2011年高考数学试卷解析版-陕西卷［文理两份］

2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 2011 年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷 文科 全解全析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1设 ar ， br 是向量，命题“若 abrr，则 | | | |abrr”的逆命题是 （ ） （ A）若 abrr，则 | | | |abrr （ B）若 abrr，则 | | | |abrr （ C）若 | | | |abrr，则 abrr （ D）若 | | | |abrr，则 abrr 【分析】首先确定原命题 的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。 【解】选 D 原命题的条件是 abrr，作为逆命题的结论；原命题的结论是 | | | |abrr，作为逆命题的条件，即得逆命题“若 | | | |abrr，则 abrr”，故选 D 2设抛物线的顶点在原点，准线方程为 2x ，则抛物线的方程是 （ ） （ A） 2 8yx （ B） 2 4yx （ C） 2 8yx （ D） 2 4yx 【 分析 】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键 【解 】选 C 由准线方程 2x 得 22p ,且抛物线的开口向右（或焦点在 x 轴的正半轴），所以 2 28y px x 3.设 0 ab，则下列不等式中正确的是 （ ） （ A） 2aba b a b （ B）2aba a b b （ c）2aba a b b (D) 2aba b a b 【 分析 】根据不等式的性质，结合作差法，放缩法，基本不等式或特殊值法等进行比较 【解 】选 B （方法一）已知 ab 和2abab ，比较 a 与 ab ，因为22( ) ( ) 0a a b a a b ，所以 a ab ，同理由 22( ) ( ) 0b a b b b a 得ab b ；作差法： 022a b b ab ，所以 2abb ，综上可得 2aba a b b ；故选 B（方法二）取 2a ， 8b ，则 4ab ， 52ab ， 所以2aba a b b 4. 函数 13yx 的图像是 （ ） 2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 【 分析 】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断 【解】选 B 取 18x， 18，则 12y， 12，选项 B， D 符合；取 1x ，则 1y ，选项 B 符合题意 二、 某几何体的三视图如图所示，则它的体 积是（ ） 6. 2837.838.8-2 9.23【分析】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算 【解】选 A 由几何体的三视图 可知几何体为一个组合体， 即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是 32182 2 2 833V . 6.方程 cosxx 在 , 内 （ ） (A)没有根 (B)有且仅有一个根 (C) 有且仅有两个根 （ D）有无穷多个根 【 分析 】数形结合法，构造函数并画出函数的图象，观察直观判断 【解】选 C 构造两个函数 |yx 和 cosyx ，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察知图像有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根 2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 7.如右框图，当126, 9,xx8.5p时，3x等于 （ ） (A) 7 (B) 8 (C)10 （ D） 11 【分析】按照程序框图的逻辑顺序进行计算 【解】选 B 126, 9,xx3| 9 | 3x； 又 8.5p ，127.52xx ，显然3| 9 | 3x不成立，即为“否”， 有3| 9 | 3x ，即36 12x剟，此时有 39 8.52x ，解得3 8x ，符合题意，故选 B 8.设集合 22 | | c o s s i n | , M y y x x x R ， | | 1xNxi，i 为虚数单位， x R ，则 MNI 为（ ） (A)(0,1) (B)(0,1 (C)0,1) (D)0,1 【 分析 】 确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。 