【立体设计】高考数学 8.7 抛物线课后限时作业 理（通用版）.doc

2012高考立体设计理数通用版 8.7 抛物线课后限时作业一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1. 抛物线yx2的准线方程是 ()a2x10 b2y10c4x10 d4y10解析：2p1，所以y，所以准线方程为4y10，选d.答案：d2. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2y21的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为 ()a2 b. c. d.解析：4x2y21化为标准方程为y21，焦点坐标为，所以焦点到准线的距离为，所以选b.答案：b3.直线l过抛物线c:y2=2px(p0)的焦点f，且交抛物线c于a，b两点，分别从a，b两点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为a1,b1，则a1fb1是 ( )a.锐角 b.直角c.钝角 d.直角或钝角解析：由|af|=|aa1|,|bf|=|bb1|易得.答案：b4.（2011届沈阳质检）抛物线y24x的焦点为f，过f且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点a，则af的长为 ()a2 b4 c6 d8解析：方法一：(数形结合法)过点a作抛物线的准线x1的垂线，垂足为b，由抛物线定义，有|ab|af|，易知ab平行于x轴，afx，baf，abf是等边三角形，过f作fc垂直于ab于点c，则|ca|bc|p2，故|af|ab|4.方法二：(代数法)焦点f(1,0)，af的直线方程为y0tan (x1)，即y(x1)，代入抛物线方程y24x，得(x1)24x，即3x210x30，解得x3或(舍去)，故点a的坐标为(3,2)，|af|4.答案：b5.已知点p（x,y）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点q（x+y,xy）的轨迹是 ( )a.圆 b.抛物线 c.椭圆 d.双曲线解析：点p的轨迹方程是x2+y2=1,令a=x+y，b=xy,将式两边平方得a2=x2+y2+2xy,将x2+y2=1及式代入得a2=1+2b，所以点q的轨迹是抛物线.答案：b6.（2011届合肥质检）已知抛物线y22px(p0)的焦点为f，点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，p3(x3，y3)在抛物线上，并且2x2x1x3，则有 ()a|fp1|fp2|fp3|b|fp1|2|fp2|2|fp3|2c2|fp2|fp1|fp3|d|fp2|2|fp1|fp3|解析：抛物线的准线方程为x，根据抛物线的定义，得|fp1|x1，|fp2|x2，|fp3|x3.因为2x2x1x3，所以2，即2|fp2|fp1|fp3|.答案：c二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7.线段ab是抛物线y2=x的一条焦点弦，且|ab|=4，则线段ab的中点c到直线x+=0的距离是 .解析：线段ab的中点c到准线x=-的距离为|ab|长的一半，则点c到直线x+=0的距离为.答案：8. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米，当水面升高1米后，水面宽度是 米解析：如图，设抛物线方程为yax2.将(4，2)代入方程得a.则抛物线方程为yx2.令y1，则x2.则水面宽度为4.答案：49.已知q(4,0),p为y2=x+1上任一点，则pq的最小值为 .答案：10.已知抛物线y2=4x，过点p（4,0)的直线与抛物线相交于a(x1,y1)、b(x2,y2)两点，则y21+y22的最小值是 .解析：设直线方程x=my+4,代入y2=4x消去x得关于y的一元二次方程，y2-4my-16=0,=16m2+640.y1+y2=4m,y1y2=-16,y21+y22=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+3232,当m=0时，y21+y22取得最小值32.答案：32三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11.抛物线y2=2px(p0)上有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程是y=2x,斜边长是5，求此抛物线方程.解：设aob的抛物线的内接直角三角形，直角顶点为o，ao边的方程是y=2x,则ob边的方程为y=-x.