高三数学一轮复习 第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第四节 随机事件与古典概型课件 理.ppt

理数课标版 第四节随机事件与古典概型 1 事件的分类 教材研读 2 频率和概率 1 在相同的条件s下重复n次试验 观察某一事件a是否出现 称n次试验中事件a出现的 次数na为事件a出现的频数 称事件a出现的比例fn a 为事件a出现的频率 2 对于给定的随机事件a 随着试验次数的增加 事件a发生的 频率fn a 稳定在某个常数上 把这个常数记作p a 称为事件a的概率 简称为a的概率 3 事件的关系与运算 4 概率的几个基本性质 1 概率的范围为 0 1 2 必然事件的概率为1 3 不可能事件的概率为0 4 概率的加法公式若事件a与事件b互斥 则p a b p a p b 5 对立事件的概率若事件a与事件b互为对立事件 则a b为必然事件 p a b 1 p a 1 p b 5 古典概型 1 2 概率计算公式p a 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 随机事件和随机试验是一回事儿 2 在大量重复试验中 概率是频率的稳定值 3 两个事件的和事件的发生是指两个事件都发生 4 对立事件一定是互斥事件 互斥事件不一定是对立事件 5 掷一枚硬币两次 出现 两个正面 一正一反 两个反面 这三个结果是等可能事件 1 2016课标全国 3 5分 为美化环境 从红 黄 白 紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中 余下的2种花种在另一个花坛中 则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 a b c d 答案c从红 黄 白 紫4种颜色的花中任选2种有以下选法 红黄 红白 红紫 黄白 黄紫 白紫 共6种 其中红色和紫色的花不在同一花坛 亦即黄色和白色的花不在同一花坛 的选法有4种 所以所求事件的概率p 故选c 2 2016天津 2 5分 甲 乙两人下棋 两人下成和棋的概率是 甲获胜的概率是 则甲不输的概率为 a b c d 答案a设 两人下成和棋 为事件a 甲获胜 为事件b 事件a与b是互斥事件 所以甲不输的概率p p a b p a p b 故选a 3 某小组有3名男生和2名女生 从中任选2名同学去参加演讲比赛 事件 至少有一名女生 与事件 全是男生 a 是互斥事件 不是对立事件b 是对立事件 不是互斥事件c 既是互斥事件 也是对立事件d 既不是互斥事件也不是对立事件答案c 至少有一名女生 包括 一男一女 和 两名女生 两种情况 这两种情况再加上 全是男生 构成全集 且不能同时发生 故 至少有一名女生 与 全是男生 既是互斥事件 也是对立事件 故选c 4 某人进行打靶练习 共射击10次 其中有2次中10环 有3次中9环 有4次中8环 有1次未打中 假设此人射击1次 则中靶的概率约为 中10环的概率约为 答案0 9 0 2解析中靶的频数为9 试验次数为10 所以中靶的频率为 0 9 所以此人射击1次 中靶的概率约为0 9 同理 中10环的概率约为0 2 5 给出下列三个命题 其中正确命题有个 有一大批产品 已知次品率为10 从中任取100件 必有10件是次品 做7次抛硬币的试验 结果3次正面朝上 因此正面朝上的概率是 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 答案0解析 错 不一定有10件次品 错 是频率而非概率 错 频率不等价于概率 这是两个不同的概念 考点一随机事件的频率与概率典例1 2016课标全国 文 18 12分 某险种的基本保费为a 单位 元 继续购买该险种的投保人称为续保人 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况 得到如下统计表 考点突破 1 记a为事件 一续保人本年度的保费不高于基本保费 求p a 的估计值 2 记b为事件 一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160 求p b 的估计值 3 求续保人本年度平均保费的估计值 解析 1 事件a发生当且仅当一年内出险次数小于2 由所给数据知 一年内出险次数小于2的频率为 0 55 故p a 的估 计值为0 55 3分 2 事件b发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4 由所给数据知 一年内出险次数大于1且小于4的频率为 0 3 故p b 的估计值为0 3 6分 3 由所给数据得 10分 调查的200名续保人的平均保费为0 85a 0 30 a 0 25 1 25a 0 15 1 5a 0 15 1 75a 0 10 2a 0 05 1 1925a 因此 续保人本年度平均保费的估计值为1 1925a 12分 规律总结1 概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度 频率是随机的 而概率是一个确定的值 通常用概率来描述随机事件发生的可能性的大小 有时也用频率作为随机事件概率的估计值 2 随机事件概率的求法利用概率的统计定义可求事件的概率 即通过大量的重复试验 事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数 这个常数就是概率 1 1某种菜籽在相同的条件下发芽的试验结果如下表 则其发芽的概率约为 结果保留1位小数 答案0 9解析 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000 0 9 当种子粒数足够多时 发芽的频率约稳定于0 9 故用频率估计概率 发芽的概率约为0 9 1 2 2017郑州二中月考 