【解】选 C 22| c o s s i n | | c o s 2 | 0 , 1 y x x x ，所以 0,1M ； 因为 | | 1xi ，即 | | 1xi，所以 | | 1x ，又因为 x R，所以 11x ，即 ( 1,1)N ；所以 0,1)MNI ，故选 C. 9 设1 1 2 2( , ), ( , ),x y x y ， ( , )nnxy是变量 x 和 y 的 n 个样本点，直线 l 是由这些 样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ） (A) 直线 l 过点 ( , )xy （ B） x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 （ C） x 和 y 的 相关系数在 0 到 1 之间 2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 （ D）当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断 【解】选 A 选项 具体分析 结论 A 回归直线 l 一定过样本点中心 ( , )xy ；由回归直线方程的计算公式$a y bx$ 可知直线 l 必过点 ( , )xy 正确 B 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜 程度；它们的计算公式也不相同 不正确 C 相关系数的值有正有负，还可以是 0；当相关系数在 0 到 1 之间时，两个变量为正相关，在1 到 0 之间时，两个变量负相关 不正确 D l 两侧的样本点的个数分布与 n 的奇偶性无关，也不一定是平均分布 不正确 10 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从 1 到 20 依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的 两个最佳 坑位的编号为（ ） （ A） 和 （ B） 和 (C) 和 (D) 和 【分析】根据选项分别计算四种情形的路程和；或根据路程和的变化规律直接得出结论 【解】选 D （方法一） 选项 具体分析 结论 A 和 ： 1 0 ( 1 2 1 9 ) 2 3 8 0 0 L 比较各个路程和可知 D 符合题意 B ： 1 0 ( 1 2 8 ) 2 ( 1 2 1 1 ) 2 2 0 4 0 LL ： 1 0 ( 1 2 9 ) 1 0 ( 1 2 1 0 ) 2 LL=2000 C ： 1 0 ( 1 2 9 ) 1 0 ( 1 2 1 0 ) 2 LL=2000 D 和 ：路程和都是 2000 （方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所 得路程总和的变化相同，最后移到第 10 个和第 11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和进行比较即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是 1 0 (1 2 1 9 ) 2 L 1 9 ( 1 1 9 )1 0 2 3 8 0 02 ；树苗放在第 10 个 （ 或 第 11 个 ） 树 坑 旁 边 时 ， 路 程 总 和 是2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 1 0 ( 1 2 9 ) 1 0 ( 1 2 1 0 ) 2 LL9 ( 1 9 ) 1 0 ( 1 1 0 )1 0 2 1 0 222 9 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 ，所以路程总和最小为 2000 米 . (二） 填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上 （ 本大题共 5 小题，每小题 5 分，共25 分） 11 设 lg , 0()1 0 , 0xxxfxx ， 则 ( ( 2)ff_. 【 分析 】由 2x 算起，先判断 x 的范围，是大于 0，还是不大于 0,；再判断 ( 2)f 作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果 【解】 20x ， 2 1( 2 ) 1 0 0100f ，所以 22(1 0 ) l g 1 0 2f ，即( ( 2 ) 2ff 【答案】 2 12 如图，点 ( , )xy 在四边形 ABCD 内部和边界上运动，那么 2xy 的最小值为 _. 【 分析 】本题为线性规划问题，采 用数形结合法解答，解答本题的关键是确定目标函数过哪一个点时取得最小值 【解】目标函数 2z x y，当 0x 时， zy ，所以当 y 取得最大值时，z 的值最小；移动直线 20xy，当直线移动到过点 A 时， y 最大，即 z的值最小，此时 2 1 1 1z 【答案】 1 13 观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第五个等式应为 _. 【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，根据以上规律写出第五个等式，注意行数、项数及其变化规律是解答本题的关键 【解】把已知等式与行数对应 起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数 n ，加数的个数是 21n ；等式右边都是完全平方数， 行数 等号左边的项数 1=1 1 1 2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7 则第 5 行等号的左边有 9 项，右边是 9 的平方，所以 25 6 5 ( 2 5 1 ) 1 9 L ， 即 5 6 1 3 8 1 L 【答案】 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 8 1 （或 5 6 1 3 8 1 L ） 14设 nN，一元二次方程 2 40x x n 有 整数 根的充要条件是 n 【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算 【解】 4 1 6 42 nx 24n ，因为 x 