【创新设计】高考数学一轮复习 第九章 分类加法计数原理和分布乘法计数原理训练 理 新人教A版.doc

【创新设计】2014高考数学一轮复习 第九章 分类加法计数原理和分布乘法计数原理训练 理 新人教a版第一节分类加法计数原理和分步乘法计数原理备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.高考中，对于两个计数原理一般不单独考查，多与排列、组合相结合考查，且多为选择、填空题，如2012年北京t6，浙江t6等.归纳知识整合1分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事，共有nm1m2mn种不同的方法探究1.选用分类加法计数原理的条件是什么？提示：当完成一件事情有几类办法，且每一类办法中的每一种办法都能独立完成这件事情，这时就用分类加法计数原理2分步乘法计数原理完成一件事需要n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有nm1m2mn种不同的方法探究2.选用分类乘法计数原理的条件是什么？提示：当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理自测牛刀小试1一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为()a182b14c48 d91解析：选c由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6848.2某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有()a3种 b6种c7种 d9种解析：选c分3类：买1本书，买2本书和买3本书各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3317种3从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有()a30 b20c10 d6解析：选d从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，取出的两数都是偶数，共有3种方法；取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由加法原理得共有n336种4如图，从ac有_种不同的走法解析：分为两类：不过b点有2种方法，过b点有224种方法，共有426种方法答案：65设集合a中有3个元素，集合b中有2个元素，可建立ab的映射的个数为_解析：建立映射，即对于a中的每一个元素，在b中都有一个元素与之对应，有2种方法，故由分步乘法计数原理得映射有238个答案：8分类加法计数原理例1(1)(2012北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()a24b18c12 d6(2)将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为()a80 b120c140 d50自主解答(1)法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以nccacc12618；法二：(间接法)奇数的个数为ncccacc18.(2)分两类：若甲组2人，则乙、丙两组的方法数是ca，此时的方法数是cca60；若甲组3人，则方法数是ca20.根据分类加法计数原理得总的方法数是602080.答案(1)b(2)a本例(1)条件不变，求有多少个能被5整除的数？解：能被5整除的数分两类：当个位数是0时，有a6个；当个位数是5时，若含有数字0时，则有2个，若不含有0时，则有ca4个故共有12个能被5整除的数 使用分类加法计数原理计数的两个条件一是根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；二是完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理1若自然数n使得作竖式加法n(n1)(n2)均不产生进位现象，则称n为“良数”例如：32是“良数”，因为323334不产生进位现象；23不是“良数”，因为232425产生进位现象那么小于1 000的“良数”的个数为()a27 b36c39 d48解析：选d一位“良数”有0,1,2，共3个；两位数的“良数”十位数可以是1,2,3，两位数的“良数”有10,11,12,20,21,22,30,31,32，共9个；三位数的“良数”有百位为1,2,3，十位数为0的，个位可以是0,1,2，共339个，百位为1,2,3，十位不是零时，十位个位可以是两位“良数”，共有3927个根据分类加法计数原理，共有48个小于1 000的“良数”分步乘法计数原理例2学校安排4名教师在六天里值班，每天只安排一名教师，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天要相连，那么不同的安排方法有_种(用数字作答)自主解答有两名教师要值班两天，把六天分为四份，两个两天连排的是(1,2)，(3,4)；(1,2)，(4,5)；(1,2)，(5,6)；(2,3)，(4,5)；(2,3)，(5,6)；(3,4)，(5,6)，共六种情况，把四名教师进行全排列，有a24种情况，根据分步乘法计数原理，共有不同的排法624144种答案144使用分步乘法计数原理计数的两个注意点 (1)要按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事.2将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设ni(i1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足n1n2n3的所有排列的个数是_(用数字作答)解析：由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为aa60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为aa4，由分类乘法计数原理知满足条件的排列个数是240.答案：240两个计数原理的综合应用123456789例3用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有_种自主解答分步求解只要在涂好1,5,9后，涂2,3,6即可，若3与1,5,9同色，则2,6的涂法为22，若3与1,5,9不同色，则3有两种涂法，2,6只有一种涂法，同理涂4,7,8，即涂法总数是c(22c1)(22c1)366108.