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13.4课题学习-线段和最小问题 杨璧华教学目标1进一步理解轴对称变换，并能用轴对称变换解决实际问题中的路径最短问题.2体会轴对称变换在解决问题中的作用，学会将实际问题转化为数学问题的方法，提高应用数学的意识.3体验探究的快乐、激发学习数学的兴趣.教学重点轴对称变换的应用.教学难点如何通过轴对称变换进行转化.教学方式自主探究与启发引导相结合.教学手段多媒体辅助教学.教学环节教学内容师生活动设计意图（一）问题引入一、提出问题问题1 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向燃气管道两侧A，B两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?分析：1) 实际问题转换成数学几何问题2) 问题转换：在l上找一点C使得PA+PB的和最短3) 观察动态图形寻找解决方案4) 确定解决方案：连接AB交l于点P5) 理论依据：两点间线段最短或三角形中两边之和大于而第三边教师ppt展示实际问题，引导学生将实际问题转化为数学问题。设置辅助问题1为问题2的解决作铺垫.（二）问题探究（二）问题探究问题2 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向管道同侧A，B两城镇供气.泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?引导探究问题2探究中学生可能遇到如下问题：实际问题数学化；对“线段和最小”的理解；如何想到用轴对称变换求解问题.实际问题数学化 如图，已知点A、B在直线l的同侧.在l上找点P，使PA+PB最小.对“线段和最小”的理解辅助问题：（问题1）如图，已知点A、B在直线l的异侧，在l上找点P，使PA+PB最小.关键：两条线段和转化成一条线段在直线l上任取两点P1、P2，通过度量，比较AP1+BP1与AP2+BP2的大小. 求解问题2解：作点B关于直线l的对称点B1，连接AB1，AB1与直线l交于P，点P即为所求.理由：如图，由轴对称性质BP=B1P，所以AP+BP=AP+B1P，当A、P、B1三点共线时AB1最短，所以P点为所求. 数学思考（1）推理证明的落实如果P1是异于点P的一点，你能证明AP1+BP1 AP+BP吗？ 证明：连接B1P1. 由轴对称性质，BP1=B1P1，BP=B1P.所以 AP1+BP1=AP1+ B1P1， AP+BP=AP+ B1P =AB1，在AP1B1中，AP1+B1P1AB1，即 AP1+BP1 AP+BP.（2）对解法的反思轴对称变换在解决问题中所起的作用是什么呢？“实现了线段长度的等量转化，将直线同侧两定点问题转化为直线异侧两定点问题. ”学生阅读思考、尝试独立求解.学生能将管道画成直线，城镇画成点，教师给予肯定的同时，引导学生结合图形用符号语言表述问题. 由学生独立思考和小组讨论相结合的方式呈现学生用已有知识对“线段和最小”理解并画图展示。然后逐一比较。教师再利用几何画板对点P进行验证.学生思考，讨论交流.教师引导学生利用轴对称变换性质和三角形三边关系完成证明.学生陈述解法并说明理由，同时教师强调也可以通过作点A关于直线对称点来求解.学生已有一些解决实际问题的经验，放手让学生做，培养他们的探究意识和能力.使学生明确将实际问题数学化是解决实际问题的第一步，同时注意规范表述.使学生透彻理解“线段和最小”的含义.帮助学生体会轴对称变换在解决问题中的转化作用.（三）问题变式问题3 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后牵马回到帐篷，请你帮他确定这一天所走的最短路线.1. 实际问题数学化如图，已知MON内有两定点A、B，分别在OM和ON上各点C、D，使AC+CD+BD最小. 2. 问题的求解解：作点A关于OM的对称点A1，作点B关于ON的对称点B1，连接A1B1， A1B1与OM、ON分别交于点C、D，则此时AC+CD+BD最小.学生利用实物投影展示自己的成果，教师适时点评.对于学生可能出现的问题，教师引导学生讨论、剖析错误. 学生思考后作答，教师再归纳提升.问题3一方面作为问题2解题方法的巩固,同时又为问题4的解决作铺垫.帮助学生再次体会轴对称变换在解决问题中的转化作用.（四）课后拓展应用问题4 如图，若马厩和帐篷为一点P，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河边饮马，然后牵马回到帐篷，请你帮他确定这一天所走的最短路线. 1. 实际问题数学化 如图，P为MON内一定点，分别在OM与ON上找点A、B，使PA+AB+PB最小.2. 问题求解解：作点P关于OM、ON的对称点P1、P2，连接P1P2 ， P1P2与OM、ON分别交于A、B，点A、B即为所求.3. 对解法的反思在解决问题过程中，轴对称变换起到了什么作用？ “利用轴对称变换实现了线段长度的等量转化. ”学生读题，尝试独立求解.教师巡视指导.学生在画图找点过程中遇到困难时，教师引导学生分析问题、理解由轴对称性质可转化为P1A1+ A1B1+P2B1，从而使问题求解.问题4更为复杂，对学生更具挑战性，有利于发展学生迁移的能力.使学生在收获成功喜悦的同时，对轴对称的画图上升到理性认识的 层面.（五）小结反思1. 引导学生小结、反思 （1）怎样将实际问题转化为数学问题?（2）轴对称变换所起的作用是什么?2. 教师归纳、提升（1）通常解决实际问题的方式（2）利用轴对称变换将不共线的多条路径转化到一条直线上，从而解决最短路径问题. 体现数学化归的思想。在学生反思、回答问题的基础上，教师再归纳提升. 使学生体会轴对称变换实际应用的实质，发展学生应用数学的意识.（六）分层探究作业A层 在旷野上，一个人骑马从A到B，半路上他必须让马在河边饮水一次（如图所示）. 他应该怎样选择饮水点P，可使使所走的路程PA+PB最短?B层 如图，公园中有两处古迹P和Q，现计划在两条小河上各修建一座小桥，并在半岛上修四条小路，连通两座小桥与古迹，这两座小桥应建在何处，才能使修建的道路最短？ C层 如图，现有一条地铁线路l，小区A 、B在l的同侧