反比例函数 (2).doc

实际问题与反比例函数 教学设计教学目标知识与技能1能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题2能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题过程与方法1经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题2体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力情感态度与价值观体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具。运用反比例函数解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣。教学重难点重点：掌握从实际问题中建构反比例函数模型。运用反比例函数的意义和性质解决实际问题。难点：从实际问题中寻找变量之间的关系关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想。用反比例函数的思想方法分析解决实际问题，在解决实际问题的过程中进一步巩固反比例函数的性质。教学方法启发引导、合作探究教学过程设计（一）创设问题情境，引入新课师有关反比例函数的表达式，图像的特征我们都研究过了，那么，我们学习它们的目的是什么呢?生是为了应用师很好学习的目的是为了用学到的知识解决实际问题究竟反比例函数能解决一些什么问题呢?本节课我们就来学一学问题：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境。问题思考：（1）请你解释他们这样做的道理。（2）当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（）的变化，人和木板对地面的压强P（Pa）将如何变化？（3）如果人和木板对湿地的压力合计600N，那么：用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？当木板面积为02时，压强是多少？如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？在直角坐标系中，作出相应的函数图象。请利用图象对（2）和（3）作出直观解释，并与同伴交流。学生分四个小组进行探讨、交流领会实际问题的数学意义，体会数与形的统一教师可以引导、启发学生解决实际问题在此活动中，教师应重点关注学生：能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题；能积极地与小组成员合作交流；是否有强烈的求知欲（二）讲授新课例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系?（2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下挖进多深?（3）当施工队按（2）中的计划挖进到地下15 m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为 15 m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要（保留两位小数）先由学生独立思考，然后小组内合作交流，教师和学生最后合作完成此活动。让学生体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，此活动让学生从实际问题中寻找变量之间的关系而关键是充分运用反比例函数分析实际情况，建立函数模型，并且利用函数的性质解决实际问题（三）巩固提高练习1：如下图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为l升（1升1立方分米）的圆锥形漏斗（1）漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系?（2）如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少?由两位学生板演，其余学生在练习本上完成，教师可巡视学生完成情况，对“学困生”要提供一定的帮助。让学生进一步体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，更进一步激励学生学习数学的欲望练习2：（1）已知某矩形的面积为20 cm2，写出其长y与宽x之间的函数表达式；（2）当矩形的长为12 cm时，求宽为多少?当矩形的宽为4 cm，求其长为多少?（3）如果要求矩形的长不小于8 cm，其宽至多要多少?由学生独立完成，教师根据学生完成情况及时给予评价进一步让学生体会从实际问题中建立函数模型的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，然后用数学知识重新理解这是什么?可以看成什么?（四）小结本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么?可以是什么?逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想（五）板书设计实际问题与反比例函数（一）第二课时教学目标知识与技能1能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题2能综合利用工程中工作量，工作效率，工作时间的关系及反比例函数的性质等知识解决一些实际问题过程与方法1经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数的模型，进而解决问题的过程2体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力情感态度与价值观1积极参与交流，并积极发表意见2体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具教学重难点重点：掌握从实际问题中建构反比例函数模型。难点：从实际问题中寻找变量之间的关系关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想。