答案108应用两个原理解决实际问题的注意点在解决实际问题中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系3如图所示，用四种不同颜色给图中的a，b，c，d，e，f六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()a288种b264种c240种 d168种解析：选b分三类：b，d，e，f用四种颜色，则有a1124种方法；b，d，e，f用三种颜色，则有a222a21192种方法；b，d，e，f用两种颜色，则有a2248，所以共有不同的涂色方法2419248264种2个区别两个计数原理的区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一每类办法都能独立完成这件事它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成每一步得到的只是其中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的，并列的，独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏3个注意点利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法；(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律；(3)混合问题一般是先分类再分步. 数学思想计数原理中的分类讨论从近几年的高考试题来看，两个计数原理的问题重点考查学生分析问题解决问题的能力及分类讨论思想的应用解决此类问题时，需要分清两个原理的区别，一般情形是考虑问题有几种情况，即分类；考虑每种情况有几个步骤，即分步要求既要会合理分类，又要能合理分步典例(2012浙江高考)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()a60种b63种c65种 d66种解析对于4个数之和为偶数，可分三类，即4个数均为偶数，2个数为偶数2个数为奇数，4个数均为奇数，因此共有cccc66种答案d(1)本题主要考查排列组合计数问题，可通过分类讨论思想进行求解，即把所取的4个数分为三类求解(2)对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点同时注意分类的全面与到位，不要出现重复或遗漏的现象1已知a，b0,1,2，9，若满足|ab|1，则称a，b“心有灵犀”则a，b“心有灵犀”的情形共有()a9种b16种c20种 d28种解析：选d当a为0时，b只能取0,1两个数；当a为9时，b只能取8,9两个数，当a为其他数时，b都可以取3个数故共有28种情形.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数有()a30个b42个c36个 d35个解析：选cabi为虚数，b0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6636个虚数2高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有()a16种 b18种c37种 d48种解析：选c三个班去四个工厂不同的分配方案共43种，甲工厂没有班级去的分配方案共33种，因此满足条件的不同的分配方案共有433337种3(2013哈尔滨模拟)如图所示，在a，b间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通今发现a，b之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有()a9种 b11种c13种 d15种解析：选c每个焊接点都有脱落与不脱落两种状态，电路不通可能是1个或多个焊接点脱落，问题比较复杂，但电路通的情况却只有3种，即焊接点2脱落或焊接点3脱落或全不脱落，故满足题意的焊接点脱落的不同情况共有24313种44位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有()a12种 b24种c30种 d36种解析：选b从4位同学中选出2人有c种方法，另外2位同学每人有2种选法，故不同的选法共有c2224种5(2013汕头模拟)如图，用6种不同的颜色把图中a，b，c，d四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()a400种 b460种c480种 d496种解析：选c从a开始，有6种方法，b有5种，c有4种，d，a同色1种，d，a不同色3种，不同涂法有654(13)480种6(2013杭州模拟)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()a60 b48c36 d24解析：选b长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6636个，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6212个，共361248个二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7从集合1,2,3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为_解析：当公比为2时，等比数列可为1、2、4,2、4、8；当公比为3时，等比数列可为1、3、9；当公比为时，等比数列可为4、6、9.同时，4、2、1和8、4、2,9、3、1,9、6、4也是等比数列，共8个答案：88某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有_种(用数字作答)解析：若取出1本画册，3本集邮册，有c种赠送方法；若取出2本画册，2本集邮册，有c种赠送方法，则不同的赠送方法有cc10种答案：109将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i1，2，6)，若a11，a33，a55，a1a3a5，则不同的排列方法有_种(用数字作答)解析：分两步：第一步，先排a1，a3，a5，若a12，有2种排法；若a13，有2种排法；若a14，有1种排法，所以共有5种排法；第二步再排a2，a4，a6，共有a6种排法，故不同的排列方法有5630种答案：30三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解：(1)该问题中要完成的事情是4名同学报名，因而可按学生分步完成，每一名同学有3种选择方法，故共有3481种报名方法(2)该问题中，要完成的事是三项冠军花落谁家，故可按冠军分步完成，每一项冠军都有4种可能，故可能的结果有4364种11如右图所示三组平行线分别有m，n，k条，在此图形中(1)共有多少个三角形？(2)共有多少个平行四边形？解：(1)每个三角形与从三组平行线中各取一条的取法是一一对应的，由分步计数原理知共可构成mnk个三角形(2)每个平行四边形与从两组平行线中各取两条的取法是一一对应的，由分类和分步计数原理知共可构成cccccc个平行四边形12把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问(1)有多少种不同的涂法？(2)若分割成4块扇形呢？