广东省中山市高考数学 备考资料 立体几何专题研究.doc

中山2016年高考数学备考研究立体几何专题一、2015年全国卷考试大纲与说明2015年全国高考考试大纲与考试说明（文/理科数学）立体几何内容对比内容2015年全国高考考试大纲要求考试说明具体要求空间几何体认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式 文理相同（没有注明是否记忆公式）点线面位置关系公理1-4公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 理解4个判定定理.如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解4个性质定理，并能够证明.如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.文理相同提示点:性质 定理，能够证明.空间向量与立体几何（理科才有）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 解直线的方向向量与平面的法向量.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用.文科没有掌握: 1)数量积及其坐标表示2)判断向量的共线与垂直.3) 夹角的计算2015年广东高考数学考试大纲中，立体几何部分的要求与全国卷无差异，只有公式是否记忆新课标没有明确要求. 二、近五年全国卷立体几何考点统计20112015年全国新课标卷i（文科数学）立体几何考点分布统计表及题目年份客观题（选择与填空）解 答 题分值2011文科第8题【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.第12题【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球中截面的性质.第20题【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合.222012文科第7题【命题意图】三棱锥的三视图第8题【命题意图】球的性质第19题【命题意图】以直三棱柱为载体，证明直三棱柱中面面垂直及分割体积比. 222013文科第11题【命题意图】组合体的三视图体积计算第15题【命题意图】球中的截面性质. 第19题【命题意图】三棱柱中线线垂直与体积计算. 222014文第8题【命题意图】三棱柱的三视图第19题【命题意图】以三棱柱为载体，考察线线垂直与面面间距离. 172015文科第6题【命题意图】本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式第11题【命题意图】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的侧面积计算. 第18题【命题意图】线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力运算求解能力. 2220112015年全国新课标卷i（理科数学）立体几何考点分布统计表年份客观题（选择与填空）解 答 题分值2011理科第6题【命题意图】本题主要考三视图第15题【命题意图】本题主要考查球中棱锥第18题【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合.222012理科第7题【命题意图】三棱锥的三视图第8题【命题意图】球内接三棱锥的体积第19题【命题意图】以直三棱柱为载体，证明线线垂直与二面角计算. 222013理科第6题【命题意图】球与正方体的组合体积计算. 第8题【命题意图】组合体的三视图体积计算. 第18题【命题意图】三棱柱中线线垂直与线面角计算. 222014理科第12题【命题意图】三棱锥的三视图第19题【命题意图】以三棱柱为载体，证明线线垂直与二面角计算. 172015理科第6题【命题意图】本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式第11题【命题意图】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式. 第19题【命题意图】空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力. 22三、近五年广东卷理科卷立体几何考点统计与全国卷对比年份客观题（选择与填空）解 答 题分值2011广东理科第12题【命题意图】本题主要考三视图与棱柱体积计算第18题【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和二面角的计算，注重与平面几何的综合.192011课标理科第6题【命题意图】本题考三视图第15题【命题意图】本题主要考查球中棱锥第18题【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合.222012广东理科第6题【命题意图】本题主要考圆柱与圆锥的体积计算第18题【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和二面角计算192012课标理科第7题【命题意图】三棱锥的三视图第8题【命题意图】球内接三棱锥的体积第19题【命题意图】以直三棱柱为载体，证明线线垂直与二面角计算. 222013广东理科第5题【命题意图】本题主要考四棱台的三视图与体积计算第18题【命题意图】以等腰直角三角形翻折形成四棱锥为载体，考查线面垂直证明和二面角的计算，注重与平面几何的综合.192013课标理科第6题【命题意图】球与正方体的组合体积计算. 第8题【命题意图】组合体的三视图体积计算. 第18题【命题意图】三棱柱中线线垂直与线面角计算. 222014广东理科第7题【命题意图】命题判断第18题【命题意图】以组合图形为载体，证明线面垂直与二面角计算. 192014课标理科第12题【命题意图】三棱锥的三视图第19题【命题意图】以三棱柱为载体，证明线线垂直与二面角计算. 