2011年高考数学试卷解析版-山东卷［文理两份］

2011 年高考数学试卷解析版 -山东卷文理两份 (山东卷 )2011 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文） 解析版 注意事项： 1 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 B 后的方框涂黑。 2 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。 3 填空题和解答题用 0 5 毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、 草稿纸上无效。 4 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试 题卷和答题卡一并上交。 第卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 l0 小题每小题 5分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的 . 1.设集合 M =x|(x+3)(x-2)0， N =x|1 x 3,则 M N = （ A） 1,2) (B)1,2 (C)( 2,3 (D)2,3 【答案】 A 【解析】因为 | 3 2M x x ，所以 | 1 2M N x x ，故选 A. 2.复数 z=22 ii(i 为虚数单位 )在复平面内对应的点所在象限为 （ A）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【答案】 D 【解析】因为 22 ( 2 ) 3 42 5 5i i iz i ,故复数 z 对应点在第四象限 ,选 D. 3.若点（ a,9）在函数 3xy 的图象上，则 tan=6a的值为 （ A） 0 (B) 33(C) 1 (D) 3 【答案】 D 【解析】由题意知 :9=3a ,解得 a =2,所以 2t a n t a n t a n 36 6 3a ,故选 D. 2011 年高考数学试卷解析版 -山东卷文理两份 4.曲 线 2 11yx在点 P(1， 12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15 5.已知 a， b， cR ，命题 “ 若 abc =3，则 2 2 2abc3” ，的否命题是 (A)若 a+b+c3 ，则 2 2 2abc 0)在 区间 0,3上单调递增，在区间 ,32上单调递减，则 = (A)23(B)32(C) 2 (D)3 【答案】 B 【解析】由题意知 ,函数在3x 处取得最大值 1,所以 1=sin3,故选 B. 7.设变量 x， y 满足约束条件 2 5 0200xyxyx ，则目标函数2 3 1z x y 的最大值为 (A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5 【答案】 B 【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示 ,当直线 2 3 1z x y 平移至点 A(3,1)时 , 目标函数 2 3 1z x y 取得 最大值为 10,故选 B. 8.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 2011 年高考数学试卷解析版 -山东卷文理两份 根据上表可得回归方程 y bx a中的 b 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 (A)63.6 万元 (B)65.5 万元 (C)67.7 万元 (D)72.0 万元 【答案】 B 【解析】由表可计算 4 2 3 5 742x , 4 9 2 6 3 9 5 4 424y ,因为点 7( ,42)2在回归直线 y bx a上 ,且 b 为 9.4， 所以 7 4 2 9 .42 a , 解得 $9.1a ,故 回归方程 为 9.4 9.1yx, 令 x=6 得 y 65.5,选 B. 9.设 M(0x，0y)为抛物线 C： 2 8xy 上一点， F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、 FM 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则0y的取值范围是 (A)(0， 2) (B)0， 2 (C)(2， +) (D)2 ， +) 【答案】 C 【解析】设圆的半径为 r,因为 F(0,2)是圆心 , 抛物线 C 的准线 方程为 2y ,由圆与 准线相 切知 4r,因为点 M(0x，0y)为抛物线 C： 2 8xy 上一点， 所以有 2008xy,又点 M(0x，0y)在圆 2 2 2( 2 )x y r ,所以 2 2 200( 2 ) 1 6x y r ,所以 2008 ( 2 ) 1 6yy ,即有 2004 1 2 0yy ,解得0 2y 或0 6y , 又因为0 0y , 所以0 2y , 选 C. 的距离为0 2y , 【解析】因为 1 2 c o s2yx,所以令 1 2 c o s 02yx ,得 1cos4x,此时原函数是增函2011 年高考数学试卷解析版 -山东卷文理两份 数 ；令 1 2 c o s 02yx ,得 1cos4x,此时原函数是减函数 ,结合余弦函数图象，可得选 C正确 . 11.下 图是长和宽分别相等的两个矩形给定下列三个命题： 存在三棱柱 ，其正 (主 )视图、俯视图如 下 图； 存在四棱柱，其正 (主 )视图、俯视图如 下 图； 存在圆柱，其正 (主 )视图、俯视图如 下 图其中真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】 A 【解析】对于 ,可以是放倒的三棱柱；容易判断可以 . 