解：(1)不同涂色方法数是：54360种；(2)如右图所示，分别用a，b，c，d记这四块，a与c可同色，也可不同色，先考虑给a，c两块涂色，分两类：给a，c涂同种颜色共5种涂法，再给b涂色有4种涂法，最后给d涂色也有4种涂法，由乘法原理知，此时共有544种涂法；给a，c涂不同颜色共有54种涂法，再给b涂色有3种方法，最后给d涂色也有3种方法，此时共有5433种涂法故由分类加法计数原理知，共有5445433260种涂法1三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有()a4种 b5种c6种 d12种解析：选c若甲先传给乙，则有：甲乙甲乙甲，甲乙甲丙甲，甲乙丙乙甲，3种不同的传法；同理甲先传给丙，也有3种不同的传法，共有6种不同的传法2在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种值a、b两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求a、b两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有_种(用数字作答)解析：分两步：第一步，先选垄，如图共有6种选法；第二步：种植a、b两种作物，有2种选法因此，由分步乘法计数原理，不同的选垄种植方法有6212种答案：1238名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，大师赛共有_场比赛解析：小组赛共有2c场比赛；半决赛和决赛共有224场比赛；根据分类计数原理共有2c416场比赛答案：164某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法？解：首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：第一类：既会排版又会印刷的2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有313种选法第二类：既会排版又会印刷的2人中被选出一人，有2种选法若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2316种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有23212种选法再由分类计数原理知共有61218种选法第三类：既会排版又会印刷的2人全被选出，同理共有16种选法所以共有3181637种选法 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解排列组合的概念2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3.能利用排列组合知识解决简单的实际问题.1.排列组合概念及排列数、组合数公式一般不单独考查2.排列组合的应用问题是高考的热点内容，独立命题，题多为选择、填空题，如2012年陕西t8，安徽t10，辽宁t5等.归纳知识整合1排列与排列数公式(1)排列与排列数(2)排列数公式an(n1)(n2)(nm1)(m，nn*，mn)(3)排列数的性质an！；a1；0！1.探究1.排列与排列数有什么区别？提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数2组合与组合数公式(1)组合与组合数(2)组合数公式c(m，nn*，mn)(3)组合数性质c1；cc；ccc.探究2.如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？提示：看选出的元素与顺序是否有关，若与顺序有关，则是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题自测牛刀小试112名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数是()a123b312ca d121110解析：选c从12名选手中选出3名获奖并安排奖次，共有a种不同的获奖情况2异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是()a20 b9cc dcccc解析：选b分两类，第一类在直线a上任取一点与直线b可确定c个平面；第二类在直线b上任取一点与直线a可确定c个平面故可确定cc9个不同的平面3将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的分配方案共有()a252种 b112种c20种 d56种解析：选b不同的分配方案共有cccccccc112种4从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有_种解析：(间接法)共有cc34种不同的选法答案：345如图m，n，p，q为海上四个小岛，现要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方法有_种解析：m，n，p，q共有6条线段(桥抽象为线段)，任取3条有c20种方法，减去不合题意的4种则不同的方法有16种答案：16排列问题例13名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾自主解答(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有a2 520种排法(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有a5 040种排法(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有a种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有a种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有a种排法，由分步乘法计数原理知， 共有naaa288种(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有a种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有a种排法，故naa1 440种(5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有a5种排法；再安排其他人，有a720种排法所以共有aa3 600种排法本例中若全体站成一排，男生必须站在一起，有多少中排法？解：(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排，故有naa720种 解决排列类应用题的主要方法(1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直排处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列1一位老师和5位同学站成一排照相，老师不站在两端的排法()a450b460c480 d500解析：选c先排老师有a种排法，剩下同学有a种排法共有aa480种排法2排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：(1)先排歌唱节目有a种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有a种方法，所以任两个舞蹈节目不相邻的排法有aa43 200种方法(2)先排舞蹈节目有a种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有aa2 880种方法.