第一章 线性空间.doc

第1 页 共 36 页第一章 线性空间线性空间是研究客观世界中线性问题的重要理论，即使对于非线性问题，在经过局部化后，就可以运用线性空间的理论，或者用线性空间的理论研究线性问题的某一侧面，本章将从最简单的集合概念入手，详细给出线性空间的的概念和相关理论。 1.1 预备知识 1.1.1 集合的概念与性质集合是数学中的基础概念之一，是把人们直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体的概念。例如：由全体实数所组成的集合，称为实数集合或实数集；由一个线性方程组解的全体组成集合，称为该方程组的解集合等等。本节所介绍的集合概念通常称为“朴素的集合论”， 即“集合”和“元素”等基本概念是自明的。历史上曾经为集合论产生过一些悖论.而对于我们来说了解朴素集合已是足够的了，例如，我们只需知道一个集合本身不能是这个集合一个元素即：若A是集合则AA不成立；同时，本节所介绍的集合的相关性质，以复习为主，很多定理不加以证明。定义1 具有某种性质的事物的全体称为集合，组成集合的事物称为集合中的元素。一般用英文大写字母A, B, C, X, Y, Z表示集合，用英文小写字母a, b, c, x, y, z等表示集合的元素。例如：和都表示的是集合。没有任何元素的集合称为空集，记为。如果用S表示集合，s表示S的元素，常用记号，读作s属于S，而s不属于S，记为：。常用的特殊集合一般用N, Z, Q，R和C分别表示自然数集、整数集、有理数集实数集和复数集。此外，和分别代表奇数集和偶数集。定义2 若集合 A和集合B有同样的元素，称为A和B相等，记为A = B；若集合 A和中的元素都是集合B中的元素，称为A含于B或者称B包含A，记为；若，则称A是B的子集；若，且，则称A是B的真子集。空集是一个非常特殊的集合，因为它不含任何元素，所以对任何集合都包含空集为其子集，即：对于任意的集合，均有：。任何集合A也都是它自己的子集，即，一般称A与为集合A的平凡子集。若集合含有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个。定理1 设A, B, C是三个任意集合，则有： (1) 如果B A且A B，则A = B。(2) 如果C B且B A，则C A。 证明略。定义3 由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集，记作，即。定义4 由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作，即。定义5 由所有属于集合且不属于集合的元素组成的集合，称为集合与的差集，记作，即；特别的，若，差集又叫做中关于子集的补集，记作，即。当我们在研究问题所涉及到的集合都是一个相对“大”的集合的子集时候，在这种情况下，常常称这个包含所有需要讨论的“大”集合为基础集。例如，所有平面图形都可以看成是整个平面这个大集合的子集。当为基础集时，若,则一般记为。定理2 设A，B，C为三个集合则以下等式成立：（1）幂等律：AAA AA=A；（2）交换律：ABBAAB=BA；（3）结合律：(AB)CA(BC) (AB)CA(BC) ；（4）分配律：(AB)C(AC)(BC) (AB)C(AC)(BC)；（5）DeMongan律： 。 上述定理可以推广到有限个集合上，例如DeMongan律的推广如下：设与是个集合，则有。集合还有其他一些简单性质，在此不加以叙述。1.1.2 映射的概念与性质在高等数学中，函数概念是我们所熟知的概念，包括近世代数中的同态等概念，这些概念事实上都有赖于下面所要给出的映射的概念。定义6 设是两个集合，如果按照某一对应法则，对于中的每一个元素，有中唯一确定的元素与之对应，则称法则为由集合到集合的映射，记为： 对，称为在映射下的像，为原像。集合称为在下的像集，显然。我们通常称A为映射的定义域，称为映射的值域。定义7 设是两个集合，是由到的映射，则有：（1）当时，称映射为满射；（2）对，当时有，称映射为单射；（3）称既单且满的映射为双射或者一一映射。定理3 设是三个集合，是由到的映射，是由到的映射，对于中的每一个元素，有中唯一确定的元素满足：。即存在一个的映射，记为：；显然，对任意的。定义8 定理2中的映射称为映射与映射的复合映射。1.1.3 其他概念定义9 设是由一些数所构成的集合，其中包含0和1，如果对中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为0），仍是中的数，则称为数域。 常用的数域：有理数域；实数域；复数域。而自然数集N和整数集Z都不是数域。定理5 任何数域都包含有理数域为最小数域。 证明 设F为任一数域，由数域的定义知，,由此可得，对任一正整数，均有：，所以，任意的，而，由有理数可以表示成两个互质整数的商可知，有理数域是最小数域。定义10 设是一个非空集合，是一个数域，（1）在中定义一个“+”运算，使得对,有唯一的，则称集合对“+”运算是唯一和封闭的，并称“+”为中的加法运算； （2）在和数域中定义一个“*”运算，使得对；，有唯一的，则称集合对“*”运算是唯一和封闭的，并称“*”为和中的数乘运算。 