高三数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第三节 圆的方程课件 理.ppt

理数课标版 第三节圆的方程 1 圆的定义及方程 教材研读 2 点与圆的位置关系点m x0 y0 与圆 x a 2 y b 2 r2的位置关系 1 若m x0 y0 在圆外 则 x0 a 2 y0 b 2 r2 2 若m x0 y0 在圆上 则 x0 a 2 y0 b 2 r2 3 若m x0 y0 在圆内 则 x0 a 2 y0 b 2 r2 1 2015北京 2 5分 圆心为 1 1 且过原点的圆的方程是 a x 1 2 y 1 2 1b x 1 2 y 1 2 1c x 1 2 y 1 2 2d x 1 2 y 1 2 2答案d由题意得圆的半径为 故该圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 故选d 2 以线段ab x y 2 0 0 x 2 为直径的圆的方程为 a x 1 2 y 1 2 2b x 1 2 y 1 2 2c x 1 2 y 1 2 8d x 1 2 y 1 2 8答案b直径的两端点分别为 0 2 2 0 圆心为 1 1 半径为 故圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 3 点 2a a 1 在圆x2 y 1 2 5的内部 则a的取值范围是 a 1 a 1b 0 a 1c 1 a d a 1答案d由 2a 2 a 2 2 5得 a 1 4 已知圆c经过a 5 1 b 1 3 两点 圆心在x轴上 则圆c的方程为 答案 x 2 2 y2 10解析易得线段ab的中垂线方程为2x y 4 0 与x轴的交点坐标为 2 0 即为圆心c的坐标 所以半径为 cb 所以圆c的方程为 x 2 2 y2 10 5 2016浙江文 10 6分 已知a r 方程a2x2 a 2 y2 4x 8y 5a 0表示圆 则圆心坐标是 半径是 答案 2 4 5解析方程a2x2 a 2 y2 4x 8y 5a 0表示圆 则a2 a 2 故a 1或2 当a 2时 方程为4x2 4y2 4x 8y 10 0 即x2 y2 x 2y 0 亦即 y 1 2 不成立 故舍去 当a 1时 方程为x2 y2 4x 8y 5 0 即 x 2 2 y 4 2 25 故圆心为 2 4 半径为5 考点一求圆的方程典例1 1 2015课标 14 5分 一个圆经过椭圆 1的三个顶点 且圆心在x轴的正半轴上 则该圆的标准方程为 2 2016百校联盟2月联考 经过点a 5 2 b 3 2 且圆心在直线2x y 3 0上的圆的方程为 答案 1 y2 2 x 2 2 y 1 2 10解析 1 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点a 4 0 b 0 2 c 0 2 易知线段ab的垂直平分线的方程为2x y 3 0 令y 0 得x 所以圆心坐标为 则半径r 4 故该圆的标准方程为 y2 2 解法一 圆过a 5 2 b 3 2 两点 考点突破 圆心一定在线段ab的垂直平分线上 易知线段ab的垂直平分线方程为y x 4 设所求圆的圆心为c a b 则解得 c 2 1 半径r ca 所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 10 解法二 设圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 r 0 则解得 所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 10 方法技巧常见的求圆的方程的方法 一是利用圆的几何特征 求出圆心坐标和半径长 写出圆的标准方程 二是利用待定系数法 如果给定的条件易求圆心坐标和半径长 那么选用标准方程求解 如果所给条件与圆心 半径关系不密切或涉及圆上多点 那么常选用一般方程求解 1 1已知圆c的圆心在x轴的正半轴上 点m 0 在圆c上 且圆心到直线2x y 0的距离为 则圆c的方程为 答案 x 2 2 y2 9解析设圆c的方程为 x a 2 y2 r2 a 0 由题意可得解得所以圆c的方程为 x 2 2 y2 9 1 2 2017广州四十七中期中 圆c通过不同的三点p k 0 q 2 0 r 0 1 已知圆c在点p处的切线斜率为1 则圆c的方程为 答案x2 y2 x 5y 6 0解析设圆c的方程为x2 y2 dx ey f 0 则k 2为x2 dx f 0的两个根 k 2 d 2k f 即d k 2 f 2k 又圆过r 0 1 故1 e f 0 e 2k 1 故所求圆的方程为x2 y2 k 2 x 2k 1 y 2k 0 圆心坐标为 圆c在点p处的切线斜率为1 kcp 1 k 3 d 1 e 5 f 6 圆c的方程为x2 y2 x 5y 6 0 考点二与圆有关的最值问题典例2 1 已知点p是直线3x 4y 8 0上的动点 点c是圆x2 y2 2x 2y 1 0的圆心 那么 pc 的最小值是 2 若实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 则的最大值为 最小值为 答案 1 3 2 解析 1 点c到直线3x 4y 8 0上的动点p的最小距离即为点c到直线3x 4y 8 0的距离 又圆心c的坐标是 1 1 因此最小距离为 3 2 原方程可化为 x 2 2 y2 3 表示点p 1 0 与圆 x 2 2 y2 3上的点 x y 的连线的斜率 如图 由图知的最大值和最小值分别是过p与圆相切的直线pa pb的斜率 又 kpa kpb 的最大值为 最小值为 方法技巧最值问题的几何转化法 1 形如 形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题 2 形如t ax by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题 3 形如m x a 2 y b 2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 变式2 1在若本例 1 的条件下 设点a为圆上的动点 试求 pa 的最小值 解析易知 pa 的最小值 pc 的最小值 圆的半径 由例题知圆心c与点p的最小距离为3 又因为圆x2 y2 2x 2y 1 0的半径为1 所以 pa 的最小值为3 1 2 变式2 2在本例 2 的条件下 求y x的最大值和最小值 解析y x可看作是直线y x b在y轴上的截距 当直线y x b与圆相切时 纵截距b取得最大值或最小值 此时 解得b 2 所以y x的最大值为 2 最小值为 2 变式2 3在本例 2 的条件下 求x2 y2的最大值和最小值 解析x2 y2表示圆上的点与原点的距离的平方 由平面几何知识知 在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为 2 所以x2 y2的最大值是 2 2 7 4 x2 y2的最小值是 2 2 7 4 考点三与圆有关的轨迹问题典例3已知a 2 0 为圆x2 y2 4上一定点 b 1 1 为圆内一点 p q为圆上的动点 1 求线段ap中点的轨迹方程 p与a不重合 2 若 pbq 90 求线段pq中点的轨迹方程 解析 1 设ap的中点为m x y 由中点坐标公式可知 p点坐标为 2x 2 2y 因为点p在圆x2 y2 4上 所以 2x 2 2 2y 2 4 故线段ap中点的轨迹方程为 x 1 2 y2 1 x 2 2 设pq的中点为n x y 在rt pbq中 pn bn 设o为坐标原点 连接on 则on pq 所以 op 2 on 2 pn 2 on 2 bn 2 所以x2 y2 x 1 2 y 1 2 4 故线段pq中点的轨迹方程为x2 y2 x y 1 0 方法技巧求与圆有关的轨迹问题时 根据题设条件的不同采用以下方法 1 直接法 直接根据题设给定的条件列出方程 2 定义法 根据圆的定义列方程 3 几何法 利用圆的几何性质列方程 4 代入法 找出要求的点与已知点的关系 代入已知点满足的关系式 从而得出方程 3 1已知定点m 3 4 动点n在圆x2 y2 4上运动 点o是坐标原点 以om on为两边作平行四边形monp 求动点p的