1.一元二次方程

第二十一章一元二次方程211一元二次方程基础题知识点1一元二次方程的定义及一般形式1下列方程中，关于x的一元二次方程是(D)Aax2bxc0 B.x2Cx22xx21 D2x202下列一元二次方程中，常数项为0的是(C)Ax2x1B2x2x120C2(x21)x2D2(x21)3(x1)3若关于x的方程(a1)x22x10是一元二次方程，则a的取值范围是a14一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为5，则这个一元二次方程是2x23x505(教材P4习题T1变式)将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)2x28；解：移项，得一元二次方程的一般形式：2x280.其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为8.(2)2x254x；解：移项，得一元二次方程的一般形式：2x24x50.其中二次项系数为2，一次项系数为4，常数项为5. (3)4y(y3)0；解：去括号，得一元二次方程的一般形式：4y212y0.其中二次项系数为4，一次项系数为12，常数项为0. (4)(x2)(2x1)x22.解：去括号，得2x2x4x2x22.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式：x23x40.其中二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为4.知识点2一元二次方程的根6下列是方程3x2x20的解的是(A)Ax1 Bx1Cx2 Dx27已知1是关于x的一元二次方程(m1)x2x10的一个根，则m的值是(B)A1 B1C0 D无法确定8下表是某同学求代数式x2x的值的情况，根据表格可知方程x2x2的根是(D)x210123x2x620026A.x1 Bx0Cx2 Dx1或x2知识点3根据实际问题列一元二次方程9某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为(C)Ax(x11)180 B2x2(x11)180Cx(x11)180 D2x2(x11)18010(教材P2问题1变式)(大连中考)如图，有一张矩形纸片，长10 cm，宽6 cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32 cm2，求剪去的小正方形的边长设剪去的小正方形边长是x cm，根据题意可列方程为(B)A10646x32 B(102x)(62x)32C(10x)(6x)32 D1064x232易错点1忽略一元二次方程中二次项系数不为0而出错11若(m1)x|m|16x20是关于x的一元二次方程，则m的值为1易错点2确定各项时未化为一般形式而出错12若一元二次方程2x2(m1)x1x(x1)的一次项系数为2，则m的值为2中档题13若关于x的一元二次方程ax2bx50(a0)的解是x1，则ab的值是(B)A5 B5 C6 D614【易错】若关于x的方程(k1)x23xk210的常数项为0，则k的值为(D)Ak1 Bk1Ck1 Dk115(教材P4习题T7变式)如果5是一元二次方程x2c2的一个根，那么常数c是5，方程的另一根是516(教材P4习题T2变式)根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1)小明用30 cm的铁丝围成一个斜边长为13 cm的直角三角形，求该直角三角形的两直角边长；(2)为响应 “足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式(每两个队之间都要比赛一场)，计划安排28场比赛，求参赛的足球队个数解：(1)设该直角三角形的一直角边长为x cm，则另一直角边长为(17x)cm，根据题意，得x2(17x)2132.整理化简得x217x600.(2)设参赛的足球队有x个，根据题意，得28，整理化简，得x2x560.17已知关于x的方程(m3)(m3)x2(m3)x20.(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？解：(1)由题意，得(m3)(m3)0且m30，所以m30，即m3.(2)由题意，得(m3)(m3)0，即m3.综合题18【分类讨论思想】若x2ab2xab30是关于x的一元二次方程，求a，b的值张敏是这样考虑的：满足条件的a，b必须满足你说张敏的这种想法全面吗？若不全面，请你说明其余满足的条件解：张敏的这种想法不全面由x2ab2xab30是关于x的一元二次方程，得或或或或 根据一元二次方程根的定义求值【方法指导】已知一元二次方程的根求方程中待定字母的值时，一般将根代入原方程中即可求解；已知一元二次方程的根求代数式的值时，若方程中的参数无法求出，应采用整体思想解决问题，将所求代数式的一部分看成一个整体，通常这部分通过已知条件可求出，将其整体代入即可求解1.【易错】关于x的一元二次方程(a3)x2xa290的一个根是0，则a的值为32.