12.设1A，2A，3A，4A是平面直角坐标系中两两不同的四 点，若1 3 1 2A A A Auuuuv uuuuv(R) ，1 4 1 2A A A Auuuuv uuuuv(R) ，且 112,则称3A，4A调和分割1A，2A,已知点 C(c， o),D(d，O) (c， dR) 调和分割点 A(0， 0)， B(1， 0)，则下面说法正确的是 (A)C 可能是线段 AB 的中点 (B)D 可能是线段 AB 的中点 (C)C， D 可能同时在线段 AB 上 (D) C， D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 【答案】 D 【解析】由 1 3 1 2A A A Auuuuv uuuuv (R) ， 1 4 1 2A A A Auuuuv uuuuv (R) 知 :四点1A，2A，3A，4A在同一条直线上 , 因为 C,D 调和分割点 A,B,所以 A,B,C,D 四点在同一直线上 ,且112cd, 故选 D. 2011 年高考数学试卷解析版 -山东卷文理两份 第 II 卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4分，共 16分 13.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、 150、 400、 300 名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 . 【答案】 16 【解析】由题意知 ,抽取比例为 3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为 40 820=16. 14.执行右图所示的程序框图，输入 l=2， m=3， n=5，则输出的 y 的值是 【答案】 68 【解析】由输入 l=2， m=3， n=5，计算得出 y=278,第一次得新的 y=173；第二次得新的 y=680,因为直线 OD 的方程为3myx,所以由22313myxx y 得交点 G 的纵坐标为 22 3Gmym ,又因为213Eny k , Dym ,且 2OG OD OE ，所以 2223 1 3mnmmk,又由（）知 : 1m k ,所以解得 kn ,所以直线 l 的方程为2011 年高考数学试卷解析版 -山东卷文理两份 :l y kx k,即有 : ( 1)l y k x,令 1x 得 ,y=0,与实数 k 无关 ,所以直线 l 过定点(-1,0). （ ii）假设点 B ， G 关于 x 轴对称 ,则有 ABGV 的外接圆的圆心在 x 轴上 ,又在线段 AB 的中垂线上 , 由（ i）知点 G(23(,3m 2 )3mm ,所以点 B(23(,3m 2 )3mm,又因为直线 l 过定点 (-1,0),所以直线 l 的斜率为 2233 13mm km ，又因为 1mk，所以解得 2 1m 或 6，又因为 230m,所以 2 6m 舍去 ,即 2 1n ，此时 k=1， m=1， E 3(,4 1)4， AB 的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为 1( ,0)2， G( 3(,2 1)2,圆半径为 52，圆的方程为 2215()24xy .综上所述 , 点 B ， G 关于 x 轴对称 ,此时 ABGV 的外接圆的方程为 2215()24xy . 2011 年高考数学试卷解析版 -山东卷文理两份 2011 年普通高等学校全国统一考试（山东卷） 理科数学 解析版 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。 （ 1）设集合 2 6 0 M x x x ， 1 3N x x ，则 MNI A. 1,2) B. 1,2 C. (2,3 D. 2,3 解析： 3 2 M x x ， 1, 2 )MNI ， 答案应选 A。 （ 2）复数 2 (2 izii 为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析： 22 ( 2 ) 3 42 5 5i i iz i 对应的点为 34( , )55在第四象限，答案应选 D. （ 3）若点 ( ,9)a 在函数 3xy 的图象上，则 tan6a的值为 A. 0 B. 33C. 1 D. 3 解析： 23 9 3a ， 2a ， t a n t a n 363a，答案应选 D. （ 4）不等式 5 3 1 0xx 的解集是 A. 5,7 B. 4,6 C. ( , 5 7 , ) U D. ( , 4 6 , ) U 解析：当 5x 时，原不等式可化为 2 2 10x ， 解得 6x ；当 35x 时，原不等式可化为 8 10 ，不成立；当 3x 时，原不等式可化为 2 2 10x ，解得 4x .综上可知 6x ，或 4x ，答 案应选 D。 另解 1：可以作出函数 53y x x 的图象，令 5 3 1 0xx =可得 4x = 或 6x ，观察图像可得 6x ，或 4x 可使 5 3 1 0xx 成立，答案应选 D。 另解 2：利用绝对值的几何意义， 53xx 表示实数轴上的点 x 到点 3x 与 5x 的距离之和，要使点 x 到点 3x 与 5x 的距离之和等于 10，只需 4x = 或 6x ，于是当6x ，或 4x 可使 5 3 1 0xx 成立，答案应选 D。 （ 5）对于函数 ()y f x ， xR ，“ ()y f x 的图象关于 y 轴对称”是“ ()y f x 是奇函数”的 2011 年高考数学试卷解析版 -山东卷文理两份 A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 解析：若 ()y f x 是奇函数，则 ()y f x 的图象关于 y 轴对称；反之不成立，比如偶函数 ()y f x ，满足 ()y f x 的图象关于 y 轴对称，但不一定是奇函数，答案应选 B。 （ 6）若函数 ( ) s i n ( 0 )f x x在区间 0, 3上单调递增，在区间 , 32上单调递减，则 A. 3 B. 2 C. 32D. 23解析：函数 ( ) s i n ( 0 )f x x在区间 0, 2上单调递增，在区间 3 , 22上单调递减， 则23，即 32，答案应选 C。 另解 1：令 2 , 2 ( )22x k k k Z得函数 ()fx在 22,22kkx 为增函数，同理可得函数 ()fx在 2 2 3 , 22kkx 为减函数，则当 0,23k 时符合题意，即 32，答案应选 C。 另解 2：由题意可知当3x 时，函数 ( ) s i n ( 0 )f x x取得极大值，则 )03f ，即 cos 03，即 ()32kk Z，结合选择项即可得答案应选 C。 另解 3：由题意可知当3x 时，函数 ( ) s i n ( 0 )f x x取得最大值， 则 2 ( )32kk Z， 36 ( )2kk Z，结合选择项即可得答案应选 C。 （ 7）某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表： 广告费用 x （万元） 4 2 3 5 销售额 y （万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归方程 y bx a中的 b 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元是销售额为 A.63 .6 万元 B. 65.5 万元 C. 67.7 万元 D. 72.0 万元 解析：由题意可知 3 .5, 4 2xy，则 $ $4 2 9 . 4 3 . 5 , 9 . 1,aa 9 . 4 6 9 . 1 6 5 . 5y ，答案应选 B。 （ 8）已知双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 的两条渐近线均和圆 22: 6 5 0C x y x 相切，且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为 A. 22154xyB. 22145xyC. 22136xyD. 22163xy2011 年高考数学试卷解析版 -山东卷文理两份 解析：圆 22: ( 3 ) 4C x y ， 3,c 而 3 2bc ，则 22, 5ba，答案应选 A。 （ 9）函数 2 sin2xyx的图象大致是 解析：函数 2 sin2xyx为奇函数，且 1 2 c o s2yx ，令 0y 得 1cos4x，由于函数 cosyx 为周 期函数 ，而 当 2x 时， 2 s i n 02xyx ，当 2x 时，2 s i n 02xyx ，则答案应选 C。 （ 10）已知 ()fx是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 02x 时， 3()f x x x，则函数 ()fx的图象在区间 0,6 上与 x 轴的交点的个数为 A.6 B.7 C.8 D.9 解析：当 02x 时 32( ) ( 1 )f x x x x x ，则 (0 ) (1) 0ff，而 ()fx是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，则 ( 2 ) ( 4 ) ( 6 ) ( 0 ) 0f f f f ， ( 3 ) ( 5 ) (1 ) 0f f f ，答案应选 B。 (11)右图是长和宽分别相等的两个矩形。给定三个命题： 存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右 图； 存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图； 存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图。 其中真，命题的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0 解析： 均是正确的，只需底面是等腰直角三角形的直四棱柱， 让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；直四棱柱的两个侧面 是正方形或一正四棱柱平躺；圆柱平躺即可使得三个命题为真， 答案选 A。 （ 12）设1 2 3 4, , ,A A A A是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 1 3 1 2 ()A A A ARuuuur uuuur , 1 4 1 2 ()A A A ARuuuur uuuur ,且 112，则称 34,AA调和分割 12,AA，已知平面上的点 ,CD调和分割点 ,AB，则下面说法正确的是 2 x A. O y 4 2 x B. O y 4 2 x C. O y 4 2 x D. O y 4 正（主）视图 俯视图 2011 年高考数学试卷解析版 -山东卷文理两份 A. C 可能是线段 AB 的中点 B. D 可能是线段 AB 的中点 C. C,D 可能同时在线段 AB 上 D. C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 解析：根据题意可知 112cd，若 C 或 D 是线段 AB 的中点，则 12c，或 12d，矛盾； 若 C,D 可能同时在线段 AB 上，则 0 1, 0 1,cd 则 112cd矛盾，若 C,D 同时在线段AB 的延长线上 ，则 1, 1cd， 1102cd ，故 C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上，答案选 D。