172015广东理科第8题【命题意图】本题主要考查空间的点第19题【命题意图】以面面垂直为载体，考察异面垂直，二面角以及线面角计算192015课标理科第6题【命题意图】本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式第11题【命题意图】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式. 第19题【命题意图】空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力. 22四、新课标卷i立体几何命题特点之剖析：教育部发言人徐梅在2015年3月接受采访时表示：高考使用全国卷，只是出题单位变了，包括考试大纲、考试难度等一律不变，至于高考的录取、分数线也不会因为出题单位变化而出现大的变化.因为招生计划是各省份确定的，分数线也是各省份来定的，不会影响录取率，所以我们努力要做到的是：概念清；原理透 ；方法热 ；思想通. 那么，全国课标卷i中对立体几何的考查有哪些特色呢？1. 题型结构稳定，分值难度稳定近五年全国课标卷i中对立体几何的考查，均是1-2个客观题和1个解答题，分值17-22分，其中，除了2014年17分，其余均为22分，而广东历年都是1个客观题和1个解答题，分值19分，说明全国卷和广东卷题型结构十分稳定. 从近五年的考点分布来看：以三视图为载体（新课标文理有10道题目涉及），考察各类几何体或组合体的表面积和体积；以球为载体（新课标文理有7道题目涉及），考察球中截面以及球中内接几何体和外接几何体；线线垂直、线面垂直、面面垂直都有考察，但平行证明考察少见；文科试卷解答题中体积计算考察频繁；距离计算只有1次，但理科卷中异面直线角1次；线面角3次；二面角3次，这些都符合考纲中：理解要求：四个判定定理和四个性质定理；掌握要求: 数量积及其坐标表示；判断向量的共线与垂直；夹角的计算. 2.立足能力考查，三视图是最大热点：立体几何的重点是考查空间想象能力，和推理论证能力，而三视图是考查空间想象能力的很好载体，课标卷加强三视图的考查且达到一定的深度，一是表明重视新增内容，二是体现能力立意.三视图易错点有三：一是由多面体的三视图不能够想象出空间几何体的形状，或不能够正确画出其直观图；二是不能根据三视图的形状及相关数据推断出（或错误推断出）原几何图形中的点、线、面间的位置关系及相关数据；此外，不记得或不能熟练掌握、应用常见空间几何体的表面积、体积公式也易造成错解.三视图的考察形式的变迁：i）简单图形辨识：2011理科第6题 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为（ ）ii）图形辨识及数据认知：2011理科第7题 如图，网格纸上小正方形的边长为， 粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） iii）增大难度图形辨识及数据认知2014理科第12题.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）. . .6 .4iv）文理相同的三视图题目：2013年理科第8题；文科第11题某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） a bc d3. 新课标卷i和广东卷有较大差异题目：命题判断从未出现，球中问题频繁考察在广东试卷中，2014年和2015年都出现了命题判断式的客观题，此类题目是过去立体几何高考题的常见形式，通常得分率也比较高，但新课标卷i从未出现，这说明新课标卷i更侧重于实际图形应用中的考察. 对于球中问题的考察，广东试卷2012年文科只出现了一次半球的三视图，但新课标卷i中出现频繁：i） 球中截面问题：如2011文科第12题：2012文科第8题相近；2013年文科第15题已知平面截一球面得圆，过圆心且与成二面角的平面截该球面得圆.若该球面的半径为4，圆的面积为4，则圆的面积为（ ） (a)7 (b)9 (c)11 (d)13ii）球中内接几何体：2011理科第15题：已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 . 2012理科第11题：已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ） iii）球与其他几何体的组合：2013理科第6题：如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) a.b. c. d. 2012文科第11题圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则( ) （a） （b）（c）（d）以上小题考查，推陈出新.将球与多面体糅合考查，试题更灵活，对考生的知识掌握、空间想象能力和推理论证能力的要求更高.这类题与广东卷的差异大，在2016年备考要加大力度训练. 4.新课标卷解答题的载体图形：2011年四棱锥如图，四棱锥p-abcd中，底面abcd为平行四边形，dab=60,ab=2ad,pd底面abcd.()证明：pabd；()若pd=ad，求二面角a-pb-c的余弦值. 2012年直四棱柱 直三棱柱中，是棱的中点，（1）证明：（2）求二面角的大小. 2013年倾倒型的三棱柱如图，三棱柱abc-a1b1c1中，ca=cb，ab=a a1，ba a1=60.（）证明aba1c;（）若平面abc平面aa1b1b，ab=cb=2，求直线a1c 与平面bb1c1c所成角的正弦值. 2014年倾倒型的三棱柱 如图三棱柱中，侧面为菱形，.() 证明：；（）若，ab=bc，求二面角的余弦值. 