已知m是方程x23x10的一个根，则代数式m23m的值等于1【变式】已知a是方程x23x20的根，则代数式a32a25a3的值为521.2解一元二次方程212.1配方法第1课时直接开平方法基础题知识点1用直接开平方法解形如x2p(p0)的一元二次方程1下列方程可用直接开平方法求解的是(A)Ax24 B4x24x30Cx23x0 Dx22x192方程x21的解为(D)Ax0 Bx1Cx1 Dx11，x213(柳州中考)一元二次方程x290的解是x13，x234关于x的方程x2p：(1)当p0时，方程有两个不等的实数根；(2)当p0时，方程有两个相等的实数根；(3)当p0时，方程无实数根5用直接开平方法解下列方程：(1)4x21; 解：x2，x1，x2. (2)0.8x240.解：0.8x24，x25，x1，x2.知识点2用直接开平方法解形如(mxn)2p(p0)的一元二次方程6一元二次方程(x6)216可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x64，则另一个一元一次方程是(D)Ax64 Bx64Cx64 Dx647若关于x的一元二次方程(x3)2a6有实数根，则a的取值范围是a68.解方程：(2x)290.解：移项，得(2x)29直接开平方，得(2x)3，即2x3或2x3所以x11，x259用直接开平方法解方程：3(x1)2.解：(x1)2，x1，x1，x2.易错点开平方时漏解10方程(y2)2(3y1)2的解为y1，y2中档题11若方程(xa)2b的解是x11，x23，则(D)Aa1，b4 Ba0，b1Ca1，b4 Da2，b112新定义运算“”，对于非零实数a，b，规定abb2.若2(x1)4，则x1或313【整体思想】若(a2b22)225，则a2b2714若一元二次方程ax2b(ab0)的两个根分别是m1与2m4，则415用直接开平方法解下列方程：(1)(2x3)20；解：移项，得(2x3)2.2x3.x1，x2.(2)4(x2)2360.解：移项，得4(x2)236.(x2)29.x23.x15，x21.第2课时配方法基础题知识点1配方1下列各式是完全平方式的是(C)Aa27a7 Bm24m4Cx2x Dy22y22把一元二次方程a26a7配方，需在方程两边都加上(C)A3 B3 C9 D93用配方法将二次三项式a24a5变形，结果是(A)A(a2)21 B(a2)21C(a2)21 D(a2)214(临沂中考)一元二次方程y2y0配方后可化为(B)A(y)21 B(y)21C(y)2 D(y)2 5用适当的数或式子填空：(1)x24x4(x2)2；(2)x28x16(x4)2；(3)x23x(x)2；(4)x2x(x)2.知识点2用配方法解二次项系数为1的一元二次方程6方程x24x2的正根为(D)A2 B2C2 D27已知方程x26xq0可转化为x3，则q28用配方法解方程：(1)x24x10；解：(x2)25，x12，x22.(2)x22x5；解：(x1)26，x11，x21.(3)x2x10.解：(x)2，原方程无实数根知识点3用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程9解方程：2x23x20.解：将常数项移到右边，得2x23x2；再把二次项系数化为1，得x2x1；然后配方，得x2x()21()2；进一步得(x)2；解得方程的两个根为x12，x210用配方法解方程：(1)2x23x60；解：(x)2，x1，x2.(2)x2x20.解：(x)2，x1，x22.易错点1用配方法变形代数式时没有恒等变形11下面是小明同学对二次三项式2y26y1进行配方的过程：2y26y1y23y()2(y)2.请指明配方过程是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，请给出正确的配方过程解：不正确正确的配方过程为：2y26y12y23y()212(y)2 .易错点2配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加12阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容解方程：2x28x180.解：移项，得2x28x18.两边同时除以2，得x24x9.配方，得x24x49，即(x2)29.x23.x15，x21.上述过程中有没有错误？若有，错在步骤(填序号)，原因是配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而在右边忘记加请写出正确的解答过程解：移项，得2x28x18.两边同时除以2，得x24x9.配方，得x24x494，即(x2)213.x2.x12，x22. 中档题13若方程4x2(m2)x10的左边是一个完全平方式，则m等于(B)A2 B2或6C2或6 D2或614【注重阅读理解】(益阳中考)规定：ab(ab)b，如：23(23)315.若2x3，则x1或315若一元二次方程x22x3 5990的两根为a，b，且ab，则2ab的值为18116若方程2x28x320能配成(xp)2q0的形式，则直线ypxq不经过第二象限17用配方法解下列方程：(1)2x27x40；解：(x)2，x1，x24.