矩形的判定 (5).docx

第课时1.理解并掌握矩形的判定方法.2.使学生能应用矩形的定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题,进一步培养学生的分析能力.1.从矩形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,进一步理解互逆命题的意义,体会矩形的性质与判定的区别与联系.2.让学生经历探索矩形判定定理的过程,理解并掌握矩形的判定方法,积累几何学习的经验,发展合情推理和演绎推理的能力.在课堂活动中,通过观察、思考、猜想、证明,培养学生主动参与、乐于探究、勤于动手的学习习惯.【重点】矩形判定定理的运用.【难点】矩形判定方法的理解及应用.【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】复习矩形的定义及其性质.导入一:工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否为矩形,常常要量一量这个四边形的两条对角线长度,如果对角线长相等,则窗框一定是矩形,你知道为什么吗? 设计意图创设情境,导入新课,将数学与生产生活紧密联系,让学生感受到数学来源于生活,又服务于生活.导入二:上节我们研究了矩形的定义与性质,现在请同学们回忆学过的内容,回答下面的问题:(1)矩形有哪些性质是平行四边形所没有的?(2)矩形是特殊的平行四边形,那么怎样判定一个平行四边形是矩形呢?学生思考、交流:(1)角:矩形的四个角都是直角;对角线:矩形的对角线相等;对称性:矩形是轴对称图形.(2)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,用定义可以判定一个平行四边形是矩形.几何语言:ABCD中,A=90(已知),四边形ABCD是矩形(矩形的定义).除了定义判定之外,你还有其他的判定方法吗?设计意图温故知新,引导学生复习学过的矩形的定义、性质,为下面学习矩形的判定奠定基础.1.矩形的判定思路一过渡语前面我们学过,在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.(1)命题“矩形的对角线相等”的条件是;结论是.它的逆命题是,该逆命题是命题(填“真”或“假”).(2)命题“矩形的四个角都是直角”的条件是;结论是.它的逆命题是.该逆命题是命题(填“真”或“假”).师生共同研究、猜想、证明.一名学生回答:(1)命题“矩形的对角线相等”的条件是:四边形是矩形,结论是:对角线相等.它的逆命题是:对角线相等的四边形是矩形.该逆命题是假命题.如右图,四边形ABCD中,对角线AC=BD,显然它不是矩形.追问:“对角线相等的四边形是矩形”是假命题,那么“对角线相等的平行四边形是矩形”是真命题,还是假命题?请说明理由.生分析发现:“对角线相等的平行四边形是矩形”是真命题.理由如下:已知:如图,在ABCD中,对角线AC=BD.求证:ABCD是矩形.解析要证明ABCD是矩形,只需证明有一个角是直角即可.证明:四边形ABCD是平行四边形,AB=DC(平行四边形的对边相等).又BC=CB,AC=DB,ABCDCB(SSS).ABC=DCB.由题意知ABDC(平行四边形的对边平行),ABC+DCB=180.ABC=DCB=180=90.ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).通过大家猜想、证明,我们得到了矩形的一个判定定理.定理:对角线相等的平行四边形是矩形.请同学们注意这个定理的符号语言:在ABCD中,AC=BD,ABCD是矩形.过渡语接下来请继续讨论,交流.命题“矩形的四个角都是直角”的条件是:四边形是矩形,结论是:四个角都是直角.它的逆命题是:四个角都是直角的四边形是矩形.该逆命题是真命题.理由如下:已知:如图,四边形ABCD中,A=B=C=D=90.求证:四边形ABCD是矩形.解析要证明四边形ABCD是矩形,只需证明四边形ABCD是平行四边形即可.证明:A+B=180,ADBC.B+C=180,ABDC.四边形ABCD是平行四边形.又A=90,四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).追问:有三个角是直角的四边形是矩形吗?同桌议论:根据四边形的内角和是360,知如果有三个角是直角,那么第四个角一定是直角.所以只要有三个角是直角就能判定四边形是矩形.通过大家猜想、证明,我们又得到了矩形的一个判定定理.定理:有三个角是直角的四边形是矩形.用符号语言表述为:四边形ABCD中,A=B=C=90,四边形ABCD是矩形.至此,我们得到了矩形的三种判定方法:一个定义和两个判定定理.以后同学们可以直接应用矩形的定义、定理来解决问题.设计意图从矩形性质定理的逆命题出发,提出猜想,发现结论,然后给出证明,让学生进一步理解互逆命题的意义,体会矩形的性质与判定的区别与联系.思路二如图,工人师傅在做门窗或矩形零件时,不仅要测量两组对边的长度是否分别相等,常常还要测量它们的两条对角线是否相等,以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗?师生分析,将这个实际问题抽象为下面的数学问题.已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形.引导学生分析,再写证明过程.