4.1 微分方程的基本概念.pdf

1 第四章第四章第四章第四章微分方程微分方程微分方程微分方程 Differential Equation 第一节第一节第一节第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念 本节本节本节本节要点要点要点要点 本本本本节节节节介绍微分方程中的基本概念介绍微分方程中的基本概念介绍微分方程中的基本概念介绍微分方程中的基本概念 微分方程与微分方微分方程与微分方微分方程与微分方微分方程与微分方 程的解程的解程的解程的解 微分方程的阶微分方程的阶微分方程的阶微分方程的阶 微分方程的通解微分方程的通解微分方程的通解微分方程的通解 微分方程微分方程微分方程微分方程 的初值条件和特解的初值条件和特解的初值条件和特解的初值条件和特解 引例引例引例引例 1 曲线曲线曲线曲线 C 通过点通过点通过点通过点 且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点且在该曲线上任一点 处的切线的斜率为处的切线的斜率为处的切线的斜率为处的切线的斜率为 求曲线求曲线求曲线求曲线 C 的方程的方程的方程的方程 1 2 M x y 2x 解解解解 设曲线方程为设曲线方程为设曲线方程为设曲线方程为 由导数的几何意义由导数的几何意义由导数的几何意义由导数的几何意义 可知可知可知可知 未知函数未知函数未知函数未知函数应满足关系式应满足关系式应满足关系式应满足关系式 并且还应满足条件并且还应满足条件并且还应满足条件并且还应满足条件 时时时时 此条件记作此条件记作此条件记作此条件记作 y y x 2 1 dy x dx 1x 2y y y x 1 2 2 x y 这里得到的这里得到的这里得到的这里得到的 1 式是式是式是式是未知函数未知函数未知函数未知函数的导数所满足的的导数所满足的的导数所满足的的导数所满足的 关系式关系式关系式关系式 在在在在 1 式两端作积分式两端作积分式两端作积分式两端作积分 得得得得 把条件把条件把条件把条件代入代入代入代入 3 式得式得式得式得 把把把把代入代入代入代入 3 式即得所求曲线的方程式即得所求曲线的方程式即得所求曲线的方程式即得所求曲线的方程 y y x 2 2 3 yxdxyxC 即 1 2 x y 2 211CC 1C 2 1 4 yx 引例引例引例引例2 以初速度以初速度以初速度以初速度垂直上抛一质量为垂直上抛一质量为垂直上抛一质量为垂直上抛一质量为的物体的物体的物体的物体 如果空如果空如果空如果空 0 vm mg kv O h mamgkv 气的阻力与物体运动的速度成正比气的阻力与物体运动的速度成正比气的阻力与物体运动的速度成正比气的阻力与物体运动的速度成正比 试讨论上抛高度与试讨论上抛高度与试讨论上抛高度与试讨论上抛高度与 t时间时间时间时间 的关系的关系的关系的关系 h解解解解如图建立坐标轴如图建立坐标轴如图建立坐标轴如图建立坐标轴 轴轴轴轴 正向朝上正向朝上正向朝上正向朝上 t h t设物体在时刻设物体在时刻设物体在时刻设物体在时刻的高度为的高度为的高度为的高度为 t在时刻在时刻在时刻在时刻 物体受到两个力的作用物体受到两个力的作用物体受到两个力的作用物体受到两个力的作用 mg kv 重力重力重力重力 空气阻力空气阻力空气阻力空气阻力 由牛顿定律由牛顿定律由牛顿定律由牛顿定律 物体运动的加速度应满足物体运动的加速度应满足物体运动的加速度应满足物体运动的加速度应满足 0 v v a 由由由由导数的物理意义知导数的物理意义知导数的物理意义知导数的物理意义知 速度速度速度速度加速度加速度加速度加速度 d d h v t 2 2 d d h a t 从而得到如下的关系式从而得到如下的关系式从而得到如下的关系式从而得到如下的关系式 或或或或写成写成写成写成 这就是高度函数这就是高度函数这就是高度函数这就是高度函数应该满足的关系应该满足的关系应该满足的关系应该满足的关系 此外此外此外此外还应该还应该还应该还应该 h t h t 2 2 dd dd hh mmgk tt 2 2 dd 5 dd hkh g tmt 满足如下条件满足如下条件满足如下条件满足如下条件 2 0 0 0 d 0 6 d t t h hv t 2 2 0 0 dd dd d 0 0 0 d t hkh g tmt h hvv t 即即即即满足满足满足满足 h t 可以验证可以验证可以验证可以验证 12 7 kmg tt mk h tCC e 满足关系式满足关系式满足关系式满足关系式 5 利用条件利用条件利用条件利用条件 6 可求得可求得可求得可求得 2010 mg mmg m CvCv kkkk 代入代入代入代入 7 式式式式 就得就得就得就得 0 1 kt m mg mmg h tvet kkk 8 将将将将的值代入的值代入的值代入的值代入 7 式式式式 就得所求的函数就得所求的函数就得所求的函数就得所求的函数 12 C C 定义定义定义定义 一般一般一般一般 一个微分方程可以写成一个微分方程可以写成一个微分方程可以写成一个微分方程可以写成 0 n F x y yy L 微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数 叫做叫做叫做叫做 4 410125sin2yyyyyx 为为为为一个四阶微分方程一个四阶微分方程一个四阶微分方程一个四阶微分方程 微分方程的阶 例如上面的例如上面的例如上面的例如上面的 1 是一阶微分方程是一阶微分方程是一阶微分方程是一阶微分方程 5 是二阶是二阶是二阶是二阶 微分方程微分方程微分方程微分方程 而而而而 一个含有未知函数一个含有未知函数一个含有未知函数一个含有未知函数的导数的等式叫做的导数的等式叫做的导数的等式叫做的导数的等式叫做微分方程 