某保险公司利用简单随机抽样方法 对投保车辆进行抽样 样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下 1 若每辆车的投保金额均为2800元 估计赔付金额大于投保金额的概率 2 在样本车辆中 车主是新司机的占10 在赔付金额为4000元的样本车辆中 车主是新司机的占20 估计在已投保车辆中 新司机获赔金额为4000元的概率 解析 1 设a表示事件 赔付金额为3000元 b表示事件 赔付金额为4000元 以频率估计概率得p a 0 15 p b 0 12 由于投保金额为2800元 赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元 所以其概率为p a p b 0 15 0 12 0 27 2 设c表示事件 投保车辆中新司机获赔4000元 由已知 知样本车辆中车主为新司机的有10 1000 100辆 而赔付金额为4000元的车辆中 车主为新司机的有20 120 24辆 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为 0 24 由频率估计概率得p c 0 24 考点二互斥事件与对立事件典例2某商场有奖销售中 购满100元商品得1张奖券 多购多得 1000张奖券为一个开奖单位 设特等奖1个 一等奖10个 二等奖50个 设1张奖券中特等奖 一等奖 二等奖的事件分别为a b c 求 1 1张奖券中奖的概率 2 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 解析p a p b p c 1 1张奖券中奖包含中特等奖 一等奖 二等奖 设 1张奖券中奖 为事件m 则m a b c a b c两两互斥 p m p a b c p a p b p c 故1张奖券中奖的概率为 2 设 1张奖券不中特等奖且不中一等奖 为事件n 则事件n与 1张奖券中特等奖或中一等奖 为对立事件 p n 1 p a b 1 p a p b 1 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 方法技巧1 判断互斥事件 对立事件的方法互斥事件 对立事件一般用定义判断 试验时 不可能同时发生的两个事件为互斥事件 试验时 若两个事件有且仅有一个发生 则这两个事件为对立事件 对立事件一定是互斥事件 2 复杂事件的概率的两种求法 1 直接求法 将所求事件分解为一些彼此互斥的事件 运用互斥事件的概率求和公式计算 2 间接求法 先求此事件的对立事件的概率 再用公式p a 1 p 求解 正难则反 特别是 至多 至少 型题目 用间接求法就比较简便 2 1一个盒子内装有红球 白球 黑球三种球 其数量分别为3 2 1 从中任取两球 则互斥而不对立的两个事件为 a 至少有一个白球 都是白球b 至少有一个白球 至少有一个红球c 恰有一个白球 一个白球一个黑球d 至少有一个白球 红球 黑球各一个答案d红球 黑球各取一个 则一定取不到白球 故 至少有一个白球 红球 黑球各一个 为互斥事件 又任取两球还包含 两个红球 等事件 故d中两事件不是对立事件 2 2做掷一个骰子的试验 事件a表示 小于5的偶数点出现 事件b表示 小于5的点数出现 则一次试验中 事件a 发生的概率为 a b c d 答案c由于基本事件的总数为6 故p a p b 从而p 1 p b 1 又a与互斥 故p a p a p 故选c 考点三古典概型典例3 2016山东 16 12分 某儿童乐园在 六一 儿童节推出了一项趣味活动 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次 每次转动后 待转盘停止转动时 记录指针所指区域中的数 设两次记录的数分别为x y 奖励规则如下 若xy 3 则奖励玩具一个 若xy 8 则奖励水杯一个 其余情况奖励饮料一瓶 假设转盘质地均匀 四个区域划分均匀 小亮准备参加此项活动 1 求小亮获得玩具的概率 2 请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小 并说明理由 解析用数对 x y 表示儿童参加活动先后记录的数 则基本事件空间 与点集s x y x n y n 1 x 4 1 y 4 一一对应 因为s中元素的个数是4 4 16 所以基本事件总数n 16 1 记 xy 3 为事件a 则事件a包含的基本事件数共5个 即 1 1 1 2 1 3 2 1 3 1 所以p a 即小亮获得玩具的概率为 2 记 xy 8 为事件b 3 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率 方法技巧解决关于古典概型的概率问题的关键是正确求出基本事件总数和所求事件中包含的基本事件数 1 基本事件总数较少时 可用列举法把所有基本事件一一列出 但要做到不重复 不遗漏 2 注意区分排列与组合 以及正确使用计数原理 3 当所求事件含有 至少 至多 或分类情况较多时 通常考虑用对立事件的概率公式p a 1 p 求解 3 1 2015广东 4 5分 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球 其中有10个白球 5个红球 从袋中任取2个球 所取的2个球中恰有1个白球 1个红球的概率为 a b c d 1答案b从15个球中任取2个球 取法共有种 其中恰有1个白球 1个红球的取法有 种 所以所求概率为p 故选b 3 2甲 乙两人参加法律知识竞答 共有10道不同的题目 其中选择题6道 判断题4道 甲 乙两人依次各抽一题 1 甲抽到选择题 乙抽到判断题的概率是多少 2 甲 乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少 解析甲 乙两人从10道题中不放回地各抽一道题 先抽的有10种抽法 后抽的有9种抽