高中数学 专题3.4 基本不等式课件（提升版）新人教A版必修5.ppt

3 4基本不等式 1 利用基本不等式解决简单的最大值 最小值问题 重点 2 会合理拆项或凑项 会应用基本不等式 重点 3 会求给定条件的最值问题 4 能证明一些简单的不等式 教学目标 2 基本不等式常用变形 1 基本不等式 1 基本不等式成立的条件 2 等号成立的条件 当且仅当 时取等号 1 a b r 2 a b同号 3 a b r 4 a b r 基础回扣 3 算术平均数与几何平均数 设a 0 b 0 则a b的算术平均数为 几何平均数为 基本不等式可叙述为 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4 利用基本不等式求最值问题 已知x 0 y 0 则 1 如果积xy是定值p 那么当且仅当 时 x y有最小值是 简记 积定和最小 2 如果和x y是定值p 那么当且仅当 时 xy有最大值是 简记 和定积最大 x y x y 问题探讨与解题研究 类型一求含有两个变量的最值问题 例1 1 若x 3 则x 的最小值为 2 已知a b为正实数且a b 1 则 1 1 的最小值为 解题指南 1 将原式等价变形构造出应用基本不等式形式可解 2 将与中的1用a b代换整理后利用基本不等式可求 规范解答 1 由x 3得x 3 0 又x x 3 3 2 3 等号成立的条件是x 3 即x 3 答案 2 3 2 a 0 b 0 a b 1 1 1 2 同理1 2 1 1 2 2 5 2 5 4 9 等号成立的条件为a b 答案 9 练习 已知x 0 y 0 且xy 4x y 12 求xy的最小值 解析 x 0 y 0 当且仅当4x y时由4x y且xy 4x y 12 得x 3 y 12 此时xy有最小值36 小结 求条件最值的策略求条件最值是基本不等式的一个重要应用 应用基本不等式求最值时 通过对所给式进行巧妙分拆 变形 组合 添加系数使之能够出现定值是解题的关键 必须指出等号成立的条件 例1 已知a 0 b 0 a b 1 求证 类型二 利用基本不等式证明简单的不等式 分析 由于不等式左边含字母a b 右边无字母 直接使用基本不等式 既无法约掉字母 不等号方向又不对 因a b 1 能否把左边展开 实现 1 的代换 当且仅当时取等号 小结 利用基本不等式证明其他不等式的两个思路 1 利用基本不等式证明不等式时 首先要观察题中要证明的不等式的形式 若不能直接使用基本不等式证明 则考虑对代数式进行拆项 变形 配凑等 使之达到能使用基本不等式的条件 2 若题目中还有已知条件 则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系 当已知条件中含有1时 要注意1的代换 另外 解题中要时刻注意等号能否取到 类型二 利用基本不等式解决恒成立问题 小结 当不等式一边的函数 或代数式 的最值较易求出时 可直接求出这个最值 最值可能含有参数 然后建立关于参数的不等式求解 1 若正数a b满足ab a b 1 则a b的最小值是 a b c d 当堂检测 解析 选a 由于ab a b 1 ab a b 1 而 令a b t t 0 解得 即 3 已知a 0 b 0 若不等式恒成立 则m的最大值等于 a 10 b 9 c 8 d 7 解析 选b 由于a 0 b 0 所以不等式可化为而当且仅当即a b时取最小值9 所以不等式恒成立时m的最大值等于9 4 下列结论中正确的是 a 若a 0 则 b 若x 0 则 c 若a b 1 则 d 若a b 1 则 解析 选c 当a 0时 有故a错误 当x 0时 不一定有lnx 0 故不一定成立 b错误 当a b 1时 故a2 b2 a b 2 2ab 1 2ab 因此c正确 d错误 四 课堂小结 1 应用基本不等式求最值时 通过对所给式进行巧妙分拆 变形 组合 添加系数使之能够出现定值是解