广东省三校联合体高三数学上学期第一次联考试卷 理（含解析）.doc

广东省三校联合体2015-2016学年高三（上）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合a=y|y=log2x，x1，b=y|y=（）x，x1，则ab=（）ay|0yby|0y1cy|y1d2若tan=2tan，则=（）a1b2c3d43在abc中， =， =若点d满足=（）a +b c d 4某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）af（x）=x2bcf（x）=x2df（x）=sinx5为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）a向左平移个长度单位b向右平移个长度单位c向左平移个长度单位d向右平移个长度单位6若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）a3b1cd37等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）a130b170c210d2608从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）a140种b84种c70种d35种9某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）a2+b4+c2+2d510函数f（x）=（x）cosx（x且x0）的图象可能为（）abcd11设椭圆=1（ab0）的左右焦点分别为f1、f2，点p（a，b）满足|f1f2|=|pf2|，设直线pf2与椭圆交于m、n两点，若|mn|=16，则椭圆的方程为（）abcd12设函数f（x）=ln（1+|x|），则使得f（x）f（2x1）成立的x的取值范围是（）a（，1）b（1，+）c（）d（，+）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数，则m=14由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为15设f是双曲线c：=1的一个焦点若c上存在点p，使线段pf的中点恰为其虚轴的一个端点，则c的离心率为16已知abc中，a，b，c的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosc+c=2b，则abc的周长的取值范围是三、解答题（共5小题，满分60分）17在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知abc的面积为3，bc=2，cosa=（）求a和sinc的值；（）求cos（2a+）的值18某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布n （120，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组85，95），第二组95，105），第六组135，145，得到如图所示的频率分布直方图（i）试估计该校数学的平均成绩；（）这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为x，求x的分布列和期望附：若 xn（，2），则p（u3xu+3）=0.997419如图，在三棱柱abca1b1c1中，bac=90，ab=ac=2，a1a=4，a1在底面abc的射影为bc的中点，d是b1c1的中点（1）证明：a1d平面a1bc；（2）求二面角a1bdb1的平面角的余弦值20设椭圆e的方程为+=1（ab0），点o为坐标原点，点a的坐标为（a，0），点b的坐标为（0，b），点m在线段ab上，满足|bm|=2|ma|，直线om的斜率为（）求e的离心率e；（）设点c的坐标为（0，b），n为线段ac的中点，点n关于直线ab的对称点的纵坐标为，求e的方程21设函数f（x）=klnx，k0（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点四、选作题（共1小题，满分10分）选修4-1：几何证明选讲22选修41：几何证明选讲如图，o是abc的外接圆，d是的中点，bd交ac于点e（i）求证：cd2de2=aeec；（ii）若cd的长等于o的半径，求acd的大小选修4-4：坐标系与参数方程23（2015海南模拟）已知曲线c1的极坐标方程为=6cos，曲线c2的极坐标方程为=（pr），曲线c1，c2相交于a，b两点（）把曲线c1，c2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（）求弦ab的长度选修4-5：不等式选讲24（2015江西校级二模）已知a+b=1，a0，b0（）求+的最小值；（）若不等式+|2x1|x+1|对任意a，b恒成立，求x的取值范围2015-2016学年广东省三校联合体高三（上）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合a=y|y=log2x，x1，b=y|y=（）x，x1，则ab=（）ay|0yby|0y1cy|y1d【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合a和b，然后再求两个集合的交集即可【解答】解：集合a=y|y=log2x，x1，a=（0，+）b=y|y=（）x，x1，b=（0，）ab=（0，）故选a【点评】本题考查了交集运算以及函数的至于问题，要注意集合中的自变量的取值范围，确定各自的值域2若tan=2tan，则=（）a1b2c3d4【考点】三角函数的积化和差公式；三角函数的化简求值【专题】三角函数的求值【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简所求表达式，利用同角三角函数的基本关系式结合已知条件以及积化和差个数化简求解即可【解答】解：tan=2tan，则=3故答案为：3【点评】本题考查两角和与差的三角函数，积化和差以及诱导公式的应用，考查计算能力3在abc中， =， =若点d满足=（）a +b c d 