是整数，即 24n为整数，所以 4 n为整数，且 4n ，又因为 nN，取 1, 2, 3, 4n 验证可知 3,4n 符合题意；反之 3,4n时，可推出一元二次方程 2 40x x n 有 整数 根 【答案】 3 或 4 15 （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A（不等式选做题）若不等式 | 1 | | 2 |x x a 对任意 x R 恒成立，则 a 的取值范围是 【分析】先确定 | 1 | | 2 |xx 的取值范围，则只要 a 不大于 | 1 | | 2 |xx 的最小值即可 【解】当 1x 时， | 1 | | 2 | 1 2 2 1 3x x x x x ； 当 12x 时， | 1 | | 2 | 1 2 3x x x x ； 当 2x 时， | 1 | | 2 | 1 2 2 1 3x x x x x ； 综上可得 | 1 | | 2 | 3xx ，所以只要 3a ， 即实数 a 的取值范围是 ( ,3 【答案】 ( ,3 B（几何证明选做题）如图， B= D， AE BC ， 90ACDo ，且 AB=6， AC=4，AD=12，则 AE= 【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解 【解】因为 AE BC ， 2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 所以 AEB= 90ACDo ，又因为 B= D，所以 AEB ACD，所以 AC ADAE AB,所以64 212A B A CAE AD 【答案】 2 C（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A， B 分别在曲线1C： 3 cossinxy（ 为参数）和曲线2C： 1 上，则 |AB 的最小值为 【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程 【解】曲线1C的方程是 22( 3 ) 1xy ，曲线2C的方程是 221xy，两圆外离，所以|AB 的最小值为 223 0 1 1 1 【答案】 1 （ 3） 解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分） P.（本小题满分 12 分） 如图，在 ABC 中， ABC=45， BAC=90， AD是 BC 上的 高，沿 AD 把 ABD 折起，使 BDC=90。 （ 1）证明：平面平面； （ 2 ）设 BD=1，求三棱锥 D 的表 面积。 【分析】（ 1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（ 2）充分利用垂直所得的直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算 【解】 （ 1）折起前是边上的高， 当 折起后， AD， AD， 又 DB ， 平面， 又 AD 平面 BDC. 平面 ABD平面 BDC （ 2）由（ 1）知， DA DB ,DB DC ,DC DA , 2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 Q DB=DA=DC=1， AB=BC=CA= 2 , 111 1 ,22D A M D B C D C AS S S V V V 132 2 s i n 6 022ABCS V 三棱锥 D 的表面积 是 1 3 3 33.2 2 2S 17.（本小题满分 12 分） 设椭圆 C : 22 10xy abab 过点（ 0， 4），离心率为 35 （ 1）求 C 的方程； （ 2）求过点（ 3， 0）且斜率为 45的直线被 C 所截线段的中点坐标 【分析】（ 1）由椭圆过已知点和 椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，也可以分步求解；（ 2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；然后利用中点坐标公式求解 【解】 （ 1）将 点 （ 0， 4）代入 C 的方程得2161b , b=4, 又 35ce a得 222925aba ， 即216 91 25a， 5a C 的方程为 22125 16xy（ 2）过点 3,0 且斜率为 45的直线方程为 4 35yx， 设直线与的交点为 11,xy， 22,xy，将直线方程 4 35yx代入的方程，得 22 3 12 5 2 5xx ，即 2 3 8 0xx ，解得13 412x ，23 412x ， AB 的中点坐标 12322xxx ， 12122662 5 5yyy x x ， 2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 即 所截线段的中点坐标 为 36,25 注： 用韦达定理正确求得结果，同样给分 18.（本小题满分 12 分） 叙述并证明余弦定理。 【分析】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识学习和巩固 【解】叙述： 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在 ABC 中， a， b， c 为 A， B， C 的对边，有 2 2 2 2 c o sa b c b c A ， 2 2 2 2 c o sb c a c a B ， 2 2 2 2 c o sc a b a b C . 