广东省廉江市高考数学一轮复习 数学归纳法总复习课件 理 新人教A版.ppt

数学归纳法要点梳理1 归纳法由一系列有限的特殊事例得出的推理方法叫归纳法 根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为归纳法和归纳法 一般结论 完全 不完 全 基础知识自主学习 2 数学归纳法 1 数学归纳法 设 pn 是一个与正整数相关的命题集合 如果 证明起始命题p1 或p0 成立 在假设pk成立的前提下 推出pk 1也成立 那么可以断定 pn 对一切正整数成立 2 数学归纳法证题的步骤 归纳奠基 证明当n取第一个值时 命题成立 归纳递推 假设 k n0 k n 时命题成立 证明当时命题也成立 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 n n0 n k n k 1 基础自测1 用数学归纳法证明 1 a a2 an 1 a 1 在验证n 1时 左端计算所得的项为 a 1b 1 ac 1 a a2d 1 a a2 a3 c 2 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时 第一步检验第一个值n0等于 a 1b 2c 3d 0解析边数最少的凸n边形是三角形 c 3 如果命题p n 对n k成立 则它对n k 2也成立 若p n 对n 2成立 则下列结论正确的是 a p n 对所有正整数n都成立b p n 对所有正偶数n都成立c p n 对所有正奇数n都成立d p n 对所有自然数n都成立解析归纳奠基是 n 2成立 归纳递推是 n k成立 则对n k 2成立 p n 对所有正偶数n都成立 b 4 某个命题与自然数n有关 若n k k n 时命题成立 那么可推得当n k 1时该命题也成立 现已知n 5时 该命题不成立 那么可以推得 a n 6时该命题不成立b n 6时该命题成立c n 4时该命题不成立d n 4时该命题成立解析方法一由n k k n 成立 可推得当n k 1时该命题也成立 因而若n 4成立 必有n 5成立 现知n 5不成立 所以n 4一定不成立 方法二其逆否命题 若当n k 1时该命题不成立 则当n k时也不成立 为真 故 n 5时不成立 n 4时不成立 c 5 用数学归纳法证明1 2 3 n2 则当n k 1时左端应在n k的基础上加上 a k2 1b k 1 2c d k2 1 k2 2 k2 3 k 1 2解析 当n k时 左边 1 2 3 k2 当n k 1时 左边 1 2 3 k2 k2 1 k 1 2 当n k 1时 左端应在n k的基础上加上 k2 1 k2 2 k2 3 k 1 2 c 题型一用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明 对任意的n n 用数学归纳法证明的步骤为 归纳奠基 验证当n 1时结论成立 归纳递推 假设当n k k n 时成立 推出当n k 1时结论也成立 题型分类深度剖析 证明所以等式成立 2 假设当n k k n 时等式成立 即有 所以当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对一切n n 等式都成立 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时 关键在于 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 项的多少与n的取值是否有关 由n k到n k 1时等式的两边变化的项 然后正确写出归纳证明的步骤 使问题得以证明 知能迁移1用数学归纳法证明 证明 1 当n 1时 等式左边等式右边所以等式成立 2 假设n k k n 时等式成立 那么当n k 1时 即n k 1时等式成立 由 1 2 可知 对任意n n 等式均成立 题型二用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明an 1 a 1 2n 1 n n 能被a2 a 1整除 解 1 当n 1时 a2 a 1 a2 a 1可被a2 a 1整除 2 假设n k k n 时 ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 验证n 1时命题是否成立 假设n k时命题成立 推证n k 1时命题成立 得结论 则当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 