高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）课件3 新人教A版必修4.ppt

1 4 2正弦函数 余弦函数的性质 二 知识提炼 正弦函数 余弦函数的图象和性质 1 1 1 1 2k 2k 2k 2k 2k 2k 即时小测 1 判断 1 存在角 使得cos 1 1 2 正弦函数 余弦函数在定义域内都是单调函数 3 在区间 0 2 上 函数y cosx仅当x 0时取得最大值1 解析 1 错误 因为 1 cos 1 所以不存在角 使cos 1 1 2 错误 正弦函数 余弦函数在定义域内都不具有单调性 3 错误 在区间 0 2 上 函数y cosx当x 0与x 2 时取得最大值1 答案 1 2 3 2 在下列区间中 使函数y sinx为增函数的是 a 0 b c d 2 解析 选c 由正弦曲线知y sinx在 上是增函数 3 函数y 3 2cosx的最大值为 此时x 解析 因为 1 cosx 1 所以当cosx 1时ymax 3 2 1 5 此时x 2k k z 答案 52k k z 4 函数的值域为 解析 画出函数的图象 如图 由图象可知 当x 时ymax 1 当x 时 ymin 所以函数的值域为答案 5 函数y cosx在区间 a 上为增函数 则a的范围是 解析 y cosx在区间 0 上为增函数 故由题意知 a 0 所以 a 0 答案 0 知识探究 知识点1正弦函数 余弦函数的单调性观察图形 回答下列问题 问题1 正弦函数 余弦函数的单调递增 减 区间是唯一的吗 问题2 正弦函数 余弦函数单调区间之间有什么关系 总结提升 对正弦函数 余弦函数单调性的四点说明 1 正弦函数 余弦函数在定义域r上均不是单调函数 但存在单调区间 2 由正弦函数 余弦函数的最小正周期为2 所以任给一个正弦函数 余弦函数的单调区间 加上2k k z 后 仍是单调区间 且单调性相同 3 求解 或判断 正弦函数 余弦函数的单调区间 或单调性 是求值域 或最值 的关键一步 4 确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时 要注意使用复合函数的判断方法来判断 知识点2正弦函数 余弦函数的最值观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 对于x r sinx和cosx的取值是否也是任意实数 问题2 函数y sinx x d的最大值必为1吗 总结提升 对正弦函数 余弦函数最值的三点说明 1 明确正 余弦函数的有界性 即 sinx 1 cosx 1 2 函数y sinx x d y cosx x d 的最值不一定是1或 1 要依赖函数定义域d来决定 3 形如y asin x a 0 0 的函数的最值通常利用 整体代换 即令 x z 将函数转化为y asinz的形式求最值 题型探究 类型一正弦函数 余弦函数的单调性 典例 2015 淮安高一检测 已知函数f x sin 2x 1 求函数f x 的单调递增区间 解题探究 本例中函数与以下三个函数有什么关系 u 2x t sinu y t 1提示 代入 代入 可得本题中函数 解析 令 2x 函数y sin 的单调递增区间为 2k 2k k z 由得所以函数f x 的单调递增区间是 k k k z 延伸探究 1 变换条件 将本例函数改为 f x 结果又如何 解析 f x 令t 2x 函数y cost的单调递增区间为 2k 2k k z 由 2k 2x 2k 得所以函数f x 的单调递增区间为 k k k z 2 增加条件 本例函数后增加x 0 其他条件不变 结果又如何 解析 设a 0 画数轴可知a b 所以函数f x x 0 的单调递增区间为 0 和 3 变换条件 改变问法 本例函数改为 y log3sin 2x 求其单调递减区间 解析 为使函数解析式有意义 须有sin 2x 0 因为函数y log3x在 0 为增函数 所以原函数的单调递减区间就是y sin 2x 的递减区间 且要满足sin 2x 0 由 2k 2x 2k k z 得 k x k k z 所以函数y log3sin 2x 的单调递减区间为 k k k z 方法技巧 1 单调区间的求法求形如y asin x 或y acos x 的函数的单调区间 要先把 化为正数 1 当a 0时 把 x 整体放入y sinx或y cosx的单调增区间内 求得的x的范围即函数的增区间 放入y sinx或y cosx的单调减区间内 可求得函数的减区间 2 当a 0时 把 x 整体放入y sinx或y cosx的单调增区间内 求得的x的范围即函数的减区间 放入y sinx或y cosx的单调减区间内 可求得函数的增区间 2 复合函数单调区间的求法 1 先求定义域 2 分析内层 外层函数的单调性 3 根据 同增异减 的法则写出单调区间 补偿训练 求函数y 3cos 2x 的单调递减区间 解析 令t 2x 函数y cost的单调递减区间为 2k 2k k z 由2k 2x 2k 得k x k k z 所以函数y 3cos 2x 的单调递减区间为 k k k z 延伸探究 1 变换条件 本例函数改为 y 3cos 