由y=2x, y2=2px得点a坐标为（,p）.由y=-x, y2=2px得点b坐标为（8p,-4p）.因为|ab|=5,12. 已知动圆过定点a(1,0)，且与直线x1相切(1)求动圆的圆心轨迹c的方程；(2)是否存在直线l，使l过点b(0,1)，并与轨迹c交于p、q两点，且满足0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解：(1)设m为动圆圆心，由题意知：|ma|等于m到定直线x1的距离，由抛物线的定义知，点m的轨迹为抛物线，其中a(1,0)为焦点，x1为准线所以动圆的圆心m的轨迹c的方程为：y24x.(2)由题意可设直线l的方程为xk(y1)(k0)，由得y24ky4k0.所以16k216k0k1或k0.又y1y24k，y1y24k.由0x1x2y1y20k2(y11)(y21)y1y20(k21)y1y2k2(y1y2)k204k(k21)k24kk20k4或k0(舍去)又k40)交于a、b两点，点f为抛物线的焦点，若fab为直角三角形，则双曲线的离心率是 ()a. b. c2 d3解析：由题意易知，抛物线的准线方程为x1，焦点为f(1,0)，直线x1与双曲线的交点坐标为，若fab为直角三角形，则只能afb为直角，fab为等腰直角三角形，所以2a，从而可得c，所以双曲线的离心率e，选b.答案：b二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）3. 若点(3,1)是抛物线y22px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p_ _.解析：直线的方程为y2(x3)12x5，将联立得4x2(202p)x250.则x1x26，解得p2.答案：24.已知抛物线y=2px2(p0)的焦点为f，点p(1, )在抛物线上，过p作pq垂直抛物线的准线，垂足为q.若抛物线的准线与对称轴相交于点m，则四边形pqmf的面积为 .解析：由p(1, )在抛物线上，得p=，故抛物线的标准方程为x2=4y,点f(0,1)，准线为y=-1,所以|fm|=2，|pq|=1+=，|mq|=1，则直角梯形pqmf的面积为(+2)1=.答案：三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）5.（2011届江苏无锡模拟）已知点p（1，3），圆c：（x-m）2+y2=过点a(1，-)，f点为抛物线y2=2px(p0)的焦点，直线pf与圆相切.(1)求m的值与抛物线的方程；（2）设点b（2,5），点q为抛物线上的一个动点，求的取值范围.解：（1）点a代入圆c的方程,得(1-m)2+(-)2=.所以m=1，圆c：（x-1）2+y2=.当直线pf的斜率不存在时不合题意.当直线pf的斜率存在时，设为k，则pf:y=k(x-1)+3,即kx-y-k+3=0.因为直线pf与圆c相切，所以,解得k=1或k=-1.当k=1时，直线pf与x轴的交点横坐标为-2，不合题意，舍去.当k=-1时，直线pf与x轴的交点横坐标为4，符合题意.所以p2=4,所以抛物线方程为y2=16x.(2) =(-1,-2),设q（x,y）, =(x-2,y-5),=-（x-2)+(-2)(y-5)=-x-2y+12=-2y+12=- (y+16)2+2828.所以的取值范围为（-,28.6. 设抛物线的方程为y24x，过点p(2,0)的直线l与抛物线交于a、b两点，点q满足(r)(1)当1时，求点q的轨迹方程；(2)若点q在x轴上，且13，求直线l的斜率k的取值范围解：方法一：设直线l的方程为myx2，代入y24x得：y24my80.设a、b点的坐标分别为a(x1，y1)、b(x2，y2)则y1y24m，y1y28.(1)设q(x，y)，因为，所以yy1y24m.所以xx1x2m(y1y2)44m24.消去m得：x4，即点q的轨迹方程为：y24(x4)(2)因为(x1x2，y1y2)且点q在x轴上，所以y1y20，即y1y2.消去y2得：28.2m22.设f()2，当10恒成立所以02，即0m2.所以k即为直线l的斜率k的取值范围方法二：(1)因为，当直线l的斜率不存在时，由抛物线的对称性得q点坐标为(4,0)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x2)，代入y24x得k2x2(4k24)x4k20，所以k0.设a、b、q点的坐标分别为a(x1，y1)、b(x2，y2)、q(x，y)因为，所以解得消去k得：x4.又点(4,0)的坐标也满足方程，所以点q的轨迹方程为：y24(x4)(2)因为(x1x2，y1y2)且点q在x轴上，所以y1y20，即k(x12)