由假设可知a ak 1 a 1 2k 1 能被a2 a 1整除 a2 a 1 a 1 2k 1也能被a2 a 1整除 ak 2 a 1 2k 1也能被a2 a 1整除 即n k 1时命题也成立 对任意n n 原命题成立 证明整除问题的关键是 凑项 而采用增项 减项 拆项和因式分解等手段 凑出n k时的情形 从而利用归纳假设使问题获证 知能迁移2求证 3n 1 7n 1 n n 能被9整除 证明 1 当n 1时 3n 1 7n 1 27能被9整除 2 假设n k k n 时命题成立 即 3k 1 7k 1能被9整除 那么n k 1时 3 k 1 1 7k 1 1 3k 1 3 1 6 7k 1 3k 1 7k 1 3k 1 6 7k 21 7k 3k 1 7k 1 3k 6 7k 6 21 7k 以上三项均能被9整除 则由 1 2 可知 命题对任意n n 都成立 题型三用数学归纳法证明不等式用数学归纳法证明 对一切大于1的自然数 不等式均成立 应注意到题目条件 第一步应验证n 2时不等式成立 证明 1 当n 2时 左边 左边 右边 不等式成立 2 假设n k k 2 且k n 时不等式成立 则当n k 1时 当n k 1时 不等式也成立 由 1 2 知 对于一切大于1的自然数n 不等式都成立 在由n k到n k 1的推证过程中 应用放缩技巧 使问题得以简化 用数学归纳法证明不等式问题时 从n k到n k 1的推证过程中 证明不等式的常用方法有比较法 分析法 综合法 放缩法等 知能迁移3已知函数f x x sinx 数列 an 满足 00 所以f x 在 0 1 上是增函数 又f x 在 0 1 上连续 从而f 0 f ak f 1 即0 ak 1 1 sin1 1 故当n k 1时 结论成立 由 可知 0 an 1对一切正整数都成立 又因为0 an 1时 an 1 an an sinan an sinan 0 所以an 1 an 综上所述 0 an 1 an 1 2 设函数g x sinx x 由 1 知 当0 x 1时 sinx x 从而g x 所以g x 在 0 1 上是增函数 又g x 在 0 1 上连续 且g 0 0 所以当00成立 于是g an 0 即 题型四归纳 猜想 证明 12分 已知等差数列 an 的公差d大于0 且a2 a5是方程x2 12x 27 0的两根 数列 bn 的前n项和为tn 且 1 求数列 an bn 的通项公式 2 设数列 an 的前n项和为sn 试比较与sn 1的大小 并说明理由 1 由a2 a5是方程的根 求出an 再由求出bn 2 先猜想与sn 1的大小关系 再用数学归纳法证明 解又 an 的公差大于0 a5 a2 a2 3 a5 9 5分 6分 下面用数学归纳法证明 当n 4时 已证 9分 k2 4k 4 2k2 2k 1 k 1 1 2 s k 1 1 11分 12分 1 归纳 猜想 证明是高考重点考查的内容之一 此类问题可分为归纳性问题和存在性问题 本例中归纳性问题需要从特殊情况入手 通过观察 分析 归纳 猜想 探索出一般规律 2 数列是定义在n 上的函数 这与数学归纳法运用的范围是一致的 并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的 数列中有不少问题常用数学归纳法解决 知能迁移4如图所示 p1 x1 y1 p2 x2 y2 pn xn yn 0 y1 y2 yn 是曲线c y2 3x y 0 上的n个点 点ai ai 0 i 1 2 3 n 在x轴的正半轴上 且 ai 1aipi是正三角形 a0是坐标原点 1 写出a1 a2 a3 2 求出点an an 0 n n 的横坐标an关于n的表达式并证明 解 1 a1 2 a2 6 a3 12 2 依题意 得即 an an 1 2 2 an 1 an 由 1 可猜想 an n n 1 n n 下面用数学归纳法予以证明 当n 1时 命题显然成立 假设当n k k n 时命题成立 即有an k k 1 则当n k 1时 由归纳假设及 ak 1 ak 2 2 ak ak 1 得 ak 1 k k 1 2 2 k k 1 ak 1 即 ak 1 2 2 k2 k 1 ak 1 k k 1 k 1 k 2 0 解之得 ak 1 k 1 k 2 ak 1 k k 1 ak不合题意 舍去 即当n k 1时 命题成立 由 知 命题成立 思想方法感悟提高方法与技巧1 利用数学归纳法可以对不完全归纳的问题进行严格的证明 2 利用数学归纳法可以证明与正整数有关的等式问题 3 利用数学归纳法可以证明与正整数有关的不等式问题 