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 （ 13）执行右图所示的程序框图，输入 2 , 3 , 5l m n ， 则输出的 y 的值是 。 解析： 1 4 0 6 3 7 5 2 7 8 ,y 2 7 8 1 0 5 1 7 3 , 1 7 3 1 0 5 6 8yy 。 答案应填： 68. （ 14）若 62()ax x 展开式的常数项为 60， 则常数 a 的值为 。 解析： 62()ax x 的展开式 616 2()k k kkaT C x x 636 ()kkC a x ，令 6 3 0 , 2 ,kk 226 ( ) 1 5 6 0 , 4C a a a ，答案应填： 4. （ 15）设函数 ( ) ( 0 )2xf x xx，观察： 1 ( ) ( ) 2xf x f x x ，21( ) ( ( ) ) 34xf x f f x x ，32( ) ( ( ) ) 78xf x f f x x ， 43( ) ( ( ) ) 1 5 1 6xf x f f x x ， 根据上述事实，由归纳推理可得： 当 *nN ，且 2n 时，1( ) ( ( ) )nnf x f f x。 解析：21 22( ) ( ( ) ) ( 2 1 ) 2xf x f f x x ，32 33( ) ( ( ) ) ( 2 1 ) 2xf x f f x x ， 43 44( ) ( ( ) ) ( 2 1 ) 2xf x f f x x ，以此类推可得1( ) ( ( ) ) ( 2 1 ) 2nn nnxf x f f x x 。 开始 输入非负整数 l， m， n 2 2 2 0l m n 7 0 2 1 1 5y l m n 105y 105y 105yy 输出 y 结束 2011 年高考数学试卷解析版 -山东卷文理两份 答案应填：(2 1) 2nnxx。 16.已知函数 ( ) l o g ( 0 ,af x x x b a 且 1)a 。 当 2 3 4ab 时函数 ()fx的零点为0 ( , 1 ) ( * )x n n n N， 则 n 。 解析：根据 ( 2 ) l o g 2 2 l o g 2 3 0aaf b a ， ( 3 ) l o g 3 2 l o g 3 4 0aaf b a ，而函数 ()fx在 (0, ) 上连续，单调递增，故函数 ()fx的零点在区间 (2,3) 内，故 2n 。答案应填： 2. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。 17.（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，已知 c o s 2 c o s 2c o sA C c aBb， （ ）求 sinsinCA的值；（ ）若 1c o s , 24Bb，求 ABC 的面积 S。 解： （ ）在 ABC 中，由 c o s 2 c o s 2c o sA C c aBb及正弦定理可得 c o s 2 c o s 2 s i n s i nc o s s i nA C C ABB， 即 s i n s i n 2 c o s s i n 2 s i n c o s s i n c o sA B C B C B A B 则 s i n s i n s i n c o s 2 s i n c o s 2 c o s s i nA B A B C B C B s i n ( ) 2 s i n ( )A B C B ，而 A B C ，则 sin 2 sinCA ， 即 sin 2sinCA 。 另解 1：在 ABC 中，由 c o s 2 c o s 2c o sA C c aBb可得 c o s 2 c o s 2 c o s c o sb A b C c B a B 由余弦定理可得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222b c a a b c a c b a c bc a a c ， 整理可得 2ca ，由正弦定理可得 sin 2sin CcAa。 另解 2：利用教材习题结论解题，在 ABC 中有结论 c o s c o s , c o s c o s , c o s c o sa b C c B b c A a C c a B b A . 由 c o s 2 c o s 2c o sA C c aBb可得 c o s 2 c o s 2 c o s c o sb A b C c B a B 即 c o s c o s 2 c o s 2 c o sb A a B c B b C ，则 2ca ， 2011 年高考数学试卷解析版 -山东卷文理两份 由正弦定理可得 sin 2sin CcAa。 （ ）由 2ca 及 1c o s , 24Bb可得 2 2 2 2 2 24 2 c o s 4 4 ,c a a c B a a a a 则 1a ， 2c ， S 21 1 1 5s i n 1 2 1 c o s2 2 4a c B B ，即 154S 。 （ 18）（本题满分 12 分） 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、 B、 C 进行围棋比赛，甲对 A、乙对 B、丙对C 各一盘。已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立。 （ ）求红队至少两名队员获胜的概率； （ ）用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望 E 。 解析： （ ）记 甲对 A、乙对 B、丙对 C 各一盘中甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 分别为事件 ,DE F ,则甲不胜 A、乙不胜 B、丙 不胜 C 分别为事件 ,D E F ，根据各盘比赛结果相互独立可得 故红队至少两名队员获胜的概率为 ( ) ( ) ( ) ( )P P D E F P D E F P D E F P D E F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P D P E P F P D P E P F P D P E P F P D P E P F 0 . 