第8章静电场.doc

电磁学概述大量实验事实证明，物件间相互作用不是超距发生的，而是由场传递的。电磁力就是由电磁场传递的。正是场与实物间的相互作用，才导致了实物间的相互作用。电磁学研究物质间电磁相互作用，研究电磁场的产生、变化和运动的规律。一、 关于电磁现象的观察记录：公元前约585年希腊学者泰勒斯观察到用布摩擦过的琥珀能吸引轻微物体。“电”(electricity)这个词就是来源于希腊文琥珀。我国，战国时期韩非子中有关“司南” 的记载;吕氏春秋中有关“慈石召铁”的记载东汉时期王充所著论衡一书记有“顿牟缀芥，磁石引针”字句二、 电和磁现象的系统研究：英国的威廉吉尔伯特在1600年出版的论磁、磁体和地球作为一个巨大的磁体一书中描述了对电现象所做的研究，把琥珀、金刚石、蓝宝石、硫磺、树脂等物质摩擦后会吸引轻小物体的作用称为“电性”，也正是他创造了“电”这个词。吉尔伯特第一次明确区分了以前常被人混在一起的电和磁这两种吸引。他指出这两种吸引之间有深刻的差异。三、 电磁现象的定量研究：从1785年库仑定律的建立开始，其后通过泊松、高斯等人的研究形成了静电场（以及静磁场）的（超距作用）理论。伽伐尼于1786年发现了电流，后经伏特、欧姆、法拉第等人发现了关于电流的定律。1820年奥斯特发现了电流的磁效应，一两年内，毕奥、萨伐尔、安培、拉普拉斯等作了进一步定量的研究。1831年法拉第发现了有名的电磁感应现象，并提出了场和力线的概念，进一步揭示了电与磁的联系。在这样的基础上，麦克斯韦集前人之大成，再加上他极富创见的关于感应电场和位移电流的假说，建立了以一套方程组为基础的完整的宏观的电磁场理论。四、电磁学内容按性质来分，主要包括“场”和“路”两部分。大学物理偏重于从“场”的观点来进行阐述。“场”不同于实物物质，它具有空间分布，但同样具有质量、能量和动量，对矢量场（包括静电场和磁场）的描述通常用到“通量”和“环流”两个概念及相应的通量定理和环路定理。第八章 真空中的静电场静电场 相对于观察者静止的电荷所激发的电场。第一节 电荷 库仑定律一、电荷： 1、带电：用摩擦或其它方法可使物体带电。 2、电荷的概念：把带电体所带的电称为电荷。 3、正电荷和负电荷：电荷有两种：正电、负电。1750年，美国物理学家 富兰克林（B.FrankLin)首先命名。同性电荷相斥，异性电荷相吸。带电体所带电荷的多少叫电量。单位：库仑（C）。 4、 物质的电结构理论物质由原子组成，原子由原子核和核外电子组成，原子核又由中子和质子组成。中子不带电，质子带正电，电子带负电。质子数和中子数相等，原子呈电中性。电荷是实物粒子的一种属性，它描述了实物粒子的电性质。物体带电的本质是两种物体间发生了电子的转移。即一物体失去电子带正电，另一物体得到电子带负电。二、电荷的量子性1、 实验证明，在自然界中，电荷总是以一个基本单元的整数倍出现，即 n为1，2，3，2、电荷的这种只能取分立的、不连续量值的特性叫做电荷的量子性。3、电荷的基本单元就是一个电子所带电量的绝对值e=1.60210-19C。1890年斯通尼引入了“电子”(electron)这一名称来表示带有负的基元电荷的粒子。1913年密立根设计了有名的油滴试验，直接测定了此基元电荷的量值。许多基本粒子都带有正的或负的基元电荷。微观粒子所带的基元电荷数常叫做它们各自的电荷数，都是正整数或负整数。近代物理从理论上预言基本粒子由若干种夸克或反夸克组成，每一个夸克或反夸克带有或的电量。至今尚未从实验中直接发现单独存在的夸克或反夸克，仅在一些间接的实验中得到验证。三、电荷守恒定律由摩擦生电的实验可见，当一种电荷出现时，必然有相等量值的异号电荷同时出现；一种电荷消失时，必然有相等量值的异号电荷同时消失。