证明：（ 证法一 ） 如图， 2c BCuuur A C A B A C A B uuur uuur uuur uuur 222A C A C A B A B uuur uuur uuur uuur222 c o sA C A C A B A A B u u ur u u ur u u ur u u ur 222 c o sb b c A c 即 2 2 2 2 c o sa b c b c A 同 理可证 2 2 2 2 c o sb c a c a B ， 2 2 2 2 c o sc a b a b C （ 证法二 ） 已知 ABC 中 ， ,ABC 所对边分别为 , , ,abc，以 A 为原点， AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则 ( c o s , s i n ) , ( , 0 )C b A b A B c， 2 2 2 2 2 2 2 2 2| | ( c o s ) ( s i n ) c o s 2 c o s s i na B C b A c b A b A b c A c b A 22 2 c o sb c b c A ， 即 2 2 2 2 c o sa b c b c A 同理可证 2 2 2 2 c o sb c a c a B ， 2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 2 2 2 2 c o sc a b a b C 19.（本小题满分 12 分） 如图，从点1(0,0)P做 x 轴的垂线交曲线 xye 于点1(0,1),Q曲线在1Q点处的切线与 x 轴交于点2P，再从2P做 x 轴的垂线交 曲线于点2Q，依次重复上述过程得到一系列点：1 1 2 2, ； , . . . . . . ； , ,nnP Q P Q P Q记kP点的坐标为 ( , 0 ) ( 1 , 2 , . . . , )kx k n. （）试求1x与1kx的关系 (2 )kn （ ）求1 1 2 2 3 3 . nnP Q P Q P Q P Q 【分析】（ 1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与 x 轴的交点坐标；（ 2）尝试求出通项 |nnPQ的表达式，然后再求和 【解】 （ ）设11( , 0)kkPx，由 xye 得 111( , )kxkkQ x e 点处切线方程为 11 1()kkxx ky e e x x 由 0y 得1 1 ( 2 )kkx x k n 。 （ ）110 , 1kkx x x ，得 ( 1)kxk ， ( 1 )kx kkkP Q e e 1 1 2 2 3 3 .n n nS P Q P Q P Q P Q 11 2 ( 1 )111 . . . 11nnn e e ee e e ee 20.（本小题满分 13 分） 如图， A 地到火车站共有两条路径1L和2L，现随机抽取 100 位从 A 地到 达 火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 选择1L的人数 6 12 18 12 12 选择2L的人数 0 4 16 16 4 （ 1）试估计 40 分钟内 不能 赶到火车站的概率 ； 2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 （ 2 ）分别求通过路径1L和2L所用时间落在上表中各时间段内的频率 ； （ 3）现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的 路径 【分析】（ 1）读懂数表，确定不能 赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值；（ 2）根据频率的计算公式计算；（ 3）计算选择不同的路径，在允许的时间内赶往火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径 【解】 （ 1）由已知共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12+12+16+4=44人， 用频率估计相应的概率为 0.44. （ 2 ）选择1L的有 60 人，选择2L的有 40 人， 故由调查结果得频率为： 所用时间（分钟） 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 选择1L的人数 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 选择2L的人数 0 0.1 0.4 0.4 0.1 （ 3） 用1A，2A分别表示甲选择1L和2L时，在 40 分钟内赶到火车站； 用1B，2B分别表示乙选择1L和2L时，在 50 分钟内赶到火车站 由（ 2）知 P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6， P(A2)=0.1+0.4=0.5， P(A1) P(A2)， 甲应选择 路径 1L ； P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8， P（ B2） =0.1+0.4+0.4=0.9， P（ B2） P（ B1）， 乙应选择 路径 L2. 21.