组合问题例2要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选自主解答(1)法一：至少有1名女生入选包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，5女由分类加法计数原理知总选法数为ccccccccc771种法二：“至少有1名女生入选”的反面是“全是男代表”，可用间接法求解从12名人中任选5人有c种选法，其中全是男代表的选法有c种所以“至少有1名女生入选”的选法有cc771种；(2)至多有2名女生入选包括如下几种情况：0女5男，1女4男，2女3男，由分类加法计数原理知总选法数为ccccc546种(3)男生甲和女生乙入选，即只要再从除男生甲和女生乙外的10人任选3名即可，共有cc120种选法；(4)法一：男生甲和女生乙不能同时入选包括以下几种情况：男生甲入选女生乙不入选；男生甲不入选女生乙入选；男生甲和女生乙都不入选由分类加法计数原理知总选法数为ccc672种法二：间接法：从12人中选出5人，有c种选法，从除去男生甲和女生乙外的10人中任选3人有c种选法，所以“男生甲和女生乙不能同时入选”的选法有ccc672种；(5)间接法：“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的反面是“两人都不入选”，即从其余10人中任选5人有c种选法，所以“男生甲、女生乙至少有一个人入选”的选法数为cc540种组合两类问题的解法(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法或间接法都可以求解通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理3某校开设a类选修课3门，b类选修课4门，一位同学从中选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()a30种b35种c42种 d48种解析：选a法一：可分两种互斥情况：a类选1门，b类选2门或a类选2门，b类选1门，共有cccc181230种选法法二：总共有c35种选法，减去只选a类的c1种，再减去只选b类的c4种，共有30种选法排列、组合的综合应用例3有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表自主解答(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有cccc种，后排有a种，共有(cccc)a5 400种(2)除去该女生后，先取后排，有ca840种(3)先选后排，但先安排该男生，有cca3 360种(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有c种，再安排该男生有c种，选出的3人全排有a种，共cca360种求解排列、组合综合题的一般思路排列、组合的综合问题，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准44个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有ccca144种(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法(3)确定2个空盒有c种方法，4个球放进2个盒子可分成(3,1)，(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有cca种方法；第二类有序均匀分组有a种方法故共有c84种1个识别排列问题与组合问题的识别方法识别方法排列若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关组合若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关3点注意求解排列、组合问题的三个注意点(1)解排列、组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理作最后处理(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决分类标准应统一，避免出现重复或遗漏(3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都是犯有重复或遗漏. 创新交汇几何图形中的排列组合问题1排列、组合问题的应用一直是高考的热点内容之一，高考中除了以实际生活为背景命题外，还经常与其他知识结合交汇命题2解答此类问题应注意以下问题：(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；(2)对限制条件较为复杂的排列组合问题，可分解为若干个简单的基本问题后再用两个原理来解决；(3)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，可采用多种不同的方法求解，看结果是否相同来检验典例(2011湖北高考)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_种(结果用数值表示)解析(1)当n6时，如果没有黑色正方形有1种方案，当有1个黑色正方形时，有6种方案，当有两个黑色正方形时，采用插空法，即两个黑色正方形插入四个白色正方形形成的5个空内，有c10种方案，当有三个黑色正方形时，同上方法有c4种方案，由图可知不可能有4个，5个，6个黑色正方形，综上可知共有21种方案(2)将6个正方形空格涂有黑白两种颜色，每个空格都有两种方案，由分步计数原理一共有26种方案，本问所求事件为(1)的对立事件，故至少有两个黑色正方形相邻的方案有262143种答案21431本题有以下创新点(1)命题背景的创新：本题以平面几何中的着色问题为背景，让学生根据所给图形，归纳探究着色问题(2)考查方式的创新：在切入点上一改往日直来直去的文字语言叙述，而是以图形语言的形式呈现，考查了学生对图形语言的理解能力及数学应用意识与应用能力2解决本题的关键点(1)由n1,2,3,4时，黑色正方形互不相邻的着色方案种数的规律，归纳n6时的情况；(2)求至少有两个黑色正方形相邻的着色方案种数可考虑利用对立事件求解3解决与图形有关的排列组合问题的注意事项需要强化对图形语言的理解训练，强化常用方法的训练，理解体会解题中运用的数学思想和方法，才能快速正确地解决排列组合问题(2012安徽高考)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()a1或3b1或4c2或3 d2或4解析：选d不妨设6位同学分别为a，b，c，d，e，f，列举交换纪念品的所有情况为ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共有15种因为6位同学之间共进行了13次交换，即缺少以上交换中的2种第一类，某人少交换2次，如df，ef没有交换，则a，b，c交换5次，d，e交换4次，f交换3次；第二类，4人少交换1次，如cd，ef没有交换，则a，b交换5次，c，d，e，f交换4次一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2012辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()a33！b3(3！)3c(3！)4 d9!解析：选c利用“捆绑法”求解满足题意的坐法种数为a(a)3(3！)4.2(2012新课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()a12种 b10种c9种 d8种解析：选a先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有cc12种安排方案3在“神九”航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序a只能出现在第一步或最后一步，程序b和c实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有()a24种 b48种c96种 d144种解析：选c当a出现在第一步时，再排a，b，c以外的三个程序，有a种，a与a，b，c以外的三个程序生成4个可以排列程序b、c的空档，此时共有aaa种排法；当a出现在最后一步时的排法与此相同，故共有2aaa96种编排方法abcd4.