2x 结果如何 解析 要求函数y 3cos 2x 的单调递减区间 只要求函数y cos 2x 的单调递增区间 由2k 2x 2k 得k x k k z 所以函数y 3cos 2x 的单调递减区间为 k k k z 2 增加条件 改变问法 求函数y x 0 的单调递增区间 解析 因为函数y 在r上为减函数 所以要求函数y x 0 的单调递增区间 只要求y cos 2x x 0 的单调递减区间 由2k 2x 2k 得k x k k z 设a 0 则a b 所以函数y x 0 的单调递增区间是 0 和 类型二利用正弦函数 余弦函数单调性比较大小 典例 1 已知 为锐角三角形的两个内角 则以下结论正确的是 a sin cos 2 2015 天津高一检测 比较大小 填 或 解题探究 1 典例1中 由 为锐角三角形的两个内角 可知 与有什么关系 提示 2 典例2中为比较两个数的大小 首先要将这两个数变为什么形式 用什么公式变形 提示 用诱导公式变形为都是正弦或都是余弦的形式 解析 1 选b 为锐角三角形的两个内角 0 0 所以cos 方法技巧 比较两个三角函数值的大小的步骤 1 依据诱导公式把几个三角函数化为同名函数 2 依据诱导公式把角化到属于同一个单调增 减 区间 3 依据三角函数的单调性比较大小后写出结论 变式训练 比较大小 cos 508 cos 144 填 cos36 所以 cos32 cos36 即cos 508 cos 144 答案 补偿训练 用 或 填空 解析 1 因为y sinx在 0 上是增函数 所以 2 因为y sinx在 0 上是增函数 所以即 3 由诱导公式可得 答案 1 2 3 类型三正弦函数 余弦函数的最值问题 典例 1 2015 延吉高一检测 函数y cos2x 3cosx 2的最小值为 a 2b 0c 1d 62 2015 宿迁高一检测 已知函数y a bcos 2x b 0 的最大值为 最小值为 1 求a b的值 2 求函数g x 4asin bx 的最小值并求出对应x的集合 解题探究 1 典例1中的函数是由哪两个函数复合而成的 提示 由t cosx和y t2 3t 2复合而成的 2 典例2中 cos 2x 的最大值 最小值与y a bcos 2x 的最大值 最小值有什么关系 提示 由于 b 0 当cos 2x 取得最大 小 值时 y a bcos 2x 取得最小 大 值 解析 1 选b 令cosx t 则t 1 1 y t2 3t 2 对称轴为直线所以y t2 3t 2在 1 1 上为增函数 所以当t 1时 ymin 0 2 1 cos 2x 1 1 因为b 0 所以 b 0 所以a b 1 2 由 1 知 g x 2sin x 因为sin x 1 1 所以g x 2 2 所以g x 的最小值为 2 对应x的集合为 x x 2k k z 延伸探究 将本例1中的函数改为f x cos2x 2asinx x 0 a r 求其最小值 解析 f x 1 sin2x 2asinx sin2x 2asinx 1 sinx a 2 a2 1由x 0 知sinx 0 1 若a 1 则当sinx 1时 f x min 1 2a 1 2a 若0 a 1 则当sinx a时 f x min a2 1 若a 0 则当sinx 0时 f x min 1 方法技巧 求三角函数值域或最值的常用方法 1 可化为单一函数y asin x k或y acos x k 其最大值为 a k 最小值为 a k 其中a k 为常数 a 0 0 2 可化为y asin2x bsinx c或y acos2x bcosx c a 0 最大 最小值可利用二次函数在区间 1 1 上的最大值 最小值的求法来求 换元法 变式训练 函数y sinx在区间 0 t 上至少取得2个最大值 则正整数t的最小值是 a 10b 9c 8d 7 解析 选c 因为函数y sinx的最小正周期为 所以要使函数y sinx在区间 0 t 上至少取得2个最大值 则t 7 5 故正整数t的最小值是8 补偿训练 已知函数f x 的定义域是 0 值域是 5 1 求a b的值 解析 因为0 x 所以所以当a 0时 解得当a 0时 解得因此a 2 b 5或a 2 b 1 规范解答y asin x b型函数的最大 小 值问题 典例 12分 2015 北京高一检测 函数f x 2sin 2x 的部分图象如图所示 1 写出f x 的最小正周期及图中x0 y0的值 2 求f x 在区间 上的最大值和最小值 审题指导 1 要求f x 的最小正周期可直接利用公式 要求x0 y0 关键是确定函数f x 何时取得最大值及最大值是多少 2 要求f x 在区间 上的最大 小 值 先要求出2x 的取值范围 再结合正弦函数的图象 求f x 的最大 小 值 规范解答 1 f x 的最小正周期t 2分当2x 2k k z时 sin 2x 1 f x 取得最大值2 此时x k k z 4分结合图象可知 6分 2 由x 得2x 0 7分所以当sin 2x 1 f x 取得最小值 2 9分当2x 0 即x 时 sin 2x 0 f x 取得最大值0 11分综上可知 f x 在区间上的最大值为0 最小值为 2 12分 题后悟道 1 明确函数的单调性求