反比例函数图象的应用.docx

精磨细琢深挖掘 以美启真共提升 -反比例函数图像的“美”及应用数学家希尔伯特把数学比作“一座鲜花盛开的园林”。在这个园林中，你可以感受到数学美中各种美的神韵。简洁美的沁人心肺，对称美的有规可循，和谐美的协调统一，奇异美的出人意料，相似美的赏心悦目。 反比例函数就是园林中一朵娇艳的奇葩。瞧！反比例函数的图像为双曲线，双曲线在坐标系里翩翩起舞的样子，体现了数学美中对称美、简洁美、定值美、相似美。孩子们，下面就让我们一起来赏析和运用反比例函数之美来解决问题。一、“对称美”解题-浓墨重彩绘本色我们知道，反比例函数的图像是双曲线，它既是中心对称图形又是轴对称图形，坐标原点是对称中心，一三象限和二四象限的角分线是对称轴，利用这些对称性来解题，省时又省力。问题1：如图，一次函数图像y=x+b与反比例函数 图像相交于A，B两点，A（2,1），则求B点的坐标。分析：因为直线和双曲线都关于二四象限的角分线对称，所以其交点也关于二四象限的角分线成轴对称。而关于二四象限角分线对称的点的坐标特点：若一个点的坐标是（a,b）,则另一个点的坐标是(-b,-a)。所以B（-1，-2）。因此，运用对称之美解题，正可谓是浓墨重彩绘本色。孩子们请注意：若k1，则就无上述性质了。想一想为什么呢？二、“简洁美”解题-淘尽泥沙始见金简洁美是数学中引人注目的美感之一，只有借助于数学，才能达到简洁性的美学准则。朴素，简单，使其外在形式，只有既朴实清秀，有底蕴深厚，才称得上至美。问题2：如图，一次函数y1=k1x1+2与反比例函数的图像交于点A（4，m）和B(-8,-2),与y轴交于点C.（1）k1= ,k2= （2）根据 函数图像可知，当y1y2时，x的取值范围是（ ） 分析：第（1）问中已知点B的坐标，代入反比例函数解析式求的K1，进而得到A点坐标，再把A，B两点坐标代入一次函数解析式求的K2第（2）中由A、B、O三点的横坐标将x轴分成四部分，看图像，从左到右每一部分图像，谁在上，谁的函数值就大，故-8x4因此，运用“简洁之美”解题，正可谓是淘尽泥沙始见金三、“定值美”解题-犹抱琵琶半遮面从反比例函数 y= 的图像的任意点做x轴和y轴的垂线，所得的两条垂线段和两坐标轴围成的面积始终不变，等于k,孩子们，想一想，这是为什么呀？如果能掌握这一点，在解题中那可就能可起到四两拨千斤的效果。问题3：在反比例函数y= （x0 )的图像上有点P1、 P2、 P3、P4，他们的横坐标依次是1、2、3、4，分别过这些点做x轴和y轴的垂线段，图中所构成的图形的阴影部分从左到右面积分别为S1、S2、S3、则S1+S2+S3=分析：因为“同一层的矩形面积相等，最下面一层的每个小矩形的面积为0.5，把S1 S2 向左平移，得到S 1 + S 2 + S3 =2-0.5=1.5。利用相同胡思路还可以求出S1 S2 S3的面积。因此，运用“定值之美”解题，正可谓是犹抱琵琶半遮面四、“相似美”解题-繁华落地见真淳相似美是一种格式的对称，形式完全一样，只是变量间的位置调换了一下。使得知识系统变得简约而整齐。因此，相似美是一种即美丽又实用的美。问题4：如图，ABO与BCD都是等边三角形，O为坐标原点，点B、D在x轴上，AO=2，点A、C在一反比例函数图象上（1）求此反比例函数解析式；（2）求点C的坐标；解：（1）过点A、C分别作AFOB于点F，CEDB于点E，AO=2，ABO与BCD是等边三角形，OF=1，FA= ，点A的坐标是（-1，），把（-1，）代入，得k=- ，反比例函数的解析式是（2）设BE=a，则CE= a点C的坐标是（-2-a， a），把点C的坐标代入得（-2-a） a=- a= -1 ，点C的坐标是（-1 - ， - ）。因