高三数学一轮复习 第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第三节 二项式定理课件 理.ppt

理数课标版 第三节二项式定理 1 二项式定理 教材研读 2 二项式系数的性质 1 已知展开式的第4项等于5 则x等于 a b c 7d 7答案b由t4 x4 5得x 故选b 2 已知 2 x 10 a0 a1x a2x2 a10 x10 则a8 a 180b 180c 45d 45答案a由题意得a8 22 1 8 180 故选a 3 二项式的展开式中常数项是 a 240b 60c 192d 180答案atr 1 2x 6 r 26 rx6 3r 令6 3r 0 解得r 2 常数项是24 24 240 4 2016天津 10 5分 的展开式中x7的系数为 用数字作答 答案 56解析tr 1 x16 2r x r 1 rx16 3r 令16 3r 7 得r 3 所以x7的系数为 1 3 56 5 在的展开式中 x2的系数是 各项系数之和为 用数字作答 答案10 243解析x2的系数为 2 10 令x 1 得各项系数之和为 1 2 5 243 考点一二项展开式中的特定项和特定项的系数 考点突破 典例1 1 2016山东 12 5分 若的展开式中x5的系数是 80 则实数a 2 若a sinxdx 则二项式的展开式中常数项是 3 的展开式中的有理项共有项 答案 1 2 2 160 3 3解析 1 tr 1 a5 r 令10 r 5 解之得r 2 所以a3 80 解得a 2 2 a sinxdx cosx cos cos0 2 二项式的展开式的通项为tr 1 2 6 r 1 r26 rx3 r 令3 r 0 得r 3 故展开式中常数项为t4 1 326 3 160 3 的展开式的通项为tr 1 8 r r 0 1 2 8 为使tr 1为有理项 r必须是4的整数倍 所以r 0 4 8 故共有3个有理项 分别是t1 x4 x4 t5 x x t9 x 2 易错警示应用通项公式要注意五点 1 tr 1 an rbr表示二项展开式的任意项 只要n与r确定 该项就随之确定 2 tr 1是展开式中的第r 1项 而不是第r项 3 公式中a b的指数和为n 4 要将通项中的系数和字母分离开 以便于解决问题 5 关于二项式 a b n展开式的通项公式 要特别注意符号问题 1 1 2014湖南 4 5分 的展开式中x2y3的系数是 a 20b 5c 5d 20答案a展开式的通项为tk 1 2y k 1 k 22k 5x5 k yk 令5 k 2 得k 3 则展开式中x2y3的系数为 1 3 22 3 5 20 故选a 1 2在的展开式中 若常数项为60 则n等于 a 3b 6c 9d 12答案b通项tr 1 n r 2r 令 0 得r 展开式中的常数项为 若n 3 则 6 60 排除a 同理 将n 6 9 12代入一一验证 得n 6 故选b 1 3 2016广东广州模拟 在的展开式中 x的非负整数次幂的个数为 答案2解析展开式的通项为tr 1 1 r 15 r 1 r2r r 0 1 15 由题意知5 r为非负整数 解得r 0或6 符合要求的项的个数为2 考点二二项式系数的问题与各项系数和的问题典例2 1 设m为正整数 x y 2m展开式的二项式系数的最大值为a x y 2m 1展开式的二项式系数的最大值为b 若13a 7b 则m a 5b 6c 7d 8 2 若 1 2x 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 则a1 a2 a3 a4 答案 1 b 2 0解析 1 由题意得a b 则13 7 13 解得m 6 经检验m 6为原方程的解 故选b 2 令x 1 可得a0 a1 a2 a3 a4 1 令x 0 可得a0 1 所以a1 a2 a3 a4 0 规律总结 1 对形如 ax b n a b r 的式子求其展开式各项系数之和 常用赋值法 只需令x 1即可 2 对形如 ax by n a b r 的式子求其展开式各项系数之和 只需令x y 1即可 3 一般地 对于多项式 a bx n a0 a1x a2x2 anxn 令g x a bx n 则 a bx n展开式中各项的系数的和为g 1 a bx n展开式中奇数项的系数和为 g 1 g 1 