6 0 . 5 ( 1 0 . 5 ) 0 . 6 ( 1 0 . 5 ) 0 . 5 ( 1 0 . 6 ) 0 . 5 0 . 5 0 . 6 0 . 5 0 . 5 0.55 . （ ）依题意可知 0,1, 2,3 ， ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 0 . 6 ) (1 0 . 5 ) (1 0 . 5 ) 0 . 1P P D E F P D P E P F ； ( 1 ) ( ) ( ) ( )P P D E F P D E F P D E F 0 . 6 ( 1 0 . 5 ) ( 1 0 . 5 ) ( 1 0 . 6 ) 0 . 5 ( 1 0 . 5 ) ( 1 0 . 6 ) ( 1 0 . 5 ) 0 . 5 0 . 3 5 ； ( 2 ) ( ) ( ) ( )P P D E F P D E F P D E F 0 . 6 0 . 5 ( 1 0 . 5 ) ( 1 0 . 6 ) 0 . 5 0 . 5 0 . 6 ( 1 0 . 5 ) 0 . 5 0 . 4 ； ( 3 ) ( ) 0 . 6 0 . 5 0 . 5 0 . 1 5P P D E F .故 的分布列为 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 故 0 0 . 1 1 0 . 3 5 2 0 . 4 3 0 . 1 5 1 . 6E . 2011 年高考数学试卷解析版 -山东卷文理两份 19. （ 本小题满分 12 分） 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形， 090ACB， EA 平面 ABCD ， /EF AB ， /FG BC ， /EG AC ， 2AB EF （ ）若 M 是线段 AD 的中点，求证： /GM 平面 ABFE ； （ ）若 2A C B C A E，求二面角 A BF C的大小 几何法： 证明： （ ） /EF AB ， 2AB EF 可知延长 BF 交 AE 于点 P ，而 /FG BC ， /EG AC ， 则 P BF平面 ,B F G C P A E平面 AEGC ，即 P 平面 BFGCI 平面 AEGC GC ， 于是 ,BF CG AE 三线共点， 1/2FG BC，若 M 是线段 AD 的中点 ，而 /AD BC , 则 /FG AM ，四 边形 AMGF 为平行四边形，则 /GM AF ，又 GM 平面 ABFE ， 所以 /GM 平面 ABFE ； （ ） 由 EA 平面 ABCD ，作 CH AB ，则 CH 平面 ABFE ，作 HT BF ，连接 CT ，则 CT BF ，于是 CTH 为 二面角 A BF C的平面角。 若 2A C B C A E，设 1AE ，则 2AC BC， 2 2 , 2A B C H， H 为 AB 的中点， 2 2 2t a n222A E A EFBAA B E F A B ， 3s in3FBA， 36s i n 2 33H T B H A B F ，在 Rt CHT 中 t a n 3CHC T H HT , 则 60CTHo ，即 二面角 A BF C的大小 为 60o 。 坐标法： （ ） 证明：由 四边形 ABCD 为平行四边形， 090ACB， EA 平面 ABCD ，可得以点 A 为坐标原点， ,AC AD AE 所在直线分别为 ,xyz 建立直角坐标系， 设 = , ,A C a A D b A E c，则 (0,0,0)A , 1( , 0 , 0 ) , ( 0 , , 0 ) , ( 0 , , 0 ) , ( , , 0 )2C a D b M b B a b. 由 /EG AC 可得 ()E G A CRuuur uuur ， 1( , , )2G M G E E A A M a b c u u u ur u u ur u uur u u u ur 由 /FG BC 可得 ()F G B C A D Ruuur uuur uuur, 1122G M G F F A A M A D B A E A A D u u ur u u ur u u ur u u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur AB CDEF GM2011 年高考数学试卷解析版 -山东卷文理两份 1( , (1 ) , )2 a b c ，则 12， 12GM BA EAuuuur uuur uuur，而 GM 平面 ABFE ， 所以 /GM 平面 ABFE ； （ ） （ ）若 2AC BC AE，设 1AE ，则 2AC BC， ( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( 2 , 2 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 )C E B F,则 ( 0 , 2 , 0 )B C A Duuur uuur , ( 1,1,1)BF uuur , ( 2 , 2 , 0 )AB uuur ,设 1 1 1 1 2 2 2 2( , , ) , ( , , )x y z x y zn = n分别为平面 ABF 与平面 CBF 的法向量。 则 111 1 12 2 00xyx y z ，令1 1x，则111, 0yz，1 (1,1,0)n=； 22 2 2200yx y z ，令2 1x ，则220, 1yz，2 (1, 0,1)n。 于是1212121c o s2 nnn , nnn，则12 60 o