高考数学一轮汇总训练（归纳明确考点+课前自测+教师备选题+误区警示+课后实战题含详解及模拟题）《一元二次不等式及其解法》理 新人教A版.doc

备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系；3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.1.以选择题或填空题的形式考查一元二次不等式的解法如2012年重庆t2等2.已知二次函数的零点的分布，求一元二次方程中未知参数的取值范围3.与函数等知识综合考查一元二次不等式的相关知识.归纳知识整合一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集x|xx2x|xrax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx2探究1.ax2bxc0，ax2bxc0对一切xr都成立的条件为ax2bxc0的解集代替0的解集，你认为如何求不等式0，0及0的解集？提示：0(xa)(xb)0；00自测牛刀小试1(教材习题改编)已知集合ax|x2160，则ab()ax|4x1bx|4x3cx|4x1或3x4 dx|1x4解析：选c由x2160，得4x4，故ax|4x0，得x3或x3或x1故abx|4x1或3x42不等式0的解集为()ax|x1或x3 bx|1x3cx|1x3 dx|1x0的解集为，则ab的值为()a6b5c6d5解析：选cx1，是方程ax2bx10的两根，1即.又1，a3，b2.ab6.4(教材习题改编)若关于x的一元二次方程x2(m1)xm0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为_解析：方程x2(m1)xm0有两个不相等的实数根，(m1)24m0，即m26m10.m32.答案：(，32)(32，)5不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析：不等式x2ax40，即a216.a4或a0；(2)x24x50；(3)ax2(a1)x10，所以方程x28x30有两个不等实根x14，x24.又二次函数yx28x3的图象开口向下，所以原不等式的解集为x|4x4(2)原不等式可化为(x5)(x1)0，所以原不等式的解集为x|1x5(3)若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等价于(x1)0.当a1时，1，(x1)1时，1，解(x1)0得x1；当0a1，解(x1)0得1x.综上所述，当a1；当0a1时，解集为.若将本例(2)改为“x24x50”呢？解：4245162040，不等式x24x50的解集为. 一元二次不等式的解法(1)对于常系数一元二次不等式，可以用因式分解法或判别式法求解(2)对于含参数的不等式，首先需将二次项系数化为正数，若二次项系数不能确定，则需讨论它的符号，然后判断相应的方程有无实根，最后讨论根的大小，即可求出不等式的解集1解下列不等式：(1)8x116x2；(2)x22ax3a20(a0)解：(1)原不等式转化为16x28x10，即(4x1)20，故原不等式的解集为r.(2)原不等式转化为(xa)(x3a)0，a0，3aa.原不等式的解集为x|3axa一元二次不等式的恒成立问题例2已知不等式mx22xm10.(1)若对所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围；(2)设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立，求x的取值范围自主解答(1)不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图象全部在x轴下方当m0时，12x0，不符合题意当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足开口向下且方程mx22xm10无解，即则m无解综上可知不存在这样的m.(2)从形式上看，这是一个关于x 的一元二次不等式，可以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式，并且已知它的解集为2,2，求参数x的范围设f(m)(x21)m(12x)，则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当2m2时线段在x轴下方，故即由，得x.由，得x.由，得x0(a0)恒成立的充要条件是：a0且b24ac0(xr)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是：a0且b24ac0(xr)2已知f(x)x22ax2(ar)，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围解：法一：f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa.当a(，1)时，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a1；当a1，)时，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得1a1.综上所述，所求a的取值范围为3,1法二：令g(x)x22ax2a，由已知，得x22ax2a0在1，)上恒成立，即4a24(2a)0或解得3a1.所求a的取值范围是3,1一元二次不等式的应用例3某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？自主解答(1)由题意得y12(10.75x)10(1x)10 000(10.6x)(0x1)，整理得y6 000x22 000x20 000(0x1)(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有即解得0x1.5x(0x17)，整理得x25x0，解得0x0时均有(a1)x1(x2ax1)0，则a_.解析x0，当a1时，(a1)x11.对于x2ax10，设其两根为x2，x3，且x2x3，易知x20.又当x0时，原不等式恒成立，通过y(a1)x1与yx2ax1图象可知x1必须满足方程x2ax10，即x1x3，代入解得a或a0(舍)答案1本题具有以下创新点(1)本题是考查三次不等式的恒成立问题，可转化为含参数的一元一次不等式及一元二次不等式的恒成立问题(2)本题将分类讨论思想、整体思想有机结合在一起，考查了学生灵活处理恒成立问题的方法和水平2解决本题的关键(1)将三次不等式转化为一元一次不等式和一元二次不等式问题；(2)若直接通过函数求导、求最小值，则运算量大，基本上无法求解；而通过一次函数y1(a1)x1(x0)及二次函数y2x2ax1(x0)图象的变化情况，再结合y1y2的结果得出为方程x2ax10的根，使问题得以巧妙解决1偶函数f(x)(xr)满足：f(4)f(1)0，且在区间0,3与3，)上分别递减和递增，则不等式x3f(x)0的解集为()a(，4)(4，)b(4，1)(1,4)c(，4)(1,0)d(，4)(1,0)(1,4)解析：选d由图知，f(x)0的解集为(4，1)(1,4)，不等式x3f(x)1的解集为()a(2,3)(3，2)b(，)c(2,3)d(，)(，)解析：选a由导函数图象知当x0，即f(x)在(，0)上为增函数；当x0时，f(x)1等价于f(x26)f(2)或f(x26)f(3)，即2x260或0x261.2已知不等式2xx2的解集为p，不等式(x1)(x2)0的解集为q，则集合pq等于()ax|2x2 bx|2x0cx|0x1 dx|1x2解析：选bpx|x22x0x|x0或x2，qx|2x0的解集为x|2x1，则函数yf(x)的图象为图中的()解析：选b由根与系数的关系知21，2，得a1，c2.f(x)x2x2的图象开口向下，由x2x20得两根分别为1和2.4某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y3 00020x0.1x2(0x240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()a100台 b120台c150台 d180台解析：选c依题意得25x3 00020x0.1x2，整理得x250x30 0000，解得x150或x200.因为0x0对于一切xr恒成立(1)当a24a50时，有a5或a1.若a5，不等式化为24x30，不满足题意；若a1，不等式化为30，满足题意(2)当a24a50时，应有解得1a19.综上可知，a的取值范围是1ax(x2)的解集是_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即x(x2)0的解集，解得0x2.答案：x|0xf(a)，则实数a的取值范围是_解析：f(x)是奇函数，当xf(a)，得2a2a