因此，在孤立系统中，不管其中的电荷如何迁移，系统的电荷的代数和保持不变电荷守恒定律。现代物理研究已表明，在粒子的相互作用过程中，电荷是可以产生和消失的。然而电荷守恒并未因此而遭到破坏。例如，电子对的“产生” 电子对的“湮灭” 四、 电荷的运动不变性：一个电荷的电量与它的运动状态无关，即系统所带电荷与参考系的选取无关。五、 库仑定律 1、点电荷的概念：当一个带电体本身的线度比所研究的问题中所涉及的距离小得多时，该带电体的形状与电荷在其上的分布状况均无关紧要，该带电体就可看作为一个带电的点，叫做点电荷。 2、库仑定律；（1）文字表述：在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力，其大小与它们电荷的乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比；作用力的方向沿着两点电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。（2）表达式：或其中称为真空电容率（真空介电常量）。说明：（1）在库仑定律表示式中引入真空电容率和“4”因子的作法，称为单位制的有理化。（2）从式子可见，当和同号时，即表现为排斥力；当和异号时，即表现为吸引力。静止电荷间的电作用力，又称为库仑力。（3）两静止点电荷之间的库仑力遵守牛顿第三定律。（4）两个以上的静止的点电荷之间的作用力遵循电力的叠加原理：即两个以上的点电荷对一个点电荷的作用力等于各个点电荷单独存在时对该点电荷的作用力的矢量和。（5）库仑定律是直接由实验总结出来的规律，它是静电场理论的基础，以它为基础将导出其他重要的电场方程。（6）库仑定律为实验定律，r 从广大范围内正确有效，且服从力的矢量合成法则。P9例题8-1和P10例8-2、8-3请自学。第二节 电场 电场强度引言：场的基本概念: 按字义理解，所谓“场”是指某种物理量在空间的一种分布。例如 温度场， 速度场 而温度和速度就称为相应的场量。标量场 矢量场 均匀场 静场 稳恒场在物理学中，“场”是指物质的一种特殊形态。实物和场是物质的两种存在形态，它们具有不同的性质、特征和不同的运动规律。场的物质性表现在场是一种客观实在，不依赖人们的意识而存在着，为人们的意识所反映，而且与实物一样，场也有质量、能量、动量和角动量。实物是由原子分子组成的，一种实物占据的空间，不能同时被其他实物所占据，而场是一种弥漫在空间的特殊物质，它遵从叠加性，即一种场占据的空间，能为其他场同时占有，互不发生影响。实物之间的各种相互作用总是通过各种场来传递的。标量场的场量在空间各点只有大小，没有方向。为描述场的整体分布的特征，通常采用等值面和等值线的方法。常常引入标量场的梯度。矢量场的场量在空间不同点上既可能有不同的量值也可能有不同的方向。为了描述矢量场的性质，总是通过它的场线、通量和环流来进行研究的。一、静电场1. 超距作用和近距作用（场的观点）2. 场论观点（法拉第）没有物质，物体之间的相互作用是不可能发生的。根据场论观点：（1）特殊媒介物质电场（2）电场力3. 静电场相对于观察者静止的电荷周围所存在的场称为静电场（该电荷称为场源电荷）。（1）静电场仅是电磁场的一种特殊形态。（2）电磁场与实物物质一样具有质量、能量、动量等。（3）电磁场一经产生就能单独存在，即使产生它的电荷已消失。（4）电磁场可同时在空间叠加。（5）场和实物虽然都是物质，但又有区别。是物质存在的两种不同形式。（6）近代观点：两个点电荷是通过交换场量子而相互作用的，电磁场的场量子就是光子。4. 静电场的重要表现 引入电场的任何带电体都将受到电场的作用力；当带电体在电场中移动时，电场力将对带电体作功。