(2)x26x12x15；解：(x4)20，x1x24.(3)x(x4)6x12；解：(x1)213，x11，x21.(4)3(x1)(x2)x7.解：(x)2，原方程无实数根18已知实数a，b满足a24b22a4b20，你认为能够求出a和b的值吗？如果能，请求出a，b的值；如果不能，请说明理由解：能理由：a24b22a4b20，a22a14b24b10.(a1)2(2b1)20.(a1)20，(2b1)20，a10，2b10.a1，b0.5. 利用配方法求最值【方法指导】用配方法求二次三项式的最值，需要把二次三项式配方成a(xh)2k的形式，当a0，xh时，该二次三项式有最大值k；当a0，xh时，该二次三项式有最小值k.当x3时，代数式x26x10有最小(填“大”或“小”)值，是1【变式1】当x2时，代数式2x28x3有最小值，是11【变式2】当x4时，代数式x24x7的最大值是1521.2.2公式法第1课时一元二次方程的根的判别式基础题知识点1利用根的判别式判别一元二次方程根的情况1(滨州中考)一元二次方程x22x0根的判别式的值为(A)A4 B2 C0 D42一元二次方程2x23x10的根的情况是(B)A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根3下列一元二次方程没有实数根的是(B)Ax22x10 Bx2x20Cx210 Dx22x104(教材P17习题T4变式)不解方程，判别下列一元二次方程的根的情况：(1)9x26x10；解：a9，b6，c1，b24ac364910.此方程有两个相等的实数根(2)16x28x3；解：化为一般形式为16x28x30.a16，b8，c3，b24ac6441631281；若方程有两个相等的实数根，则m1；若方程没有实数根，则m0，即(2)24k(1)0，解得k1.所以k的最小整数值是0.以上解答是否正确？若不正确，请指出错误并给出正确答案解：不正确错误原因：当k0时，原方程不是一元二次方程，k0.k的最小整数值为1.易错点2未对方程进行分类讨论导致漏解10(本课时T9变式)若关于x的方程kx22x10有实数根，则实数k的取值范围是k1中档题11(咸宁中考)已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2bxc0的根的情况是(B)A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根D无法判断12(菏泽中考)关于x的一元二次方程(k1)x22x10有两个实数根，则k的取值范围是(D)Ak0 Bk0Ck0且k1 Dk0且k113【数形结合思想】若关于x的一元二次方程x22xkb10有两个不相等的实数根，则一次函数ykxb的大致图象可能是(B)14已知关于x的方程x2(1m)x0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是015【易错】若|b1|0，且一元二次方程kx2axb0有实数根，则k的取值范围是k4且k016已知关于x的方程x2axa20.(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根解：(1)1为原方程的一个根，1aa20.a.将a代入方程，得x2x0.解得x11，x2.a的值为，方程的另一个根为.(2)证明：在x2axa20中，a24a8(a2)240，不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根综合题17已知关于x的一元二次方程(ac)x22bx(ac)0，其中a，b，c分别为ABC三边的长(1)如果x1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC的形状，并说明理由解：(1)ABC是等腰三角形理由：x1是方程的根，(ac)(1)22b(ac)0.ac2bac0.2a2b0.ab.ABC是等腰三角形(2)ABC是直角三角形理由：方程有两个相等的实数根，(2b)24(ac)(ac)0.4b24a24c20.a2b2c2.ABC是直角三角形 根的判别式【方法指导】关于x的方程ax2bxc0有实数根，注意对a分类讨论当a0，且b0时，方程为一元一次方程，必有实根；当a0时，方程为一元二次方程，用根的判别式研究方程根的情况，即0时，方程有两个不相等的实数根，0时，方程有两个相等的实数根，0时，方程没有实数根【易错】关于x的一元二次方程(m2)2x2(2m1)x10有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m且m2【变式1】若该一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为【变式2】若该一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是m【变式3】若该一元二次方程有实数根，则m的取值范围是m且m2【变式4】若方程(m2)2x2(2m1)x10有解，则m的取值范围是m第2课时用公式法解一元二次方程基础题知识点用公式法解一元二次方程1用公式法解一元二次方程3x22x30时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述正确的是(B)Aa3，b2，c3 Ba3，b2，c3Ca3，b2，c3 Da3，b2，c32一元二次方程x2x10的根是(B)Ax1，x2Bx1，x2Cx1，x2 D没有实数根3用公式法解方程：2y24yy2.