如图所示22方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中任何一个，允许重复若填入a方格的数字大于b方格的数字，则不同的填法共有()a192种 b128种c96种 d12种解析：选c可分三步：第一步，填a、b方格的数字，填入a方格的数字大于b方格中的数字有6种方式(若方格a填入2，则方格b只能填入1；若方格a填入3，则方格b只能填入1或2，若方格a填入4，则方格b只能填入1或2或3)；第二步，填方格c的数字，有4种不同的填法；第三步，填方格d的数字，有4种不同的填法由分步计数原理得，不同的填法总数为64496.5两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()a10种 b15种c20种 d30种解析：选c分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2c6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2c12种情形所有可能出现的情形共有261220种6(2012山东高考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()a232 b252c472 d484解析：选c若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有ccc64种，若2张同色，则有cccc144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有cccc192种，剩余2张同色，则有ccc72种，所以共有6414419272472种不同的取法二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是_(用数字作答)解析：由题意知按投资城市的个数分两类：投资3个城市即a种投资2个城市即ca种，共有不同的投资方案种数是aca60.答案：608(2013武汉模拟)某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有_种不同的调度方法(填数字)解析：先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有c种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，先从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有c种，最后，安排其他两辆车共有a种方法，故不同的调度方法为cca120种答案：1209(2013宜昌模拟)某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为_(用数字作答)解析：设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有c种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有ca种方法，这时共有cca种参加方法(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有c种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有a种方法，这时共有ca种参加方法综合(1)(2)，共有ccaca180种参加方法答案：180三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有a种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有caa种测试方法，再排余下4件的测试位置，有a种测试方法所以共有不同的测试方法aaa103 680种(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同的测试方法aca576种11从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有c种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有c种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有a种情况所以符合题意的七位数有cca100 800个(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有ccaa14 400个(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有ccaaa5 760个12.编号为a，b，c，d，e的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且a球不能放在1,2号，b球必须放在与a球相邻的盒子中，不同的放法有多少种？解：根据a球所在位置分三类：(1)若a球放在3号盒子内，则b球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球c，d，e，则根据分步乘法计数原理得，此时有a6种不同的放法；(2)若a球放在5号盒子内，则b球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球c，d，e，则根据分步乘法计数原理得，此时有a6种不同的放法；(3)若a球放在4号盒子内，则b球可以放在2号，3号，5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球c，d，e，有a6种不同的放法，根据分步乘法计数原理得，此时有aa18种不同的放法综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有661830种1甲、乙、丙3人站在共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是_(用数字作答)解析：当每个台阶上各站1人时有ac种站法，当两个人站在同一个台阶上时有ccc种站法，因此不同的站法种数有acccc210126336种答案：3362如图所示的四棱锥中，顶点为p，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点p在同一平面内，不同的取法种数为()a40b48c56 d62解析：选c满足要求的点的取法可分为3类：第1类，在四棱锥的每个侧面上除点p外任取3点，有4c种取法；第2类，在两个对角面上除点p外任取3点，有2c种取法；第3类，过点p的四条棱中，每一条棱上的两点(除p外)和与这条棱异面的其中一条棱的中点也共面，有4c种取法所以，满足题意的不同取法共有4c2c4c56种3某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1个，每人值班1天若7位