（本小题满分 14 分） 设 ( ) lnf x x ， ( ) ( ) ( )g x f x f x （ 1）求 ()gx的单调区间和最小值； （ 2）讨论 ()gx与 1()gx的大小关系； 2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 （ 3）求 a 的取值范围，使得 ( ) ( )g a g x 1a对任意 x 0 成立 【分析】（ 1）先求出原函数 ()fx，再求得 ()gx ，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（ 2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（ 3） 对任意 x 0 成立 的恒成立 问题转化为函数 ()gx 的最小值问题 【解】 （ 1）由题设知 1( ) l n , ( ) l nf x x g x xx ， 21( ) ,xgx x 令 ()gx 0 得 x =1， 当 x （ 0， 1）时， ()gx 0， ()gx 是减函数， 故（ 0， 1）是 ()gx 的单调减区间。 当 x （ 1， +）时， ()gx 0， ()gx 是增函数， 故（ 1， +）是 ()gx 的单调递增区间， 因此， x =1 是 ()gx的唯一 极 值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以 ()gx的最小值为 (1) 1.g (2) 1( ) lng x xx 设 11( ) ( ) ( ) l nh x g x g x xxx ，则 22( 1 )() xhx x ， 当 1x 时， (1) 0h ， 即 1( ) ( )g x gx， 当 ( 0 , 1) (1, )x 时 ， ( ) 0hx ， 因此， ()hx在 (0, ) 内单调递减， 当 01x时， ( ) (1) 0h x h 即 1( ) ( ).g x gx（ 3）由（ 1）知 ()gx的最小值为 1，所以， 1( ) ( )g a g x a，对任意 0x ，成立 1( ) 1 ,ga a 即 1,Ina 从而得 0 ae。 2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 2011 年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷 理科 全解全析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1设 ar ， br 是向量，命题“若 abrr，则 | | | |abrr”的逆命题是 （ ） （ A）若 abrr，则 | | | |abrr （ B）若 abrr，则 | | | |abrr （ C）若 | | | |abrr，则 abrr （ D）若 | | | |abrr，则 abrr 【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。 【解】选 D 原命题的条件是 abrr，作为逆命题的结论；原命题的结论是 | | | |abrr，作为逆命题的条件，即得逆命题“若 | | | |abrr，则 abrr”，故选 D 2设抛物线的顶点在原点，准线方程为 2x ，则抛物线的方程是 （ ） （ A） 2 8yx （ B） 2 8yx （ C） 2 4yx （ D） 2 4yx 【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键 【解】选 B 由准线方程 2x 得 22p ,且抛物线的开口向右（或焦点在 x 轴的正半轴），所以 2 28y px x 3设函数 ()fx（ x R）满足 ( ) ( )f x f x ， ( 2 ) ( )f x f x ，则函数 ()y f x 的图像是 （ ） 【分析】根据题意，确定函数 ()y f x 的性质，再判断哪一个图像具有这些性质 【解】选 B 由 ( ) ( )f x f x 得 ()y f x 是偶函数，所以函数 ()y f x 的图象关于 y 轴对称，可知 B， D 符合；由 ( 2 ) ( )f x f x 得 ()y f x 是周期为 2 的周期函数，选项 D 的图像的最小正周期是 4，不符合，选项 B 的图像的最小正周期是 2，符合，故选 B 2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 4 6(4 2 )xx （ x R）展开式中的常数项是 （ ） （ A） 20 （ B） 15 （ C） 15 （ D） 20 【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由 x 的指数为 0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项 . 【解】选 C 6 2 ( 6 ) 1 2 31 6 6 6( 4 ) ( 2 ) 2 2 2r x r x r r x r x r r x x rrT C C C ， 令 12 3 0x xr，则 4r ，所以 45615TC，故选 C 5某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ） （ A） 283（ B） 83（ C） 82 （ D） 23【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算 【精讲精析】选 A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体， 即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是 32182 2 2 833V . 