解：方程化为一般形式，得2y23y20a2，b3，c2，b24ac25方程有两个不相等的实数根，为y，即y1，y224用公式法解下列方程：(1)x24x10；解：a1，b4，c1，b24ac4241(1)20.x，x12，x22.(2)x23x0；解：a1，b3，c0，b24ac324109.x，x10，x23.(3)2x23x10；解：a2，b3，c1，b24ac(3)242(1)17.x，x1，x2.(4)x2102x；解：x22x100，a1，b2，c10，(2)24110200.x.x1，x2.易错点性质运用不当8解方程：(x1)(x2)x1.解：将方程两边约去(x1)，得x21.所以x3.以上解答错在第步，正确的答案是x11，x23中档题9一元二次方程x(x3)3x0的根是(C)A1 B3 C1和3 D1和210【易错】已知等腰三角形的腰和底边的长分别是一元二次方程x26x80的两根，则该三角形的周长为(B)A8 B10 C8或10 D211方程x2|x|的根是0，112【易错】若分式的值为0，则x的值为313若正数a是一元二次方程x25xm0的一个根，a是一元二次方程x25xm0的一个根，则a的值是514已知x215xy50y20(xy0)，则的值是5或1015用因式分解法解下列方程：(1)2(x3)2x29；解：2(x3)2(x3)(x3)，(x3)2(x3)(x3)0.解得x13，x29.(2)(3x2)24x20；解：(3x22x)(3x22x)0，解得x1，x22.(3)5x(2x3)10x15.解：5x(2x3)5(2x3)，(5x5)(2x3)0，解得x11，x2.16【探究】(滨州中考)(1)根据要求，解答下列问题：方程x22x10的解为x1x21；方程x23x20的解为x11，x22；方程x24x30的解为x11，x23；(2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：方程x29x80的解为x11，x28；关于x的方程x2(1n)xn0的解为x11，x2n；(3)请用配方法解方程x29x80，以验证猜想结论的正确性解：由x29x8，配方，得(x)2，即x，所以x11，x28. 运用十字相乘法解一元二次方程【注重阅读理解】阅读下列材料：(1)将x22x35分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：步骤：竖分二次项与常数项：,x2xx，35(5)(7)交叉相乘，验中项：7x5x2x.横向写出两因式：x22x35(x7)(x5)我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法(2)根据乘法原理：若ab0，则a0或b0.,试用上述方法和原理解下列方程：(1)x25x40；解：(x1)(x4)0，x11，x24. (2)x26x70；解：(x7)(x1)0，x17，x21. (3)2x26x80；解：(x2)(x4)0，x12，x24. (4)2x2x60.解：(2x3)(x2)0，x1，x22.小专题1一元二次方程的解法类型1直接开平方法形如x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的方程，用直接开平方法求解1用直接开平方法解下列方程：(1)3x2270；解：移项，得3x227，两边同除以3，得x29，根据平方根的定义，得x3，即x13，x23.(2)2(3x1)28.解：方程两边同时除以2，得(3x1)24.方程两边同时开方，得3x12.移项、两边同时除以3，得x11，x2.类型2配方法当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解较简便2用配方法解下列方程：(1)x22x50；解：移项、系数化为1，得x22x5.配方，得x22x151，即(x1)24.原方程无解(2)2x27x30.解：移项，得2x27x3.方程两边同除以2，得x2x.配方，得x2x()2()2，即(x)2.直接开平方，得x.x1，x23.类型3因式分解法能化成形如(xa)(xb)0的一元二次方程用因式分解法求解3用因式分解法解下列方程：(1)x23x0；解：x(x3)0，x0或x30.x10，x23.(2)(x3)290；解：(x3)2320，(x33)(x33)0，即x(x6)0.x0或x60.x10，x26.(3)2(t1)28t0；解：原方程可化为2t24t20.t22t10.(t1)20.t1t21.(4)x23x(2x)(x3)；解：原方程可化为x(x3)(2x)(x3)移项，得x(x3)(2x)(x3)0.(x3)(2x2)0.x30或2x20.x13，x21.(5)x24x120.解：分解因式，得(x6)(x2)0，x16，x22.