二、电场强度:1. 如何描述电场对电荷的作用？试探电荷：是点电荷；所带电量足够小，以致在电场中不会影响原有的电场的分布。2. 实验事实:（1）在场中不同点，受力的大小、方向均不同；（2）不同在场中确定点其受力的方向确定，大小与成正比；（3）比值/与无关，仅由电场本身的性质决定。3. 定义电场强度（简称场强） 即电场强度定义为：电场中某点的电场强度在量值上等于放在该点的单位正试验电荷所受的电场力，其方向与正试验电荷受力方向一致。4. 说明:（1）单位：（2）是空间坐标的一个矢量点函数，其方向与正试验电荷所受力的方向相同。（3）在已知电场强度分布的电场中，电荷在场中某点处所受的力为。三、场强的计算： 1、点电荷电场强度：根据库仑定律，有或 从上式可得出结论：当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。在以为原点，r为半径所作的球面上，各处的大小相等，方向沿径矢，具有球对称性。即真空中点电荷的电场是非均匀场，但具有对称性。 2、场强叠加原理和点电荷系的场强： 场强叠加原理设场源由n 个点电荷q1、q2、qn组成，作用在场中某点P 处试验电荷q0上的力为各点电荷所产生的力、的矢量和。相应的合场强为：即点电荷系在某点产生的场强，等于每一个点电荷单独存在时在该点分别产生的场强的矢量和，这就是场强叠加原理。例8-4和8-5（P16至17）3、连续分布电荷电场的场强任何带电体都可以看成是许多电荷元的集合，在电场中任一场点P处，每一电荷元在P点产生的场强为：整个带电体在P点的场强为：实际带电体的电荷连续分布的具体形式大致有三种：A、体分布： 场强B、面分布： 场强C、线分布： 场强4、电偶极子的电场强度（1） 几个概念：A、两个电荷相等、符号相反、相距为的点电荷和，若场点P到这两个点电荷的距离比大得多时，这两个点电荷构成的电荷系称为电偶极子。B、从指向的矢量称为电偶极子的轴。C、电偶极矩：（2）电偶极子的电场强度A、电偶极子轴线延长线上一点的电场强度B、电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度四、计算电荷连续分布带电体的场强分布例子 例题8-6（书P22）例8-7：p24（均匀带电圆环轴线上一点的场强）试计算均匀带电圆环轴线上任一给定点P处的场强，设圆环半径为R，圆环所带电量为q，P点与环心的距离为x。解：建立如图坐标系，取电荷元dq为dq在P点产生的场强大小为：各dq在P点产生的场强大小相等，方向各异，如图所示。 由对称性可知：所以有：讨论：（1）当xR时，即远离环心处一点的场强，相当于电荷集中于环心的点电荷在该处产生的场。 （2）当x=0时，E0=0，即环心处场强为零。 例8-8：p25（均匀带电薄圆盘的电场）设有一均匀带电薄圆盘，半径为R，单位面积所带电量为 ，试计算圆盘轴线上场强的分布。解：建立如图坐标系，在轴上任取一点P。将圆盘分成许多半径连续变化的同心带电细圆环，求它们在P点产生的场强的矢量和。任取半径为、宽度为d的细圆环，其电荷元为：dq 在P点产生的场强的大小为：各细环在P点的场强的方向相同均沿轴线，所以合场强为：讨论： 如果将两块无限大平板平行放置，板间距离远小于板面线度，当两板带等量异号电荷，面密度为时，两板内侧场强为：两板外侧场强为：（2）（3）均匀带电薄圆环的轴线上任一点的场强分布。或无限大均匀带电平板的中间有一圆孔的情况。五、电场线：为形象地描述电场法拉第(M.Faraday)首先引入电力线这一工具。 1. 定义 电场中描述电场强度大小和方向的曲线簇。