教学方法启发引导、合作探究教学媒体多媒体课件教学过程设计（一）创设问题情境，引入新课某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：x（元）3456y（个）20151210（1）根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；（2）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；（3）设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润?学生亲自动手操作，并在小组内合作交流教师巡视学生小组讨论的结果在此活动中，教师应重点关注：学生动手操作的能力；学生数形结合的意识；学生数学建模的意识；学生能否大胆说出自己的见解，倾听别人的看法（二）讲授新课例2 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v（单位：吨天）与卸货时间t （单位：天）之间有怎样的函数关系?（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物?学生先独立思考，然后小组交流合作教师应鼓励学生运用数形结合，用多种方法来思考问题，充分利用好方程、不等式、函数三者之间的关系，在此活动中，教师应重点关注：学生能否自己建构函数模型；学生能否将函数、方程、不等式的知识联系起来；学生面对困难，有无克服困难的勇气和战胜困难的坚强意志通过小组讨论得出以下结果解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，则根据已知条件有k=380=240。所以v与t的函数式为（2）三种方法：利用不等式；借助于图像；利用方程。（三）巩固练习一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地（1）甲、乙两地相距多少千米?（2）如果汽车把速度提高到v（千米时）那么从甲地到乙地所用时间t（小时）将怎样变化?（3）写出t与v之间的函数关系式；（4）因某种原因，这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少?（5）已知汽车的平均速度最大可达80千米时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间?先由学生独立完成，后在小组内讨论交流本题可以通过计算解决以上问题，也可以根据函数的图象对问题进行解释，通过两种方法的比较，可以加深对这类问题的理解（四）小结本节课是继续用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么?可以看到什么?逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时不仅要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想，也要注意函数不等式、方程之间的联系（五）板书设计实际问题与反比例函数（二）第三课时教学目标知识与技能1能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题2能综合利用物理杠杆知识、反比例函数的知识解决一些实际问题过程与方法1经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数的模型，进而解决问题的过程2体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力情感态度与价值观1积极参与交流，并积极发表意见2体验反比例函数是有效地描述物理世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具教学重难点重点：掌握从物理问题中建构反比例函数模型难点：从实际问题中寻找变量之间的关系，关键是充分运用所学知识分析物理问题，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想教学方法启发引导、合作探究教学媒体多媒体课件教学过程设计（一）创设问题情境，引入新课在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用下面的例子就是其中之一例1 在某一电路中，保持电压不变，电流I （安培）和电阻R（欧姆）成反比例，当电阻 R=5欧姆时，电流I=2安培（1）求I与R之间的函数关系式；（2）当电流I0.5时，求电阻R的值可由学生独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用教师应给“学困生”一点物理学知识的引导师：“给我一个支点，我可以把地球撬动”这是哪一位科学家的名言?这里蕴涵着什么样的原理呢?生：这是古希腊科学家阿基米德的名言师：是的公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”；若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为：阻力阻力臂=动力动力臂（如下图）下面我们就来看一例子（二）讲授新课例3 小伟欲用撬棍橇动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1 200牛顿和05米（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为15米时，撬动石头至少需要多大的力?（2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少?先由学生根据“杠杆定律”解决上述问题教师可引导学生揭示“杠杆平衡”与“反比例函数”之间的关系教师在此活动中应重点关注：学生能否主动用“杠杆定律”中杠杆平衡的条件去理解实际问题，从而建立与反比例函数的关系；学生能否面对困难，认真思考，寻找解题的途径；学生能否积极主动地参与数学活动，对数学和物理有着浓厚的兴趣。解：（1）根据：“杠杆定律”有Fl=12000.5，得当l=15时因此，撬动石头至少需要400牛顿的力。