高考数学大一轮复习 第六章 数列 第37讲 数列的递推关系与通项课件 理.ppt

第37讲数列的递推关系与通项 考试要求掌握常见求通项的方法 1 必修5p41习题13改编 已知等差数列 an 的公差为d 那么an am d 答案 n m 诊断自测 3 若数列 an 满足a1 1 an n an 1 n 2 n n 则数列 an 的通项公式为 4 在等差数列 an 中 a1 1 d 2 sn 2 sn 24 则n 解析因为a1 1 d 2 所以sn n2 sn 2 sn n 2 2 n2 24 解得n 5 答案5 5 在斐波那契数列1 1 2 3 5 8 13 中 an an 1 an 2的关系是 答案an 2 an an 1 知识梳理 考点一利用 累乘 累加 法求通项 解 1 因为sn n2an n n 当n 2时 sn 1 n 1 2an 1 所以an sn sn 1 n2an n 1 2an 1 因为b1 2 bn 1 2bn 所以 bn 是首项为2 公比为2的等比数列 故bn 2n 假如存在自然数m 使得对于任意n n n 2 例1 2 已知数列 an 满足a1 1 a2 4 an 2 2an 3an 1 n n 求数列 an 的通项公式 解由an 2 2an 3an 1 0 得an 2 an 1 2 an 1 an 数列 an 1 an 是以a2 a1 3为首项 2为公比的等比数列 an 1 an 3 2n 1 n 2时 an an 1 3 2n 2 a3 a2 3 2 a2 a1 3 将以上各式累加得an a1 3 2n 2 3 2 3 3 2n 1 1 an 3 2n 1 2 当n 1时 也满足 规律方法求数列的通项公式 特别是由递推公式给出数列时 除叠加 迭代 累乘外 还应注意配凑变形法 变形的主要目的是凑出容易解决问题的等差或等比数列 然后再结合等差 等比数列的运算特点解决原有问题 求得通项公式时 还可根据递推公式写出前几项 由此来猜测归纳出通项公式 然后再证明 考点二构造等差 等比数列求通项 解 1 an 1 3an 2 an 1 1 3 an 1 又a1 1 a1 1 2 故数列 an 1 是首项为2 公比为3的等比数列 an 1 2 3n 1 故an 2 3n 1 1 因为lga1 lg2 2lg2 规律方法此题通过两边同时取对数 将一个复杂的数列转化为等比数列 通常来说 我们可以将数列取对数后转化成等差数列 将等差数列放到指数函数y ax中转化为等比数列 训练2 2018 苏州期中 设数列 an 的前n项和为sn 满足2sn an 1 2n 1 1 且a1 a2 5 a3成等差数列 1 求a1 a2的值 2 求证 数列 an 2n 是等比数列 并求数列 an 的通项公式 1 解由题意 得2a1 a2 3 2 a1 a2 a3 7 又因为a1 a2 5 a3成等差数列 所以a1 a3 2a2 10 联立 解得a1 1 a2 5 2 证明由题意知 当n n 时 2 sn 1 sn an 2 an 1 2n 2 2n 1 即an 2 3an 1 2n 1 an 1 3an 2n n 2 由 1 知 a2 3a1 2 所以an 1 3an 2n n n 所以an 1 2n 1 3an 2n 2n 1 3an 3 2n 3 an 2n 又a1 2 0 所以an 2n 0 所以数列 an 2n 是等比数列 且公比为3 所以an 2n a1 2 3n 1 3n an 3n 2n 考点三由an与sn的递推关系求通项 例3 一题多解 记数列 an 的前n项和为sn 若a1 1 sn 2 a1 an n 2 n n 求sn 解法一当n 2时 s2 2 a1 a2 从而得a2 a1 1 当n 3时 有sn 1 2 a1 an 1 所以an sn sn 1 2an 2an 1 即an 2an 1 又a2 2a1 法二当n 2时 s2 2 a1 a2 从而a2 a1 1 当n 3时 an sn sn 1 所以sn 2 1 sn sn 1 即sn 2sn 1 2 所以sn 2 2 sn 1 2 又因为s2 2 2 s1 2 1 所以s2 2 2 s1 2 所以数列 sn 2 是以 1为首项 2为公比的等比数列 从而sn 2 1 2n 1 所以sn 2 2n 1 规律方法法一的思考方法是先求出数列 an 的通项公式 再求它的前n项和 所以将sn转化为an 通过研究an来求和 法二的思考方法是直接研究 sn 所以将an转化为sn后再求它的通项 这是研究sn与an的关系问题的常用的两种解法 解题时要合理选择 训练3 2018 苏州调查 已知数列 an 共有2k项 k 2 k n 数列 an 的前n项和为sn 且满足a1 2 an 1 p 1 sn 2 n 1 2 2k 1 其中常数p 1 1 证明 an 1 p 1 sn 2 n 1 2 2k 1 an p 1 sn 1