4 利用数学归纳法可以证明整除问题 在证明时常常利用凑数 凑多项式等恒等变形 5 利用数学归纳法可以证明几何问题 失误与防范1 数学归纳法仅适应于与正整数有关的数学命题 2 严格按照数学归纳法的三个步骤书写 特别是对初始值的验证不可省略 有时要取两个 或两个以上 初始值进行验证 初始值的验证是归纳假设的基础 3 注意n k 1时命题的正确性 4 在进行n k 1命题证明时 一定要用n k k n 时的命题 没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法 一 选择题1 用数学归纳法证明命题 当n是正奇数时 xn yn能被x y整除 在第二步时 正确的证法是 a 假设n k k n 证明n k 1命题成立b 假设n k k是正奇数 证明n k 1命题成立c 假设n 2k 1 k n 证明n k 1命题成立d 假设n k k是正奇数 证明n k 2命题成立解析a b c中 k 1不一定表示奇数 只有d中k为奇数 k 2为奇数 d 定时检测 2 用数学归纳法证明 n n n 1 时 由n k k 1 不等式成立 推证n k 1时 左边应增加的项数是 a 2k 1b 2k 1c 2kd 2k 1解析增加的项数为 2k 1 1 2k 1 2k 1 2k 2k c 3 对于不等式 n n 某同学用数学归纳法的证明过程如下 1 当n 1时 不等式成立 2 假设当n k k n 时 不等式成立 即则当n k 1时 所以当n k 1时 不等式成立 则上述证法 a 过程全部正确b n 1验得不正确c 归纳假设不正确d 从n k到n k 1的推理不正确解析在n k 1时 没有应用n k时的假设 不是数学归纳法 d 4 用数学归纳法证明 n3 n 1 3 n 2 3 n n 能被9整除 要利用归纳假设证n k 1时的情况 只需展开 a k 3 3b k 2 3c k 1 3d k 1 3 k 2 3解析假设当n k时 原式能被9整除 即k3 k 1 3 k 2 3能被9整除 当n k 1时 k 1 3 k 2 3 k 3 3为了能用上面的归纳假设 只需将 k 3 3展开 让其出现k3即可 a 5 证明当n 2时 左边式子等于 a 1b c d 解析当n 2时 左边的式子为 d 6 用数学归纳法证明不等式 n 2 n n 的过程中 由n k递推到n k 1时不等式左边 a 增加了一项b 增加了两项c 增加了b中两项但减少了一项d 以上各种情况均不对 解析答案c 二 填空题7 若f n 12 22 32 2n 2 则f k 1 与f k 的递推关系式是 解析 f k 12 22 2k 2 f k 1 12 22 2k 2 2k 1 2 2k 2 2 f k 1 f k 2k 1 2 2k 2 2 f k 1 f k 2k 1 2 2k 2 2 8 用数学归纳法证明 n n 且n 1 第一步要证的不等式是 解析n 2时 左边 9 已知整数对的序列如下 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 3 2 4 1 1 5 2 4 则第60个数对是 解析本题规律 2 1 1 3 1 2 2 1 4 1 3 2 2 3 1 5 1 4 2 3 3 2 4 1 一个整数n所拥有数对为 n 1 对 设1 2 3 n 1 60 n 11时还多5对数 且这5对数和都为12 12 1 11 2 10 3 9 4 8 5 7 第60个数对为 5 7 5 7 三 解答题10 已知数列 an 中 n n 证明 0 an an 1 1 证明 1 n 1时 0 a1 a2 1 故结论成立 2 假设n k k n 时结论成立 即0 ak ak 1 1 即0 ak 1 ak 2 1 也就是说n k 1时 结论也成立 由 1 2 可知 对一切n n 均有0 an an 1 1 11 用数学归纳法证明对于任意正整数n n2 1 2 n2 22 n n2 n2 证明 1 当n 1时 左式 12 1 0 所以等式成立 2 假设n k k n 时等式成立 即 k2 1 2 k2 22 k k2 k2 那么 k 1 2 1 2 k 1 2 22 k k 1 2 k2 k 1 k 1 2 k 1 2 k2 1 2 k2 22 k k2 k2 2k 1 1 2 k 所以当n k 1时等式成立 由 1 2 知对任意n n 等式成立 12 在数列 an bn 中 a1 2 b1 4 且an bn an 1成等差数列 bn an 1 bn 1成等比数列 n n 求a2 a3 a4与