（2）可用三种方法来求解方程不等式函数图像思考：在我们使用橇棍时，为什么动力臂越长越省力?小组讨论，利用反比例函数的知识来解答。（三）巩固提高补充：某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.550.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x0.4）元成反比例又当x=0.65元时，y0.8（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若每度电的成本价 0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯收入多少?由学生先独立思考，然后小组内讨论完成。师生共析：（1）由题目提供的信息知y与（x0.4）之间是反比例函数关系，把x0.4看成一个变量，于是可设出表达式，再由题目的条件x0.65时，y=0.8得出字母系数的值；（2）纯收入=总收入总成本（四）小结你对本节内容有哪些认识?重点掌握利用函数关系解实际问题，首先列出函数关系式，利用待定系数法求出解析式，再根据解析式解得（五）板书设计实际问题与反比例函数（三）12用反比例函数的知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长越省力?设阻力为F1，阻力臂长为l1，所以F1l1=k（k为常数且k0）动力和动力臂分别为 F，l则根据杠杆定理：Fl=k 即（k0且k为常数）由此可知F是l的反比例函数，并且当k 0时，F随l的增大而减小第四课时教学目标知识与技能1能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题2能综合利用物理电学知识，反比例函数的知识解决一些实际问题过程与方法1继续经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数的模型，进而解决问题2体会数学与物理的密切联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力情感态度与价值观1积极参与交流，并积极发表意见2体验反比例函数是有效地描述物理世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具教学重难点重点：掌握从物理电学问题中建构反比例函数的模型难点：从实际问题中寻找变量之间的关系，关键还是充分运用所学的知识分析物理中的电学问题，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想教学方法启发引导、合作探究教学媒体多媒体课件教学过程设计（一）创设问题情境，引入新课蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I （A）与电阻R（）之间的函数关系如下图所示探究：（1）蓄电池的电压为多少?你能写出这一函数表达式吗?（2）完成下表，并回答问题：如果蓄电池为电源的用电器限制电流不得超10 A，那么用电器的可变电阻可控制在什么范围内?R/345678910I/A4让学生充分利用图象、表格、函数关系式这三种函数的表示形式研究两个变量之间的关系特别是三种形式的相互转化同时，进一步体会物理与反比例函数之间的关系共同分析得出：图形所提供的信息包括：直观上看，I与R之间的关系可能是反比例函数关系，利用相关知识IRU（U为定值）得到确认；由图象上点A的坐标可知，当用电器的电阻为9时，电流为4A。解：（1）根据图象可得当用电器的电阻为9时，电流为4 A，因为IRU（U为定值）所以蓄电池的电压为U=9436（V）所以电流I与电阻R之间的函数关系为即I与R两个物理量成反比例函数关系（2）利用I与R两个物理量之间的关系可填写下表：从左往右依次为：12，9，如果以此蓄电池为电源的用电器，限制电流不得超过10 A，即I10 A，所以，R3.6（）因此，用电器的可变电阻应控制在大于等于3.6的范围内师：我们还可以综合运用表格、图象来考察此问题，这样我们就可以形成对反比例函数较完整的认识生：无论从图象还是从表格，我们都能观察出反比例函数在第一象限I随R的增大而减小当I10 A时，R3.6因此当限制电流不超过10A时，用电器的可变电阻应是不小于3.6的。下面，我们再来看一个物理方面的问题（二）讲授新课问题：电学知识告诉我们，用电器的输出功率P（瓦）、两端的电压U（伏）及用电器的电阻R（欧姆）有如下关系：PRU2这个关系也可写为P=_，或R=_例4 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110220欧姆，已知电压为220伏，这个用电器的电路图如下图所示。（1）输出功率P与电阻R有怎样的函数关系? （2）用电器输出功率的范围多大?可先由学生独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用，教师应不断地引导学生完成生：由PR=U2，得生：解：（1）根据电学知识，当U=220时，有 即输出功率P是电阻R的反比例函数，函数式为。（2）从式可以看出，电阻越大，功率越小把电阻的最小值R=110代入式，得到输出功率的最大值：把电阻的最大值R220代入式，则得到输出功率的最小值：因此用电器的输出功率在220瓦到440瓦之间生：我认为可以作反比例函数的图象，从图象中也可以看出，如下图中（反比例函数的图象过（110，440），（220，220）观察图象可知，用电器输出的功率在 220440瓦之间。师：结合例4，想一想为什么收音机的音量，台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节?音量、亮度及转速随_的减小而增大，随_的增大而减小生：音量、亮度、转速反应的都是输出功率的大小，在电压一定的情况下，电阻的改变，会引起输出功率的变化从例4我们知道，在电学中，输出功率P与电阻R成反比例函数关系，所以音量、亮度及转速会随电阻的减小而增大，随电阻的增大而减小师：利用反比例函数可以解决实际生活中的很多问题，大大地方便我们的生活（三）巩固提高某学校冬季储煤120吨，若每天用煤x吨，经过y天可以用完（1）请写出y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）当每天的用煤量为1.21.5吨时这些煤可以用的天数在什么范围?