规定：（1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向；（2）曲线的疏密表示该点场强的大小，即该点附近垂直于电场方向的单位面积所通过的电力线条数满足。2. 特点（1）电场线总是始于正电荷，终止于负电荷，在真空中和无电荷处不中断。（2）不形成闭合曲线；（3）任何两条电场线都不能相交。（4）电力线密集处电场强，电力线稀疏处电场弱。3. 电力线图例 布置作业课本71页第5题、 72页第10题第三节 高斯定理一、电场强度通量（电通量）通过电场中某一个面的电场线总数叫做通过这个面的电场强度通量。用表示。1. 匀强电场中的电通量（1）平面S与方向垂直：。（2）平面S与方向不垂直，夹角为：。即：2. 非匀强电场的电通量（1）某一小面积元dS的电通量：（2）任意曲面的电通量：把S分成无限多个面积元dS，通过曲面S的电通量为：（3）闭合曲面的电通量：曲面积分为闭合曲面的积分，3. 注意（1）电通量是标量，只有正、负，为代数叠加。（2）电通量正、负值的说明由可知，电通量的正、负是由面元的法线正和电场强度矢量的夹角决定。对闭合曲面规定自内向外的方向为面元的法线正方向。如果电场线从闭合曲面之内向外穿出，电通量为正；如果电场线从外部穿入闭合曲面，电通量为负。对不闭合曲面，电通量的正负根据所设的面元法线正方向而定；（2） 电通量的单位（SI）：韦伯（Wb）二、高斯定理高斯（K.F.Gauss，17771855）德国数学家、天文学家和物理学家。1. 真空中的高斯定理我们从最简单的情况出发导出这个定理：（1）如下图所示，若真空中有一正点电荷q，我们以所在的点为球心，取任意长R为半径，作一球面S包围这点电荷。则通过整个球面的电通量为：即：由点电荷发出的通过任一闭合球面的电通量与球面的半径无关。只与它所包围的电荷的电量有关，均为。（2）现在设想另一任意的闭合曲面，与球面S包围同一个点电荷q，由于电场线的连续性，可以得出通过闭合面S和的电场线数目是一样的，仍有：。（3）将正电荷+q换成负电电荷-q，则有：。（4）如果闭合曲面S不包含电荷，则：。（5）含有任意电荷系时的闭合曲面的电通量由于任意电荷系均可看成是点电荷的集合，每一点电荷通过该曲面的电通量、，而且因此： 至此我们得到真空中的高斯定理：在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以。电荷连续分布：2. 高斯定理的理解：（1）闭合曲面上各点的场强是闭合面内、外全部电荷共同产生的合场强，而非仅由闭合面内电荷所产生。（2）高斯定理表明通过闭合曲面的电通量与闭合曲面所包围的电荷之间的量值关系，而非闭合曲面上的电场强度与闭合面包围的电荷之间的关系。（3）过闭合曲面的总电通量只由它所包围的电荷所决定。闭合面外的电荷对总通量无贡献。（4）若闭合曲面内存在正（负）电荷，则通过闭合曲面的电通量为正（负），表明有电场线从面内（面外）穿出（穿入）；若闭合曲面内没有电荷，则通过闭合曲面的电通量为零，意味着有多少电场线穿入就有多少电场线穿出，说明在没有电荷的区域内电场线不会中断；若闭合曲面内电荷的代数和为零，则有多少电场线进入面内终止于负电荷，就会有相同数目的电场线从正电荷发出穿出面外。可见，高斯定理说明正电荷是发出电场线的源头，负电荷是电场线终止会聚的归宿，表明了静电场是有源场，这是静电场的基本性质之一。（5）高斯定理与库仑定律并不是互相独立的规律，而是用不同形式表示的电场与源电荷关系的同一客观规律：库仑定律把场强和电荷直接联系起来，而高斯定理将场强的通量和某一区域内的电荷联系在一起。而且高斯定理的应用范围比库仑定律更广泛：库仑定律只适用于静电场，而高斯定理不仅适用于静电场，也适用于变化的电场。