类型4公式法如果一个一元二次方程易于化为一般形式，那么可选择用公式法求解4用公式法解下列方程：(1)3x22x10；解：a3，b2，c1，b24ac(2)243180，x.x1，x2.类型5选择合适的方法解一元二次方程5用合适的方法解下列方程：(1)4(x3)225(x2)20；解：原方程可化为2(x3)25(x2)20，即(2x6)2(5x10)20.(2x65x10)(2x65x10)0，即(7x16)(3x4)0.x1，x2.(2)5(x3)2x29；解：5(x3)2(x3)(x3)，移项，得5(x3)2(x3)(x3)0.(x3)5(x3)(x3)0，即(x3)(4x18)0.x30或4x180.x13，x2.(3)t2t0.解：方程两边都乘8，得8t24t10.a8，b4，c1，b24ac(4)24810.t.t1t2.类型6换元法6【整体思想】为解方程(x21)25(x21)40，我们可以将x21视为一个整体，设x21y，则y2(x21)2，原方程化为y25y40，解得y11，y24.当y1时，x211，x22，x.当y4时，x214，x25，x. 原方程的解为x1，x2，x3，x4.以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想运用上述方法解方程：x43x240.解：设x2y，则y2x4，原方程化为y23y40，解此方程，得y14，y21.y0，y4.当y4时，x24，解得x12，x22.*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系基础题知识点1利用根与系数的关系求两根之和与两根之积1若一元二次方程x24x30的两根是m，n，则下列说法正确的是(D)Amn4，mn3 Bmn4，mn3Cmn4，mn3 Dmn4，mn32不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(1)4x217x，x1x2，x1x2；(2)3x210，x1x20，x1x2知识点2利用根与系数的关系求相关代数式的值3(贵港中考)已知，是一元二次方程x2x20的两个实数根，则的值是(B)A3 B1 C1 D34已知x1，x2是一元二次方程x23x10的两根，不解方程求下列各式的值：(1)xx；(2).解：(1)xx(x1x2)22x1x2322(1)11.(2)3.知识点3利用根与系数的关系求方程中待定字母的取值或范围5(雅安中考)已知x1，x2是一元二次方程x22xk10的两根，且x1x23，则k的值为(B)A1 B2 C3 D46已知一元二次方程x2bxc0的两根分别为2和3，则b，c的值分别为(D)A5，6 B5，6 C5，6 D5，67(遵义中考)已知x1，x2是关于x的方程x2bx30的两根，且满足x1x23x1x25，那么b的值为(A)A4 B4 C3 D38关于x的一元二次方程x22x2m10的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是m,.)易错点用根与系数的关系时忽视隐含条件“0”9若关于x的方程x2(a1)xa20的两个根互为倒数，求a的值解：因为方程的两根互为倒数，所以两根的积为1由根与系数的关系，得a21解得a1当a1时，原方程化为x210，根的判别式73已知关于x的一元二次方程x2(2m3)xm20有两个实数根，.(1)求m的取值范围；(2)若1，则m的值为多少？解：(1)由题意知，(2m3)241m20，解得m.(2)由根与系数的关系，得(2m3)，m2.1，1.1，变形得m22m30，解得m11，m23.经检验，m11和m23是原分式方程的解由(1)知m，m11应舍去m的值为3.4已知关于x的一元二次方程x2(2m3)xm20有两个实数根x1，x2.(1)求实数m的取值范围；(2)若x1x26x1x2，求(x1x2)23x1x25的值解：(1)(2m3)24m24m212m94m212m9，方程有两个实数根，0.12m90.m.(2)由题意可得x1x2(2m3)32m，x1x2m2，又x1x26x1x2，32m6m2.m22m30.m13，m21.又m，m1.x1x25，x1x21.(x1x2)23x1x25(x1x2)24x1x23x1x25(x1x2)2x1x25521519.5已知关于x的一元二次方程x22xm10.(1)当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？(2)若方程的两根都是正数，求m的取值范围；(3)设x1，x2是这个方程的两个实数根，且1x1x2xx，求m的值解：(1)(2)24(m1)4m8，方程有两个不相等的实数根，0.4m80，解得m2.当m2时，方程有两个不相等的实数根(2)设x1，x2是这个方程的两个实数根，则x10，x20，x1x2m10.m1.若方程的两根都是正数，m的取值范围是1m2.(3)由题意可得x1x22，x1x2m1.1x1x2xx，1x1x2(x1x2)22x1x2，即1m1222(m1)，解得m2.数学思想1整体思想1如果关于x的一元二次方程x23x70的两根分别为，那么24(A)A4 B10 C4 D102已知，是方程x23x10的两个根，则(1