6函数 ( ) c o sf x x x在 0, ) 内 （ ） （ A）没有零点 （ B）有且仅有一个零点 （ C）有且仅有两个零点 （ D）有无穷多个零点 【分析】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。 【解】选 B （方法一）数形结合法，令 ( ) c o sf x x x 0 ，则 cosxx ，设函数yx 和 cosyx ，它们在 0, ) 的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数 ( ) c o sf x x x在 0, ) 内有且仅有一个零点； 2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 （方法二）在 , )2x 上， 1x ， cos 1x ，所以 ( ) c o sf x x x 0 ； 在 (0, 2x ， 1( ) s i n 02f x xx ，所以函数 ( ) c o sf x x x是增函数，又因为(0) 1f ， ( ) 022f ，所以 ( ) c o sf x x x在 0, 2x 上有且只有一个零点 7设集合 22 | | c o s s i n | , M y y x x x R ， 1 | | 2N x xi ， i 为虚数单位，x R ，则 MNI 为（ ） （ A）（ 0， 1） （ B） (0 ， 1 （ C） 0 ， 1) （ D） 0 ， 1 【分析】确定出集合的元素是关键。本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。 【解】选 C 22| c o s s i n | | c o s 2 | 0 , 1 y x x x ，所 以 0,1M ； 因为 1| | 2xi，所以 | | 2xi ，即 | ( ) | 2xi ，又因为 x R，所以 11x ，即 ( 1,1)N ；所以 0,1)MNI ，故选 C. 8右图中，1x，2x，3x为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分， p 为该题的最终得分，当1 6x，2 9x ，8.5p 时， 3x 等于（ ） （ A） 11 （ B） 10 （ C） 8 （ D） 7 【分析】先读懂右图的逻辑顺序，然后进行计算判断，其中判断条件3 1 3 2| | | |x x x x 是否成立是解答本题的关键 2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 【解】选 C 1 6x，2 9x ,12| | 3 2xx不成立 ,即为“否”，所以再输入3x；由绝对值的意义（一个点到另一个点的距离） 和不等式3 1 3 2| | | |x x x x 知，点3x到点1x的距离小于点3x到2x的距离，所以当3 7.5x 时，3 1 3 2| | | |x x x x 成立，即为“是”，此时23xx，所以132xxp ，即36 8.52x ，解得3 11x 7.5，不合题意；当3 7.5x时，3 1 3 2| | | |x x x x 不成立，即为“否”，此时13xx，所以322xxp ，即3 9 8.52x ，解得3 8x 7.5，符合题意，故选 C 9设1 1 2 2( , ), ( , )x y x y， ，33( , )xy是变量 x 和 y 的 n 个样本点，直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是 （ ） （ A） x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 （ B） x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 （ C）当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 （ D）直线 l 过点 ( , )xy 【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断 【解】选 D 选项 具体分析 结论 A 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直 线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同 不正 确 B 相关系数的值有正有负，还可以是 0； 当相关系数在 0 到 1 之间时，两个变量为正相关，在1 到 0 之间时，两个变量负相关 不正确 C l 两侧的样本点的个数分布与 n 的奇偶性无关，也不一定是平均分布 不正 确 D 回归直线 l 一定过样本点中心 ( , )xy ；由回归直线方程的计算公式$a y bx$ 可知直线 l 必过点 ( , )xy 正确 10甲乙两人一起去游“ 2011 西安世园会”，他们约定，各自独立地从 1 到 6 号景点中任选4 个进行游览，每个景点参观 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ） （ A） 136（ B） 19（ C） 536（ D） 16【分析】本题抓住主要条件，去掉次要条件（例如参观时间）可以简化解题思路，然后把问题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题 【解】选 D 甲乙两人各自独立任选 4 个景点的情形共有 4466AA（种）；最后一小时他们同2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 在一个景点的情形有 33556AA（种），所以 33554466616AAPAA 二、填空题：把答案填在答题卡 相应题号后的横线上（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共25 分 ） 11设20l g 0() 30axxfx x t d t x ，若 ( (1) 1ff ，则 a 【 分析 】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从 1x 算起是解答本题的突破口 . 