【考点】向量加减混合运算及其几何意义【专题】平面向量及应用【分析】由向量的运算法则，结合题意可得=，代入已知化简可得【解答】解：由题意可得=故选a【点评】本题考查向量加减的混合运算，属基础题4某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）af（x）=x2bcf（x）=x2df（x）=sinx【考点】程序框图【专题】操作型【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件f（x）+f（x）=0，即函数f（x）为奇函数f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案【解答】解：a：f（x）=x2、c：f（x）=x2，不是奇函数，故不满足条件又b：的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件而d：f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故d：f（x）=sinx符合输出的条件故答案为d【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模5为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）a向左平移个长度单位b向右平移个长度单位c向左平移个长度单位d向右平移个长度单位【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】计算题【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案【解答】解：，只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象故选a【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移属基础题6若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）a3b1cd3【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【专题】开放型；不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，由，得，即a（2，0），则a（2，0）在直线xy+2m=0的下方，即2+2m0，则m1，则a（2，0），d（2m，0），由，解得，即b（1m，1+m），由，解得，即c（，）则三角形abc的面积sabc=sadbsadc =|ad|ybyc|=（2+2m）（1+m）=（1+m）（1+m）=，即（1+m）=，即（1+m）2=4解得m=1或m=3（舍），故选：b【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键7等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）a130b170c210d260【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质【专题】计算题【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，用m表示出a1、d，进而求出s3m；或利用等差数列的性质，sm，s2msm，s3ms2m成等差数列进行求解【解答】解：解法1：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，解得d=，a1=，s3m=3ma1+d=3m+=210故选c解法2：设an为等差数列，sm，s2msm，s3ms2m成等差数列，即30，70，s3m100成等差数列，30+s3m100=702，解得s3m=210故选c【点评】解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为sn，则sn，s2nsn，s3ns2n，成等差数列8从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）a140种b84种c70种d35种【考点】分步乘法计数原理【分析】本题既有分类计数原理也有分步计数原理【解答】解：甲型1台与乙型电视机2台共有4c52=40；甲型2台与乙型电视机1台共有c425=30；不同的取法共有70种故选c【点评】注意分类计数原理和分步计数原理都存在时，一般先分类后分步9某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）a2+b4+c2+2d5【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】根据三视图可判断直观图为：a面abc，ac=ab，e为bc中点，ea=2，ea=eb=1，oa=1，：bc面aeo，ac=，oe=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积【解答】解：根据三视图可判断直观图为：oa面abc，ac=ab，e为bc中点，ea=2，ec=eb=1，oa=1，可得aebc，bcoa，运用直线平面的垂直得出：bc面aeo，ac=，oe=sabc=22=2，soac=soab=1=sbco=2=故该三棱锥的表面积是2，故选：c【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质10函数f（x）=（x）cosx（x且x0）的图象可能为（）abcd【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】由条件可得函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当x趋向于0时，f（x）0，结合所给的选项，得出结论【解答】解：对于函数f（x）=（x）cosx（x且x0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f（x）=（+x）cosx=（x）=f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称故排除a、b当x=，f（x）0，故排除d，但是当x趋向于0时，f（x）0，故选：c【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题11设椭圆=1（ab0）的左右焦点分别为f1、f2，点p（a，b）满足|f1f2|=|pf2|，设直线pf2与椭圆交于m、n两点，若|mn|=16，则椭圆的方程为（）abcd【考点】椭圆的标准方程【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先确定a=2c