高斯定理是电磁场理论的基本理论之一。四、高斯定理应用举例利用高斯定理，可简洁地求得具有对称性的带电体场源（如球型、圆柱形、无限长和无限大平板型等）的空间场强分布。计算的关键在于选取合适的闭合曲面高斯面。1、例题：例题8-9（书P38）：已知半径为 R，带电量为 q 的均匀带电球面，求空间场强分布。解：由对称性分析知，的分布为球对称，即离开球心距离为 r 处各点的场强大小相等，方向沿各自的矢径方向。以O 为球心，过P 点作半径为r 的闭合球面S（高斯面），各点处面积元的法线方向与该点处的方向相同，所以由高斯定理：，因此得到：同理作高斯面S 有：即讨论（1）当 q0时，的方向沿矢径向外，当 q0 时，的方向沿矢径由外指向球心O。（2）Er 曲线。（3）内部场强处处为零；外部场强分布与将球面上电荷集中于球心的点电荷场强分布相同；场强分布在球面处不连续，产生突变。（4） 半径为R，均匀带电球体的场强分布（P39）。则高斯面内所包含的电荷量：。电荷体密度，所以；由高斯定理得：即或。E-R图见上图。例题8-11（书P41）：求无限长均匀带电直线的空间电场分布。已知直线上线电荷密度为。解：由对称性分析，分布为轴对称性，即与带电直线距离相等的同轴圆柱面上各点场强大小相等，方向均沿径向。作过P点以带电直线为轴，半径为 r，高为 h 的圆柱形高斯面 S ，通过 S 的电通量为高斯面S内所包围的电荷为，由高斯定理得：所以得：。 讨论：（1）当0时，的方向沿矢径向外；当0时，的方向沿矢径指向带电直线。（2）Er 曲线。（3）半径为R 的无限长均匀带电圆柱面，沿轴线方向线电荷密度为，其场强分布为例题8-10（书P40）：求均匀带电无限大薄平板的空间场强分布，设电荷密度为。解：无限大均匀带电薄平板可看成无限多根无限长均匀带电直线排列而成，由对称性分析，平板两侧离该板等距离处场强大小相等，方向均垂直平板。其一轴垂直带电平面，高为 2 r 的圆柱面为高斯面，通过它的电通量为： S 内包围的电荷为：由高斯定理： 所以得 当0，的方向垂直平板离开平板；当0时，V0, 随r的增加而减少；q0时，V0, 随r的增加而增加。5、电势的叠加原理 （1）点电荷系电场的电势： 表明，点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该点的电势的代数和。（2） 连续分布电荷电场的电势：电荷连续分布的带电体可看作由无限多个电荷元组成，每一个电荷元在电场中场点建立的电势为：，则该点的电势为这些电荷元电势的叠加，即 布置作业课本P74第25题，P75第27题。五、电势的计算方法和例子 已知场源（电荷）分布，求空间的电势分布。方法有二种： 1. 电势定义法（电场强度线积分法） 2. 叠加法 （1）点电荷组： （2）电荷连续分布：，其中，。 3. 例题 （1）电势叠加法 例题1：电荷q均匀分布在半径为 R 的细圆环上，求圆环轴线上距环心x处的点P的电势。 解：在圆环上取任意电荷元，其中。所以圆环在 P 点的电势为： 讨论： 当x = 0 时，可见场强为零处，电势不一定为零。 当 xR 时，相当于点 电荷电势。 电势叠加比电场叠加方便。 Vx 图。 由本题结果，很容易求出半径为R，均匀带电为 q 的薄圆盘轴线上任一点的电势。 圆盘可看成由许多细圆环所组成，在距盘心为 r 处取细圆环，电荷元为：其中。该细圆环在 P 点的电势为：所以带电薄圆盘在 P 点激发的电势为： 讨论： 当 xR 时，因此：相当于点电荷的电势。 （2）电场强度线积分法 例题2（课本P50例8-13）：求均匀带电球壳电场中任一点 P 处的电势。