【解】因为 10x ，所以 (1) lg 1 0f ， 又因为 230( ) 3af x x t d t x a ， 所以 3(0)fa ，所以 3 1a ， 1a 【答案】 1 12设 nN，一元二次方程 2 40x x n 有 整数 根的充要条件是 n 【分析】直接利用求根公式进行计算，然 后用完全平方数、整除等进行判断计算 【解】 4 1 6 42 nx 24n ，因为 x 是整数，即 24n为整数，所以 4 n为整数，且 4n ，又因为 nN，取 1, 2, 3, 4n ，验证可知 3,4n 符合题意；反之 3,4n时，可推出一元二次方程 2 40x x n 有 整数 根 【答案】 3 或 4 13观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第 n 个等式为 . 【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论行数、项数及其变化规律是解答本题的关键 【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数 n ，加数的个数是 21n ；等式右边都是完全平方数， 行数 等号左边的项数 1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7 所以 2( 1 ) ( 2 1 ) 1 ( 2 1 )n n n n n L ， 2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 即 2( 1 ) ( 3 2 ) ( 2 1 )n n n n L 【答案】 2( 1 ) ( 3 2 ) ( 2 1 )n n n n L 14植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米） 【分析】把实际问题转化为数学模型 ,然后列式转化为函数的最值问题 【解】（方法一）设树苗放在第 i 个树坑旁边（如图）， 1 2 i 19 20 那么各个树坑到第 i 个树坑距离的和是 ( 1 ) 1 0 ( 2 ) 1 0 ( ) 1 0 ( 1 ) 1 0 ( 2 0 ) 1 0s i i i i i i i LL ( 1 ) ( 2 0 ) ( 1 2 0 )1 0 ( 2 0 ) 22i i i ii i i i 21 0 ( 2 1 2 1 0 )ii ，所以当 10i 或 11时， s 的值最小，最小值是 1000，所以往返路程的最小值是 2000 米 . （方法二）根据图形的对称性，树苗放 在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第 10 个和第 11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是 1 9 ( 1 1 9 )1 0 ( 1 2 1 9 ) 2 1 0 2 3 8 0 02 L；树苗放在第10 个（或第 11 个）树坑旁边时，路程总和是 1 0 ( 1 2 9 ) 1 0 ( 1 2 1 0 ) 2 LL 9 ( 1 9 ) 1 0 ( 1 1 0 )1 0 2 1 0 2 9 0 0 1 1 0 0 2 0 0 022 ，所以路程总和最小为2000 米 . 【答案】 2000 15 （ 考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A（不等式选做题）若关于 x 的不等式 | | | 1 | | 2 |a x x 存在实数解，则实数 a 的取值范围是 【分析】先确定 | 1 | | 2 |xx 的取值范围，再使得 a 能取到此范围内的值即可 【解】当 1x 时， | 1 | | 2 | 1 2 2 1 3x x x x x ； 当 12x 时， | 1 | | 2 | 1 2 3x x x x ； 当 2x 时， | 1 | | 2 | 1 2 2 1 3x x x x x ； 2011 年高考数学试卷解析版 -陕西卷文理两份 综上可得 | 1 | | 2 | 3xx ，所以只要 | | 3a ，解得 3a 或 3a ， 即实数 a 的取值范围是 ( , 3 3 , ) U 【答案】 ( , 3 3 , ) U B（几何证明选做题）如图， B= D， AE BC ， 90ACDo ，且 AB=6， AC=4，AD=12，则 BE= 【分析】寻找两个三角形相 似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解 【解】因为 AE BC ， 所以 AEB= 90ACDo ，又因为 B= D，所以 AEB ACD，所以 AC ADAE AB, 所以 64 212A B A CAE AD ，在 Rt AEB 中， 2 2 2 26 2 4 2B E A B A E 【答案】 42 C（坐标系与参数方 程选做题）直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A， B 分别在曲线1C： 3 cos4 sinxy（ 为参数）和曲线2C：