a bx n展开式中偶数项的系数和为 g 1 g 1 变式2 1在本例 2 的条件下 求a0 a2 a4的值 解析在 1 2x 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4中 令x 1 可得a0 a1 a2 a3 a4 1 令x 1 可得a0 a1 a2 a3 a4 81 并化简 得a0 a2 a4 41 变式2 2在本例 2 的条件下 求 a1 a2 a3 a4 的值 解析利用二项展开式的通项公式可知a1 a30 在 1 2x 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4中 令x 0 得a0 1 令x 1 得a0 a1 a2 a3 a4 a0 a1 a2 a3 a4 1 2 4 81 a1 a2 a3 a4 80 变式2 3在本例 2 的条件下 求 的值 解析在 1 2x 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4中 令x 则左边 0 右边 a0 令x 0 得a0 1 1 考点三多项式的展开式中的特定项系数问题命题角度一几个二项式和的展开式中的特定项系数问题典例3 的展开式中的常数项为 a 32b 34c 36d 38答案d 解析的展开式的通项为tk 1 x3 4 k 2 kx12 4k 令12 4k 0 解得k 3 的展开式的通项为tr 1 x8 r x8 2r 令8 2r 0 得r 4 所以所求展开式中的常数项为 2 3 38 命题角度二几个二项式积的展开式中的特定项系数问题典例4 1 已知 1 ax 1 x 5的展开式中x2的系数为5 则a a 4b 3c 2d 1 2 2015课标 15 5分 a x 1 x 4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32 则a 答案 1 d 2 3解析 1 由二项式定理得 1 x 5的展开式的通项为tr 1 xr 所以当r 2时 1 ax 1 x 5的展开式中相应x2的系数为 当r 1时 1 ax 1 x 5的展开式中相应x2的系数为 a 所以 a 5 即a 1 故选d 2 设f x a x 1 x 4 则其展开式中所有项的系数和为f 1 a 1 1 1 4 a 1 16 奇数次幂项的系数和为 f 1 f 1 又f 1 0 a 1 16 32 a 3 命题角度三三项展开式中特定项系数问题典例5 1 2015课标 10 5分 x2 x y 5的展开式中 x5y2的系数为 a 10b 20c 30d 60 2 1 x 5y 5的展开式中不含x的项的系数和为 结果化成最简形式 答案 1 c 2 1024解析 1 x2 x y 5 x2 x y 5的展开式中只有 x2 x 3y2中含x5y2 易知x5y2的系数为 30 故选c 2 1 x 5y 5的展开式中不含x的项的系数和等于 1 5y 5的展开式的各项系数和 在 1 5y 5中 令y 1 得其展开式的各项系数和为 4 5 1024 所以 1 x 5y 5的展开式中不含x的项的系数和为 1024 规律总结 1 对于几个二项式和的展开式中的特定项系数问题 只需依据二项展开式的通项 从相应各项中分别得到所含的特定项的系数 再求和即可 2 对于几个二项式积的展开式中的特定项系数问题 一般可以根据因式连乘的规律 结合组合思想求解 但要注意适当地运用分类方法 以免重复或遗漏 3 对于三项展开式中的特定项系数问题 可通过配方或适当分组 转化为二项展开式问题求解 3 1在 1 x 5 1 x 6 1 x 7 1 x 8的展开式中 含x3的项的系数是 a 74b 121c 74d 121答案d展开式中含x3的项的系数为 1 3 1 3 1 3 1 3 121 3 2如果 1 x x2 x a 5 a为实常数 的展开式中所有项的系数和为0 则展开式中含x4的项的系数为 答案 5解析 1 x x2 x a 5的展开式中所有项的系数和为 1 1 12 1 a 5 0 a 1 1 x x2 x a 5 1 x x2 x 1 5 x3 1 x 1 4 x3 x 1 4 x 1 4 其展开式中含x4的项的系数为 1 3 1 0 5 3 3 x2 x 1 10的展开式中含x3的项的系数为 答案 210解析由题意 x2 x 1