xy 如果定义在区间如果定义在区间如果定义在区间如果定义在区间 上的某个函数满足微分方程上的某个函数满足微分方程上的某个函数满足微分方程上的某个函数满足微分方程 就称该就称该就称该就称该 函数为函数为函数为函数为 解为微分方程的解为微分方程的解为微分方程的解为微分方程的通解 例如例如例如例如 3 和和和和 7 类似类似类似类似 2 和和和和 6 这样的定解条件称为这样的定解条件称为这样的定解条件称为这样的定解条件称为初值条件 I 微分方程的解 如果在微分方程的解中含有相互独立的任意常数如果在微分方程的解中含有相互独立的任意常数如果在微分方程的解中含有相互独立的任意常数如果在微分方程的解中含有相互独立的任意常数 并且并且并且并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同任意常数的个数与微分方程的阶数相同任意常数的个数与微分方程的阶数相同任意常数的个数与微分方程的阶数相同 那么称这样的那么称这样的那么称这样的那么称这样的 确定微分方程通解中的任意常数的值的条件叫做确定微分方程通解中的任意常数的值的条件叫做确定微分方程通解中的任意常数的值的条件叫做确定微分方程通解中的任意常数的值的条件叫做定解条件 由初值条件确定了通解中任意常数的值后所得到的解由初值条件确定了通解中任意常数的值后所得到的解由初值条件确定了通解中任意常数的值后所得到的解由初值条件确定了通解中任意常数的值后所得到的解 叫做叫做叫做叫做特解 例如例如例如例如 4 和和和和 8 general solution initial condition particular solution 下面验证函数下面验证函数下面验证函数下面验证函数 12 e kt m mg h tCCt k 其中其中其中其中是两个任意常数是两个任意常数是两个任意常数是两个任意常数 满足方程满足方程满足方程满足方程 12 C C 求求求求的的的的 一阶及二阶导数一阶及二阶导数一阶及二阶导数一阶及二阶导数 得到得到得到得到 2 d e d kt m hkmg C tmk 2 2 2 2 d e d kt m hk C tm 于是有于是有于是有于是有 2 2 dd dd hkh g tmt 2 2 dd dd hkh g tmt th 把定解条件把定解条件把定解条件把定解条件代入代入代入代入0 0th 把条件把条件把条件把条件代入代入代入代入 0 d 0 d h tv t 12 e kt m mg h tCCt k 12 0 CC 得得得得 2 d e d kt m hkmg C tmk 因此函数因此函数因此函数因此函数 12 e kt m mg h tCCt k 是二阶微分方程是二阶微分方程是二阶微分方程是二阶微分方程的通解的通解的通解的通解 2 2 dd dd hkh g tmt 3 从而得到从而得到从而得到从而得到 120 mgm CCv kk 所以所以所以所以 0 1 e kt m mgmmg h tvt kkk 20 mgm Cv kk 得得得得 这是二阶微分方程这是二阶微分方程这是二阶微分方程这是二阶微分方程的一个特解的一个特解的一个特解的一个特解 2 2 dd dd hkh g tmt 一般地一般地一般地一般地 阶微分方程阶微分方程阶微分方程阶微分方程n 的的的的通解为带有通解为带有通解为带有通解为带有个互相独立的任意常数的函数个互相独立的任意常数的函数个互相独立的任意常数的函数个互相独立的任意常数的函数n 如果给出了如果给出了如果给出了如果给出了 个条件个条件个条件个条件 一起组成初值条件一起组成初值条件一起组成初值条件一起组成初值条件 n 0 n F x y yy L 12 n yy x C CC L 00 0 1 011 n n x xx x x x yyyyyy L 就能就能就能就能确定任意常数确定任意常数确定任意常数确定任意常数的值而求出的一个解的值而求出的一个解的值而求出的一个解的值而求出的一个解 12 n C CCL 由微分方程及其初值条件就构成由微分方程及其初值条件就构成由微分方程及其初值条件就构成由微分方程及其初值条件就构成微分方程初值问题 1 000101 0 n n n F x y yy y xyy xyyxy L L 例如求微分方程例如求微分方程例如求微分方程例如求微分方程满足条件满足条件满足条件满足条件0yy 0 1 0 1yy 容易验证该方程有通解容易验证该方程有通解容易验证该方程有通解容易验证该方程有通解 12 cossin yCxCx 再再再再由初值条件由初值条件由初值条件由初值条件 得关系得关系得关系得关系 12 12 1cos0sin0 1sin0cos0 CC CC 从而得到从而得到从而得到从而得到即原方程的特解为即原方程的特解为即原方程的特解为即原方程的特解为 12 1 1 CC cossin yxx 的特解的特解的特解的特解 某一特定曲线某一特定曲线某一特定曲线某一特定曲线 微分方程的解的图形称为微分方程的微分方程的解的图形称为微分方程的微分方程的解的图形称为微分方程的微分方程的解的图形称为微分方程的积分曲线 通解的图形是一族积分曲线通解的图形是一族积分曲线通解的图形是一族积分曲线通解的图形是一族积分曲线 而特解的图形则是依据定解条件而确定的积分曲线中的而特解的图形则是依据定解条件而确定的积分曲线中的而特解的图形则是依据定解条件而确定的积分曲线中的而特解的图形则是依据定解条件而确定的积分曲线中的 例例例例3 设曲线上任意点设曲线上任意点设曲线上任意点设曲线上任意点处的切线交处的切线交处的切线交处的切线交 轴于轴于轴于轴于 的的的的 P x yyQPQ 解解解解 设曲线的方程为设曲线的方程为设曲线的方程为设曲线的方程为曲线在点曲线在点曲线在点曲线在点处的处的处的处的 yy x P x y Yyy