于点f 由已知条件可以得到 bfe是等腰直角三角形 再由 ace cbf可求得线段相等关系 即可得证 证明 如解图 过点b作bf cd 交cd延长线于点f acb 90 acb aed 90 bef 45 bfe是等腰直角三角形 ef bf bcf ace 90 ace cae 90 bcf cae ac bc ace cbf aas ae cf bf ce cf 2ef cf2 4ef2 2be2 ae2 2be2 ae be 3 思维教练 要证ae与be的数量关系 由已知条件可以得到 abc是等边三角形 再通过作辅助线使ef ae 得到 aef是等边三角形 从而由sas得到 cae baf 由 afb aec 120 得到 ebf 90 则在rt ebf中可得到ef与be之间的数量关系 即得be与ae的关系 cae baf cae baf sas afb aec 120 efb 60 ebf 90 ef cos30 be ae cos30 be be ae 练习1 2016怀化 等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm 则它的周长为 a 16cmb 17cmc 20cmd 16cm或20cm c 解析 当等腰三角形的腰为4cm时 4 4 8 两边之和等于第三边 不能构成三角形 故此种情况不符合题意 当等腰三角形的腰为8cm时 8 4 8 8 4 8 能构成三角形 符合题意 三角形的周长为8 8 4 20cm 练习2 2016遵义 如图 在 abc中 ab bc abc 110 ab的垂直平分线de交ac于点d 连接bd 则 abd 度 解析 ab bc abc 110 a c 35 de垂直平分ab da db a abd 35 35 例2 2016沈阳 如图 在rt abc中 c 90 b 30 ab 8 则bc的长是 a b c d 4 d 二 二 二 二 直角三角形的相关证明及计算 解析 在rt abc中 ab 8 b 30 ac ab 4 由勾股定理得 bc 4 二 二 二 练习3 2016东营 在 abc中 ab 10 ac bc边上的高ad 6 则另一边bc等于 a 10b 8c 6或10d 8或10 c 例3 2016重庆巴蜀中学期末考试 如图所示 在rt abc中 c 90 点d是线段ca延长线上一点 且ad ab 点f是线段ab上一点 连接df 以df为斜边作等腰rt dfe 连接ea ea满足条件ea ab 1 若 aef 20 ade 50 ac 2 求ab的长度 2 求证 ae af bc 1 思维教练 在rt abc中 已知ac的值 要求ab的值 由题知 aef 20 可想到需求出 bac的值即可 又ea ab 只需求 dae即可 根据已知条件即可求解 解 如解图 在rt def中 def 90 1 20 2 def 1 70 eda 2 3 180 3 60 ea ab eab 90 3 eab 4 180 4 30 c 90 cos 4 ab 2 思维教练 由图知ae af bc在两个三角形中 要想证ae af bc 需将三条线段转换到一个三角形中且已知bc af均在直角三角形中 想到作辅助线 即过点d作dm ae于点m 然后通过运用全等三角形的判定及性质证明即可 证明 如解图 过d作dm ae于点m 在 dem中 2 5 90 2 1 90 1 5 de fe dme eaf 在 dem与 efa中 dem efa aas af me 4 b 90 3 eab 4 180 eab 90 3 4 90 3 b 在 dam与 abc中 dam abc aas bc am ae em am af bc 1 解 de be ab be de ab abc dec cde为等腰直角三角形 de ce bf 3 cd ab 2 ac ad ac cd 2 证明 如解图 连接eg bg 点g是等腰直角 abc斜边ac的中点 bg c