由题意知四边形ABCD是平行四边形,要证明ABCD是矩形,根据矩形的定义,需证明它有一个角是直角.证明:AB=CD,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形.又AB=DC,BC=CB,AC=DB,ABCDCB(SSS).ABC=DCB.由题意知ABDC(平行四边形的对边平行),ABC+DCB=180.ABC=DCB=180=90.ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).学生经过猜想、证明,得出矩形的一个判定定理.定理:对角线相等的平行四边形是矩形.过渡语我们知道,矩形的四个角都是直角.反过来,一个四边形至少有几个角是直角时,这个四边形就是矩形呢?请证明你的结论,并与同伴交流.学生讨论、猜想、证明,得出矩形的另一个判定定理.生1:四个角是直角的四边形是矩形.生2:三个角是直角的四边形是矩形.追问:三个角是直角的四边形是矩形吗?生设法证明,并写出证明过程.已知:如图,四边形ABCD中,A=B=C=90.求证:四边形ABCD是矩形.解析要证明四边形ABCD是矩形,只需证明四边形ABCD是平行四边形即可.证明:A+B=180,ADBC.B+C=180,ABDC.四边形ABCD是平行四边形.又A=90,四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).教师明确这是判定矩形的又一个判定定理:有三个角是直角的四边形是矩形.至此,我们得到了矩形的三种判定方法:一个定义和两个判定定理.以后同学们可以直接应用矩形的定义、定理来解决问题.设计意图从实际问题入手,让学生经历观察、分析、猜想、证明等过程,感受数学与生活实际的密切联系,进一步发展用数学的意识.知识拓展应用矩形的判定定理时需要注意的问题:(1)注意区别“四边形”与“平行四边形”.如判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”要求满足的条件是“对角线相等”和“平行四边形”;判定定理“三个角都是直角的四边形是矩形”要求满足的条件是“三个角都是直角”和“四边形”.(2)无论是定义还是判定定理,运用时一定要分清它的条件与结论.2.例题讲解过渡语大家对刚才的判定定理理解得怎样呢?请看下面的例题.(补充)判断:(1)两条对角线相等的四边形是矩形.()(2)两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形.()(3)有一个角是直角的四边形是矩形.()学生独立分析,全班交流.(1)如图(1),四边形ABCD中,AC=BD,但四边形ABCD明显不是矩形,该打“”.(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形为矩形,该打“”.(3)如图(2),四边形ABCD中,B=90,但四边形ABCD明显不是矩形,该打“”.(教材例2)如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,OAD=50,求OAB的度数.师生分析:已知OAD的度数,要求OAB的度数,只要能求得BAD的度数即可.学生规范板书解题过程.解:四边形ABCD是平行四边形,OA=OC=AC,OB=OD= BD.又OA=OD,AC=BD.四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形),DAB=90(矩形的四个角都是直角),又OAD=50,OAB=40.设计意图运用矩形的判定与性质解决有关的计算问题,规范解题格式.矩形的判定方法分两类:从四边形来判定和从平行四边形来判定.常用的判定方法有三种: 矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形;矩形的判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形;矩形的判定定理:三个角都是直角的四边形是矩形.1.(2015临沂中考)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是()A.AB=BEB.DEDCC.ADB=90D.CEDE解析:四边形ABCD为平行四边形,ADBC,且AD=BC,AB=CD,又AD=DE,DEBC,且DE=BC,四边形BCED为平行四边形.A.AB=BE,AB=CD,BE=CD,平行四边形DBCE为矩形,故本选项错误;B.DEDC,EDB=90+CDB90,四边形DBCE不可能是矩形,故本选项正确;C.ADB=90,EDB=90,平行四边形DBCE为矩形,故本选项错误;D.CEDE,CED=90,平行四边形DBCE为矩形,故本选项错误.故选B.2.工人师傅在做门框或矩形零件时,常用测量平行四边形两条对角线是否相等来检测直角的精度,工人师傅依据的几何道理是.解析:工人师傅根据“对角线相等的平行四边形是矩形”,通过测量平行四边形两条对角线是否相等可判断做的门框或零件是否为矩形,进而判断直角的精度.故填对角线相等的平行四边形是矩形.3.(2014娄底中考)如图,要使平行四边形ABCD成为矩形,应添加的条件是(只填一个).解析:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,可填ABC=90(或其余三个内角中的一个为90