充分统计量.doc

6.4 充分统计量我们先分析一下上节中导出的罗克拉美不等式中等号成立的充要条件（6.26）。=K（-） 其中K不依赖于，而可能依赖于。对这等式两端求对的积分，=（，）或者 logL=log=( x，x， ，x) （6.43）这里y=u(x，x， ，x)。由此得出，似然函数L（x，x， ，x）有形状 L=eh（x，x， ，x） （6.44）这里h（x，x， ，x）=不依赖于，A()和B()只是的函数，所以使罗克拉美不等式中等号成立的条件有下列两个： （1）似然函数L能分解成两个因子，即L（;x,x）=g(y;)h（x，x， ，x） （6.45）其中第一个因子只依赖于y和,第二个因子在y值已知时不依赖于；（2）第一个因子有指数型分布g(y;)= （6.46）满足条件(1)的统计量称为参数的充分统计量。满足条件(2)的的分布为指数型分布。反过来，如果一个无偏估计是充分的，且其分布为指数型，那么这个就是一个有效估计。下面我们将分别研究充分统计量和指数型分布。在引入充分统计量的概念以前，我们先说明了的直观含义。我们知道统计量是子样的函数，它把子样中所含的有关所研究问题的信息集中起来作为我们进行统计推断的依据。由于统计量有很多，那么怎样的统计量是最佳的呢？直观的想法是，一方面要尽可能地简单，另一方面又要能提供子样所含的“全部信息”。怎样理解“全部信息”呢？在数理统计学中，子样，给我们提供了母体的信息。如果母体的概率函数依赖于参数，子样当然也包含的信息，但是依赖于子样的统计量却不一定包含的全部信息。例如在一般情形下，子样的联合概率函数（即似然函数）能分解成L（;x,x）=g(y;)h（x，x， ，x）h（x,x,x;）是条件=y下的条件概率函数，它一般是依赖于的函数。如果未知，h（x,x,x;）也就不可能知道，这时统计量并没有反映子样所含有的“全部信息”，只有在不依赖于时，统计量才反映了子样的“全部信息”。正因为这一点，费歇命名这种反映“全部信息”的统计量为充分统计量。例6.15（略）从上面（6.44）式和例6.15看到，为的一个充分统计量，子样的联合概率函数L应该分解成两个因子，一个因子与的概率函数有关，它可以依赖于未知参数，而另一个因子应该是条件下子样，的条件概率函数，它与无关。由此我们引出充分统计量的定义。定义6.7 设，是取自具有概率函数，的母体的一个容量为n的子样。设=u(，)是一个统计量，有概率函数。若 =h(x,x) （6.47）成立，且每当y=u(x， ，x)取一固定值时，=y发生条件下的条件概率函数h（x,x,x）不依赖于，则称为的一个充分估计量。 例6.16 设母体有密度函数和是取自这个母体的子样的次序统计量。 由第五章定理5.5系2知最小次序统计量的密度函数为=于是 ,（1in） （6.48）由于对一切i,i=1,2, ，n，xy=minx,所以当y=minx取固定值时，（6.48）右端的式子不依赖于，且x的值域xy也不依赖于。从而证明了=是的充分统计量。例6.17（略）定理6.2 设，是取自具有概率函数，的母体的一个子样，则统计量=u(，)一是个充分统计量的充要条件是存在两个非负函数K和K，使得等式 = K u( x ，x); K( x ，x) （6.48）成立，并且当y=u(x， ，x)取一定值时，函数K( x ，x)不依赖于。（证明略）例6.18（略）例6.19（略） 我们知道达到罗克拉美不等式下界的统计量的分布有指数形状。下面我们来研究形式略为普遍一点的的指数分布族。这种分布族包括正态分布族，二分布族，单参数分布族等许多常见的重要分布族，而且以后还会见到它们所含的参数具有充分统计量，因此在许多近代数理统计理论中起着重要作用。在这里我们只介绍单参数情形。 一个分布族，=，其中r和是常数，称做单参数指数族分布，如果存在定义在上的实值函数c()、d()和定义在空间axb上的实值函数T(x)、S(x)使得 （6.52）这里为概率函数。 注意：这里T(x)和S(x)可以不唯一，但要强调的是a和b不能依赖于参数。例6.20（略）例6.21（略）定理6.3 设随机变量具有单参数指数族分布(6.52)。，为取自母体的一个子样，则统计量是参数充分统计量。