，b=c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线pf2的方程为y=（xc），代入椭圆方程，消去y并整理，求出m，n的坐标，利用|mn|=16，可求椭圆的方程【解答】解：因为点p（a，b）满足|f1f2|=|pf2|，所以=2c，整理得2e2+e1=0，所以e=所以a=2c，b=c，可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2，直线pf2的方程为y=（xc），代入椭圆方程，消去y并整理，得5x28cx=0，解得x=0或c，得m（0，c），n（c， c），所以|mn|=c=16，所以c=5，所以椭圆方程为故选：b【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12设函数f（x）=ln（1+|x|），则使得f（x）f（2x1）成立的x的取值范围是（）a（，1）b（1，+）c（）d（，+）【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质【专题】开放型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：函数f（x）=ln（1+|x|）为偶函数，且在x0时，f（x）=ln（1+x）导数为f（x）=+0，即有函数f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（2x1）等价为f（|x|）f（|2x1|），即|x|2x1|，平方得3x24x+10，解得x1，所求x的取值范围是（，1）故选a【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13已知函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数，则m=2【考点】偶函数【专题】计算题【分析】根据偶函数的定义可得f（x）=f（x）然后整理即可得解【解答】解：函数f（x）=x2+（m+2）x+3是偶函数f（x）=f（x）（x）2+（m+2）（x）+3=x2+（m+2）x+32（m+2）x=0即对任意xr均成立m+2=0m=2故答案为2【点评】本题主要考查了利用偶函数的定义求参数的值事实上通过本题我们可得出一个常用的结论：对于关于x的多项式的代数和所构成的函数若是偶函数则x的奇次项不存在即奇次项的系数为0，若为奇函数则无偶次项且无常数项即偶次项和常数项均为0！14由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为【考点】定积分【专题】导数的综合应用【分析】利用微积分基本定理即可求出【解答】解：如图所示：联立解得，m（4，2）由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积s=故答案为【点评】熟练掌握微积分基本定理是解题的关键15设f是双曲线c：=1的一个焦点若c上存在点p，使线段pf的中点恰为其虚轴的一个端点，则c的离心率为【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设f（c，0），p（m，n），（m0），设pf的中点为m（0，b），即有m=c，n=2b，将中点m的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到【解答】解：设f（c，0），p（m，n），（m0），设pf的中点为m（0，b），即有m=c，n=2b，将点（c，2b）代入双曲线方程可得，=1，可得e2=5，解得e=故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，属于中档题16已知abc中，a，b，c的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosc+c=2b，则abc的周长的取值范围是（2，3【考点】余弦定理【专题】压轴题；解三角形【分析】由余弦定理求得 cosc，代入已知等式可得 （b+c）21=3bc，利用基本不等式求得 b+c2，故a+b+c3再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c2，由此求得abc的周长的取值范围【解答】解：abc中，由余弦定理可得 2cosc=，a=1，2cosc+c=2b，+c=2b，化简可得 （b+c）21=3bcbc，（b+c）213，解得 b+c2（当且仅当b=c时，取等号）故a+b+c3再由任意两边之和大于第三边可得 b+ca=1，故有 a+b+c2，故abc的周长的取值范围是（2，3，故答案为 （2，3【点评】本题主要考查余弦定理、基本不等式的应用，三角形任意两边之和大于第三边，属于中档题三、解答题（共5小题，满分60分）17在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知abc的面积为3，bc=2，cosa=（）求a和sinc的值；（）求cos（2a+）的值【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用【专题】解三角形【分析】（）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinc的值；（）利用两角和的余弦函数化简cos（2a+），然后直接求解即可【解答】解：（）在三角形abc中，由cosa=，可得sina=，abc的面积为3，可得：，可得bc=24，又bc=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c22bccosa，可得a=8，解得sinc=；（）cos（2a+）=cos2acossin2asin=【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力18某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布n （120，25），现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组85，95），第二组95，105），第六组135，145，得到如图所示的频率分布直方图（i）试估计该校数学的平均成绩；（）这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为x，求x的分布列和期望附：若 