全等三角形-截长补短法.doc

“截长补短”的思想在几何证明中的运用【学习目标】（30秒）用“截长补短法”解决线段的和、差问题。【重、难点】（30秒）用“截长补短法”解决线段的和、差问题。【操作思考】（2分钟）1、画一画：线段AB=CD+EF 线段CD=AB-EF线段AB线段CD线段EF （通过让学生在纸上画出线段的和和差的图形来说明线段的截长补短）【归纳小结】（2分钟）截长补短法”： “截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。典题解析（3+4+6分钟）例1、 如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，C=2B.求证：AB=AC+CD思路点拨：延长AC到E,使CE=CD,连接DE._D_C_B_A证明： 在AB上取一点E，使AE=AC，连接DE, AD平分BAC EAD= CAD 在EAD和CAD中 AE=AC， EAD= CAD AD=AD； AEDACD（SAS） AED=C=2B ED=CD例2、 已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求证：BAD+BCD=180.分析：因为平角等于180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：作DEAB于E，DFAD于F。BD平分ABC，DE=DF。在RtAED和RtCFD中， DE=DF， AD=CD，RtAEDRtCFD，EAD=C，BAD+EAD=180，BAD+BCD=180。 图2-2例3、 如图2-1，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求证：CD=AD+BC.分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.图1-2o 证明：在CD上取一点F，使得DF=DA，连接EF DE平分ADF， ADE= FDE 在ADE与FDE中 DA=DF ADE= FDE DE=DF ADEFDE（SAS） A= DFE (全等三角形对应角相等) ADBC， A+B=180 又DFE+CFE=180 B=CFE， 又CE平分BCF， ECF=ECB 在BCE和FCE中 B=CFE ECF=ECB CE=CE BCEFCE CF=CB （全等三角形对应边相等） AD=DF CD=AD+BC【课堂小结】截长补短法”： “截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。 达标检测【基础训练】1、如图,在ABC中,C=25,ADBC,垂足为D,且AB+BD=CD,则BAC的度数是 105.2、如图，B2C，ADBC于D，求证：ABBDCD证法一：在线段CD上截取DE=BD，连结AE证法二：如图2，延长CB到F，使BF=AB。连结AF则【能力提升】3、已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求证：BE+DF=AE.证明:延长CB到M,使BM=DF,则ME=BE+BM=BE+DF.连接AM.AB=AD,BM=DF,ABM=D,则:ABMADF(SAS).故:MAB=FAD;又AF平分EAD,则:MAB=EAF;则M=AFD=BAF=BAE+EAF=BAE+MAB=MAE,得AE=ME.所以,AE=ME=BE+DF.【思考题】4、如图，已知ABC中，A90，ABAC，BE平分ABC，CEBD于E，求证：CE=BD. 分别延长CE,BA，交与一点F因为BEECBE平分ABCFEB=BEC=90ABD=DBCBE=BEBFE全等于BEC (以上结论也可以由等腰三角形三线合一证明)FE=EC 即 FC=2EC 又AB=ACBAC=90ABD+ADB=180ADB=EDC，故ABD+EDC=90又DEC=90 EDC+ECD=90FCA=DBC=ABDADB全等于FACFC=BD=2EC【选做题】如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：图略.画图正确得1分. (1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD. 2分 (2)答：(1)中的结论FE=FD仍然成立. 证法一：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG. 3分 因为1=2，AF为公共边， 可证AEFAGF. 所以AFE=AFG，FE=FG. 4分 由B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，可得2+3=60. 所以AFE=CFD=AFG=60. 所以CFG=60. 5分 由3=4及FC为公共边，可得CFGCFD. 所以FG=FD. 所以FE=FD. 6分 证法二：如图2，过点F分别作FGAB于点G，FHBC于点H. 3分 因为B=60，且AD、CE分别是BAC、BCA的平分线， 所以可得2+3=60，F是ABC的内心. 4分 所以GEF=60+1，FG=FH. 又因为HDF=B+1， 所以GEF=HDF. 5分 因此可证EGFDHF. 所以FE=FD. 6分导学设计教学重难点用“截长补短法”解决线段的和、差问题。教具准备三角尺、翻折全等三角形的纸张模型、多媒体课件导学流程一、导入新课,揭示目标(1分钟)线段AB=10cm线段CD=6cm线段EF=4cm语言；画三条线段思考两条线段和与差能否等于第三条线段。师生对照课件解读学习目标用“截长补短法”解决线段的和、差问题。二、归纳小结截长补短法： “截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。 三典题解析例1、思路点拨：延长AC到E,使CE=CD,连接DE.或者在AB上截取AG，使AG=AC，连接DG。追问;这个图形的基本图形是怎样的图形？请把它画出来。 展示分配：一、三小组展示，其他小组质疑，提问。组员先在小组内展示，再派一名在黑板上展示，一组展示截长法，三组展示补短法。例2、思路点拨：怎样利用角平分线的性质来作辅助线?追问：1、能不能在线段BC上截取BG=AB呢？2、能不能延长线段AB到H,使AH=BC呢？展示分配：二、四小组展示，其他小组质疑，提问。组员先在小组内展示，再派一名在黑板上展示，二组展示截长法利用角平分线的性质作辅助线的方法，四组展示截长法或者补短法。例3、思路点拨：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.展示分配：五、六小组展示，其他小组质疑，提问。组员先在小组内展示，再派一名在黑板上展示，六组展示截长法利用角平分线的性质作辅助线的方法，五组展示补短法。追问：能不能延长DA与CE相交与G点来证明CD=AD+BC呢？课堂小结（3分钟）:1、 基本图形：翻折构造全等三角形_D_C_B_A 2、 截长补短法”： “截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（或补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。达标检测(10分钟)1、提示：将ABD沿AD所在直线翻折，使B点落在CD上，构造全等三角形。2、 提示一：采取截长法构造全等三角形ABDAED来证明ABBDCD2、提示二：采取补短法构造全等三角形ACDAFD来证明ABBDCD3、提示：要证BE+DF=AE.就要构造全等三角形，延长CB到M,证ABMADF,这就需要连接AM。4、提示： 延长BA,CE。先证明BCEBGE，再证明RtBADRtCFC。就可以得到BD=CF。板书设计：一 操作思考（截长补短法）二、归纳方法截长补短法”： “截长