特征值的幂法.doc

管理数学基础作业学 院 管理与经济学部 专 业 2013硕 5班 姓 名 学 号 2013年11月25日对主特征值及主特征向量的幂法的探讨杜老师您好，听过您的课，我最大的收获不是学到的知识，而是一种踏踏实实，敢于探究的做学问的态度。作为一个文科生，以前学数学都是死记硬背，特别是一些定理和公式，不求甚解，只是记住，然后考试的时候直接用。听完您的课，我才发现这是一个多么严重的错误，每一个定理或者公式都有自己严密的逻辑证明过程，都有自己适用的特定的条件和方法，而这些内容往往只有在理解了定理的本质和证明过程之后，我们才能深入的掌握，才能正确的运动这些定理和公式解决问题，才能真正的体会到数学的最本质的内容。您在课上对于每一个定理和推论，都给我们进行了深入的讲解，并让我们进行思考，而不是被动的听和记，这激发了我对数学的浓厚兴趣，从以前的排斥到现在的能够主动思考，我真的特别感谢杜老师。你在课上曾让我们思考了主特征值及主特征向量的迭代算法，下面是我结合相关的文献进行的一些深入思考，由于我数学基础不好，其中不对或者不合理的地方还请杜老师批评指正。 对于幂法我们将从以下几个方面进行探讨：1、根据书上定义，幂法适用于n个互异特征值的情况，那么是否适用于存在重特征值的情况。2、初始向量的选取是否会影响最后的结果。3、如果有影响，那么我们应该如何选择初始向量。一、当存在重特征值时，幂法仍然适用。当占优特征值存在重根时，这一方法是适用的，老师上课时已经进行了讲解。同时，如果是其他特征值存在重根时，幂法仍然是适用的，这和不存在重特征值时的计算步骤是一样的。二、初始向量的选取会影响最后的结果 。乘幂法求矩阵的特征向量与特征值时,初始向量的选取不仅关系到是否收敛于第一阶,而且在阀值的影响下,它对误差的大小影响很大.因为阀值不可能取得无限的小,在某一个阀值下,任取的一个初始向量可能会得到错误的结果。矩阵迭代法是用来求第一阶特征值与特征向量的.但是,如果初始向量选取不当,迭代收敛的结果却可能不是第一阶的.如果所选的初始向量V0与X1正交,将不能收敛到第一阶特征向量与特征值.但是,因为事先不知道特征向量,对于任取的某个向量,无法确定它是否与X1正交,所以无法确定收敛结果是否为第一阶的特征向量与特征值。进一步,对定理1可有如下的推广,即若给定的初始向量与X1,X2,Xj均正交,而与Xj+1不正交,则定理1中构造的向量序列将收敛于第j+1阶。三、我们应该如何选择初始向量。 存在定理：n阶矩阵的行向量的转置向量中至少有一个不与它的第i阶特征向量正交. (i=1,2,n).证明用反证法.设矩阵A的行向量分别为A1,A2,An,特征值为K1,K2,Kn,与之相应的特征向量为X1,X2,Xn,若A1,A2,An均与Xi正交,则AXi= (A1Xi,A2Xi,AnXi)T= 0, (4)这与AXi=KiXi0相矛盾.故AT1,AT2,ATn中至少有一个与X1不正交.这里,i可以分别为1,2,n。 定理得证这一定理表明,分别用矩阵的行向量的转置向量作为初始向量,总可以保证其中至少有一个不与X1正交,因而只要阀值取得足够地小,总可以使误差足够地小。如果K1不是远小于1,由式(4)可以看到,向量AX1=(A1X1,A2X1,AnX1)T=K1X1的分量不会都接近于零,因此矩阵的行向量的转置向量中至少有一个与X1远离正交状态.这就满足了第4节中讨论的条件.从而不需要阀值非常的小也可以得到误差较小的结果.具体计算可把各个行向量的转置向量组成一个矩阵,对这个矩阵左乘矩阵A,对得到的矩阵的列向量进行归一化处理.之后得到的新矩阵左乘矩阵A,依此迭代.最终各列向量即为特征向量.从中取相应的特征值最大者即为第一阶。由此，我们得出以下结论：1、当存在重特征值时，幂法依然适用。2、乘幂法求矩阵的特征向量与特征值时,初始向量的选取不仅关系到是否收敛于第一阶,而且在阀值的影响下,它对误差的大小影响很大.因为阀值不可能取得无限的小,在某一个阀值下,任取的一个初始向量可