xn（，2），则p（u3xu+3）=0.9974【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；频率分布直方图【专题】综合题；概率与统计【分析】（1）根据频率和为1，求出成绩在120，130）的频率，再计算这组数据的平均数；（2）根据正态分布的特征，计算50人中成绩在135以上（包括135分）的有500.08=4人，而在125，145）的学生有50（0.12+0.08）=10，得出x的可能取值，计算对应的概率，列出x的分布列，计算期望值【解答】解：（1）由频率分布直方图可知120，130）的频率为1（0.0110+0.02410+0.0310+0.01610+0.00810）=0.12所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为900.1+1000.24+1100.3+1200.16+1300.12+1400.08=112（2）由于根据正态分布：p（12035x120+35）=0.9974故所以前13名的成绩全部在130分以上根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上（包括135分）的有500.08=4人，而在125，145）的学生有50（0.12+0.08）=10所以x的取值为0，1，2，3所以p（x=0）=，p（x=1）=，p（x=2）=，p（x=3）=；所以x的分布列为 x0123p数学期望值为ex=0+1+2+3=1.2【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了正态分布的应用问题，考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题，是综合性题目19如图，在三棱柱abca1b1c1中，bac=90，ab=ac=2，a1a=4，a1在底面abc的射影为bc的中点，d是b1c1的中点（1）证明：a1d平面a1bc；（2）求二面角a1bdb1的平面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）以bc中点o为坐标原点，以ob、oa、oa1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面a1bd的法向量与平面b1bd的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可【解答】（1）证明：如图，以bc中点o为坐标原点，以ob、oa、oa1所在直线分别为x、y、z轴建系则bc=ac=2，a1o=，易知a1（0，0，），b（，0，0），c（，0，0），a（0，0），d（0，），b1（，），=（0，0），=（，），=（，0，0），=（2，0，0），=（0，0，），=0，a1doa1，又=0，a1dbc，又oa1bc=o，a1d平面a1bc；（2）解：设平面a1bd的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面b1bd的法向量为=（x，y，z），由，得，取z=1，得=（0，1），cos，=，又该二面角为钝角，二面角a1bdb1的平面角的余弦值为【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题20设椭圆e的方程为+=1（ab0），点o为坐标原点，点a的坐标为（a，0），点b的坐标为（0，b），点m在线段ab上，满足|bm|=2|ma|，直线om的斜率为（）求e的离心率e；（）设点c的坐标为（0，b），n为线段ac的中点，点n关于直线ab的对称点的纵坐标为，求e的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质【专题】创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（i）由于点m在线段ab上，满足|bm|=2|ma|，即，可得利用，可得（ii）由（i）可得直线ab的方程为： =1，利用中点坐标公式可得n设点n关于直线ab的对称点为s，线段ns的中点t，又ab垂直平分线段ns，可得b，解得即可【解答】解：（i）点m在线段ab上，满足|bm|=2|ma|，a（a，0），b（0，b），=，a=b=（ii）由（i）可得直线ab的方程为： =1，n设点n关于直线ab的对称点为s，线段ns的中点t，又ab垂直平分线段ns，解得b=3，a=3椭圆e的方程为：【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题21设函数f（x）=klnx，k0（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【专题】开放型；导数的综合应用【分析】（1）利用f（x）0或f（x）0求得函数的单调区间并能求出极值；（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况【解答】解：（1）由f（x）=f（x）=x由f（x）=0解得x=f（x）与f（x）在区间（0，+）上的情况如下：x （o，） （） f（x） 0+ f（x）所以，f（x）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）；f（x）在x=处的极小值为f（）=，无极大值（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+）上的最小值为f（）=因为f（x）存在零点，所以，从而ke当k=e时，f（x）在区间（1，上单调递减，且f（）=0所以x=是f（x）在区间（1，上唯一零点当ke时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以f（x）在区间（1，上仅有一个零点综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，上仅有一个零点【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型四、选作题（共1小题，满分10分）选修4-1：几何证明选讲22选修41：几何证明选讲如图，o是abc的外接圆，d是的中点，bd交ac于点e（i）求证：cd2de2=aeec；（ii）若cd的长等于o的半径，求acd的大小【考点】相似三角形的判定；圆周角定理【专题】证明题【分析】（i）由d是的中点，可得abd=cbd，根据圆周角定理，可得cbd=ecd，进而可得bcdced，根据相似三角形性质可