设球壳半径为 R，总带电量为 q。 解：由高斯定理求得均匀带电球面的场强分布为：选择无穷远处为电势零点V=0。由电势定义，沿径向积分，得： 时，与点电荷电势相同。 时， 球面内各点电势相等，均等于球面上各点电势。 V-r曲线如图，可见在r=R的球壳处，电势是连续的，而前面我们知道，带电球壳在r=R处的场强是跃变的。其次，我们发现可见场强为零处，电势不一定为零。 例题8-14（课本P52）求无限长均匀带电直导线外任一点 P 处的电势，已知线电荷密度为。 解：取场中任一点b（距导线为r0）为电势零点，即：则任一点P的电势为：。 由高斯定理，得无限长均匀带电直导线外任一点场强为：，则P点的电势为： 显然：当选择r0=1m时，P点电势有最简单的形式，且讨论： 电势零点不同，电势表式不同； 任意两点的电势之差与电势零点选择无关； 选择电势零点的原则是使电势表式取最简单形式。 4. 使用线积分法的注意事项（小结） 电荷分布在有限空间里，才能选； 积分路径可任意选取，要求使与之间或垂直或平行或夹角恒定，并且该路径上的函数表达式应已知； 如果积分路径上场强表达式各段不同，积分应分段进行，在某一区域积分，就必须用该区域的场强表达式。 步骤：如图例题8-12（P49）第五节 等势面 电场强度与电势梯度的关系一、等势面 1. 概念在电场中电势相等的点所连成的曲面称为等势面。并规定，相邻等势面之间电势差相等。等势面用来形象表示电场中电势的分布。等势面密的地方场强大，等势面稀疏的地方场强小。例（见图1）：（1）点电荷电场；（2）均匀电场；（3）等量异号电荷电场。（1） （2） （3）图1 几种电场的电力线和等势面2. 等势面与电力线的关系：（1）等势面与电力线处处正交。证明：将试验电荷q0沿着等势面移动位移，电场力作功为：因为，必须，所以电场强度矢量（电力线）和等势面正交。（2）电力线方向，指向电势降落方向。（3）等势面与电力线密集处场强量值大，稀疏处场强量值小。二、电场强度与电势梯度的关系 1. 电势梯度设电场中有非常靠近的两等势面V 和V+dV（dV0）。P1和P2分别为两等势面上的一点。从P1作等势面V的法线，规定其指向电势增加方向，交等势面V+dV于P3点，场强背离方向。从P1向P2引一位移矢量，根据电势差的定义，并考虑到两个等势面非常接近，因此：，则有：即：令为场强在方向上的投影，则有：电场中某点的场强沿任意方向的投影等于沿该方向电势函数的空间变化率（电势函数的方向导数）的负值。两个特殊方向：（1）当时，沿方向，与方向相反，有最大值，则该点电场强度的大小为：（2）当时，沿方向，与方向相垂直，有最小值，则该点电场强度的大小零，即：定义电势梯度(gradient)矢量：电势梯度的大小等于电势在该点的最大空间变化率；方向沿等势面法向，指向电势增加的方向。2. 电场强度与电势的关系综上所述，我们有：电场中任一点的场强，等于该点电势沿等势面法线方向的方向导数的负值，即的大小等于该点电势沿等势面法线方向的方向导数，的方向与法线方向相反。在直角坐标系，有： 3. 几点讨论（1）V比计算方便，因此对于给定电荷分布的系统，我们可以先求出V；然后在利用求出；（2）取决于V的空间变化率，与V本身的值无关；(3) 的另一单位（SI）：（4）若 gradV=0, 则，但V不一定为零。例题8-16（课本P60） 用电场强度和电势的关系，求均匀带电圆环轴线上一点的电场强度。解：由前面例子我们已经求得轴线上一点P的电势为：，由：可得：均匀带电圆环轴线上一点的电场强度为：和前面直接积分法的结果相同。例题8-15（课本P59） 求电偶极子电场中任意一点的电势和电场强度。解：如图所示，+q和-q 在A点的电势分别为：由电势