注意自变量的取值范围。由学生独立完成，教师巡视完成的情况（四）小结你对本节内容有哪些认识?利用函数观点处理实际问题，理解数形结合的数学思想方法（五）板书设计实际问题与反比例函数（四）反比例函数的图像和性质 教学设计课时安排2课时第一课时 教学设计思想本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上，进一步熟悉其图像和性质的过程。本课时讲解反比例函数的图像，要让学生经历列表、描点、画图的过程，并通过函数自变量的取值范围、计算函数与自变量的对应值、从表格中观察函数的变化规律以及判断函数图像与坐标轴是否有交点，渗透反比例函数的性质，体会函数的三种表示方法的相互转换。通过操作、观察、概括和交流这些数学活动得到性质结论，逐步提高从函数图象中获取信息的能力。教学目标知识与技能：1进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；2体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合；3逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并总结出反比例函数的主要性质。过程与方法：1经历反比例函数主要性质的发现过程；2体会分类讨论思想、数形结合思想的运用。情感态度价值观：体验到数学的探索过程中充满观察、实验、归纳、类比猜想等。在探究反比例函数性质的过程中，让学生初步感知反比例函数图形的对称性。教学重难点重点：掌握反比例函数的作图，理解反比例函数的性质。难点：反比例函数三种表示方法的相互转化，理解性质并灵活运用。教学方法启发引导、合作探究教学媒体课件、直尺教学过程设计（一）创设问题情境，引入新课（1）画函数y=3x1的图象；（2）求上述函数与x轴、y轴的交点坐标。总结一次函数图象作法的基本步骤及其性质，为学习反比例函数的图象和性质作准备。一次函数图象作法的基本步骤：列表、描点、连线。师：我们知道，一次函数的图像是一条直线，那么我们上节课所学的反比例函数是不是直线呢，如果不是直线它是怎么样的曲线呢？生：我认为反比例函数的图象是断开的，因为x0。生：我认为反比例函数的图象是与x轴、y轴无交点。因为x0，y0。师：反比例函数的图象到底如何呢？下面我们亲自动手操作就会发现反比例函数图象的特点。（二）揭示反比例函数的特点活动1 例2 画出反比例函数与的图象。分析：画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x 0我们利用列表、描点、连线，得到了与的图象，那么（1）它们有什么共同的特征？（2）它们之间有什么关系呢？小组讨论得出：（1）它们都是由两条曲线组成，曲线都无限地接近x、y轴，但不会与x轴、y轴相交，也就是反比例函数的图象是双曲线。（2）与的图象都是轴对称图形，各有两条对称轴。它们都不会经过原点。活动2练习在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数与的图象。（可以利用与的图象之间的关系画出的图象。）进一步熟悉画反比例函数图象的一般步骤和需要注意的问题：（1）列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样可以简化运算，又便于描点，作出图象的对称；（2）列表，描点时，要尽可能多取一些数值，多描一些点，这样便于连线。在连线时，必须用光滑曲线连接各点，而又不能用折线等。在此活动中教师应重点关注：（1）能否掌握画反比例函数图象的步骤；（2）能否用光滑的曲线画出；（3）能否利用与的关系画出函数的图象。活动3观察函数和以及和的图象。（1）你能发现它们的共同特征以及不同点吗?（2）每个函数的图象分别位于那几个象限？（3）在每一个象限内，y随x的变化如何变化？学生分组针对上面3个问题结合画出的图象分类讨论，归纳总结反比例函数图象的特点和性质。教师参与到学生的讨论中去，积极引导。（1）观察和以及和的图象。函数的图象在哪些象限由什么因素来决定？通过观察讨论得出：的图象在哪些象限，由k来决定。当k0时反比例函数的图象位于第一、第三象限；当k0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x值的增大而减小；（3）当k0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x值的增大而减小；（3）当k0时_位于_；当k0时，在每一个象限内，y的值随x值的增大而_；当ka，那么b和b有怎样的大小关系？让学生先观察图象，然后结合反比例函数的性质完成此题。在此活动中，教师应重点关注：学生能否从图象的特点得到m5的符号；学生能否从图象的特点，结合函数的性质解决问题；学生能否独立思考问题。（三）巩固提高1教科书53页的练习。进一步熟悉由数得到形的特点，由形得到数的特点，渗透数形结合的思想。2补充：如下图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a，2a（a0），ACx轴，垂足为点C，且AOC的面积为2。（1）求该反比例函数的解析式。（2）若点（a，y1），（2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小。先由学生独立思考，寻找解题的途径。教师适当的引导，特别对于“学困生”。分析：通过RtAOC的面积可知xAxA=4又因为点A在双曲线上，所以xAxA=k，可求出函数的解析式，再根据反比例函数的性质，k0，y随x的增大而减小知，自变量x越大，函数值反而小，通过比较a与2a的大小可知y1与y2的大小。（四）小结谈谈你本节课有什么新的收获？掌握反比例函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式。（五）板书设计反比例函数的图象和性质（二）1反比例函数定义 图象 主要性质2 反比例函数的图象和性质的应用例3 例43练习，补充4小结反比例函数的意义 教学设计教学设计思路由对现实问题的讨论抽象出反比例函数的概念，通过对问题的解决进一步明确：1反比例函数的意义；2反比例函数的概念；3反比例函数的一般形式。教学目标知