2015年三棱锥组合体理科（18）如图，四边形abcd为菱形，abc=120，e，f是平面abcd同一侧的两点，be平面abcd，df平面abcd，be=2df，aeec. （1）证明：平面aec平面afc （2）求直线ae与直线cf所成角的余弦值新课标卷的几何载体是比较常见的柱、锥，特别是“倾倒型几何体”为载体，而广东试卷纷繁变化，比如有圆锥，翻折等等，但不论是哪一种，都着重考查直线与平面的位置关系，以及角度、距离的计算（文科偏重面积、体积），难度属中等，理科重视了传统方法和向量方法的有机结合.相关计算的基础是建立空间直角坐标系，而建系的前提是推理与论证，所以立体几何的复习重点要放在：研究空间直线与平面的位置关系，培养学生空间想象能力和推理论证能力.算中有证，注重符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力. 5新课标与广东卷相同之处：文科偏重面积体积，理科偏重空间向量；证明偏重垂直，少见平行. 由于文科的立体几何只有必修二中的内容，没有后面空间向量的内容，所以第一问多以证明平行和垂直为主，特别是证明垂直：如2011年第一问证明线面垂直；2012年第一问证明面面垂直；2013年第一问证明异面直线垂直，2014年第一问证明异面直线垂直，2015年第一问证明面面垂直；文科突出考查直观感知和简单的推理论证，增大难度的垂直证明，多会用到勾股定理，也体现了平面几何的应用；第二问基本上是计算几何体的表面积或体积等，如2012年计算体积比；2013年计算体积；2014年求三棱柱的高，2015年求表面积，少有涉及线面角和二面角. 理科的解答题，经常可以利用空间向量，将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代数化等等，突出空间想象能力，侧重于考查点线面的位置关系及空间距离和空间角，空间线面位置关系定量考查，算中有证.注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力，用向量法来解可以降低难度，并且多数情况下传统法、向量法都可以解题. 五、立体几何备考指南(一)在立体几何备考中体现核心观念，加强能力培养. 新课标中，有十大核心观念，其中和立体几何相关的有：符号意识、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析观念、运算能力；高考考试大纲的要求：强调能力立意，突出问题解决. “以能力立意命题”是数学的学科特点和考试目标所决定的而高考数学科考试的重点是考查运用知识分析问题和解决问题的能力，不仅考查考生数学知识的积累是否达到进入高等学校学习的基本水平，而且要以数学知识为载体，测量考生将知识迁移到不同情境的能力，从而检测考生已有的和潜在的学习能力重视数学思维能力，突出数学思想应用课标中对能力要求. 能力就立体几何而言，是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力. 能力一、空间想象能力要求学生能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；空间想象能力主要表现为识图、画图和对图形的想象能力. 对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志. 如2011年文科(12)已知平面截一球面得圆，过圆心且与成二面角的平面截该球面得圆.若该球面的半径为4，圆的面积为4，则圆的面积为（ ）就属于无图想图，这也是为什么把此题放在选择题第12题. 如2014年理科第12题.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）就属于有难度的有三视图推演直观图,也被放在了选择题第12题.能力二、抽象概括能力是对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或做出新的判断 如2015年文理科第6题:九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）.此题因其数学文化背景而备受好评.能力三、推理论证能力：由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程这是解答题的核心考察. 如2013年理科18.如图，三棱柱abc-a1b1c1中，ca=cb，ab=a a1，ba a1=60.（）证明aba1c;（）若平面abc平面aa1b1b，ab=cb=2，求直线a1c 与平面bb1c1c所成角的正弦值. 18（）取ab中点e，连结ce， ab=，=，是正三角形，ab， ca=cb， ceab， =e，ab面， ab； 6分点评：对等腰三角形和60的菱形的平面几何性质推演是解决第一问的关键. （）由（）知ecab，ab，又面abc面，面abc面=ab，ec面，ec，ea，ec，两两相互垂直，以e为坐标原点，的方向为轴正方向，|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，有题设知a(1,0,0),(0,0),c(0,0,),b(1,0,0),则=（1,0，）,=(1,0,),=(0,), 9分设=是平面的法向量，则，即，可取=（，1，-1），=，直线a1c 与平面bb1c1c所成角的正弦值为. 12分能力四：运算求解能力运算求解能力在立体几何中，体现在对几何图形各几何量的计算求解，包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力，特别有一项是法向量计算. 如：2015年理科（18）如图，四边形abcd为菱形，abc=120，e，f是平面abcd同一侧的两点，be平面abcd，df平面abcd，be=2dfaeec. （1）证明：平面aec平面afc 连接bd，设bd交ac与g，此题关键是不妨设gb=1，推得ag=gc=，然后推得eg=,fg=,ef= 因此推得，egfg，又acfg=g，eg平面afc，eg面aec，平面afc平面aec 此题，对数据的观察处理能力要求很高. (二)、加强立体几何的经典题型的研讨，并通过对典型试题的“横、纵延伸”来实现解题增值功能. “横向延伸”一般指：“一题多解”、“多解归一”；“纵向延伸”一般