我们经常将集合和数域中定义的加法和数乘运算合起来称为线性运算。 本节作为预备知识给出的内容，只是为了本书后续所学知识需要用到的基础知识的复习内容，并没有给出相关概念的全部性质，同时也省略了相关的例题。1.2 线性空间 线性空间是线性代数中所涉及到的向量空间在元素和线性运算上的推广和抽象，也是全书的理论基础，本节将给出线性空间、子空间、基底和维数等相关概念。 1.2.1 线性空间的概念与性质定义1 设是一个非空集合，是一个数域，在和上定义了唯一封闭的 “+”和“*”运算，如果对和，满足如下八条法则：1) ；2) ；3) 在中存在元素,使得,有（称为的零元素）；4)对,在中存在元素，使得 (称为的负元素，记为)；5) ；6) ；7) ；8) ；则称为数域上的线性空间，记作， 集合中的元素，称为线性空间中的元素或向量。可以看到，一个线性空间的构成，需要一个非空集合和一个数域，同时还维系着两种满足要求的运算，所以，一般谈到集合是线性空间时，需要说明是哪一个数域的线性空间，但有时，在不需要特别强调数域时，线性空间也简记为。例如，线性代数中的维向量空间，就是实数域上的线性空间，也是一个非常重要的线性空间。例1 全体n维复向量所构成的集合，对通常向量的加法和数乘运算构成复数域上的线性空间。称为复向量空间，记为：。 例2 所有复矩阵，对通常矩阵的加法和数乘运算构成复数域上的线性空间，称为矩阵空间。记为：。例3 数域F上次数小于的多项式的全体构成的集合对通常多项式的加法和数乘运算构成数域上的线性空间，称为多项式空间。记为： 其中：。而仅由n次多项式的全体构成的集合不构成线性空间。其中：。例4 区间上连续实函数全体所构成的集合，对通常函数的加法和数乘运算构成相应实数域上的线性空间，称为函数空间，记为。对于数域上的线性空间，当数域为实数域时， 称为实线性空间；数域为复数域时，称为复线性空间。 以上给出的线性空间的举例，是常见的一些线性空间，在一个线性空间中，所研究的对象，如中的向量、中的矩阵、中的多项式和中的连续函数等在其对应的线性空间中都可以称为“向量”。所以，在本书中的“向量”，不局限于和中的元素，也有其拓展性的含义。另外，在线性空间中定义的“加法”和“数乘”运算，已不再局限在数的加法、数乘的概念中，下面举例说明。例5 在集合全体正实数，对和，定义其“加法”及“数乘”运算为： , ，试证明：是实数域上的线性空间。证明 唯一性显然；若, ，则有， 封闭性得证。下证八条性质：（1）；（2） ；（3） 所以，存在是零元素； （4） 所以， 是的负元素 ；（5） ； （6） ； （7） ； （8） 。 由此知，是实数域上的线性空间。例6 设集合，对于通常上的加法和数乘 ，试验证是否是实数域上的线性空间。证明 任取，其中，则：,对加法运算不封闭，所以不是上的线性空间。 在例6中，也可以通过中没有零元素等其他理由来说明不是线性空间。下面给出线性空间的简单性质。定理1 设为线性空间，则有如下性质： （1）零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的。（2），。（3）。（4）若，则一定有或。（5）对任意的，如果，则必有：。 定理1中的性质证明略。 1.2.2 中的向量组的相关概念和性质 在线性代数中，向量空间是线性空间的特例，由中的一些向量构成的的子集称为中的向量组，伴随着这个概念的产生，自然也有中向量组的若干个诸如线性相关和线性无关等概念和性质产生，我们在前面已经说过，线性空间中的元素也称为“向量”，虽然中的向量比中的向量的含义更为广泛，但向量组和线性相关等概念和结论却与其类似，下面对中的这些概念做简单的叙述。定义2 设是线性空间，是中的一组向量，若对于中向量，存在，使得： （1-1）则称是的线性组合，也称可由线性表示。定义3 设是线性空间， 是中的一组向量，若存在，使得： （1-2）则称线性相关，否则称线性无关。 从定义可以看出，中的一组向量线性无关当且仅当如果（1-2）式成立，必有。中含有零向量的向量组必线性相关；由一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该向量是零向量，而线性无关当且仅当该向量是非零向量。定理2 设为线性空间，若线性无关，而线性相关，则可由唯一的线性表出。例7 在中，向量可由向量组，线性表示，即： 。例8 在中，是线性无关的，而是线性相关的。在线性空间中的向量组之间，也有如下的几个定义。定义4 设为线性空间，；为中的两个向量组，如果A中任一向量可由B组向量线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示，如果向量组A和向量组B可以互相线性表示，则称向量组A和向量组B等价。定义5 设为线性空间，为中的向量组，如果A中有个向量线性无关。而任意（如果有的话）都线性相关，则称这个向量为向量组A的一个极大无关组。 在中，向量组的极大无关组未必唯一，但极大无关组所含向量个数相等。定义6 设为中的向量组，如果A的极大无关组所含向量个数为，则称为的秩，记为。例9 在中，是的一个极大无关组，也是的一个极大无关组， 。定理3 线性空间中的向量组具有如下性质： (1)向量组线性相关的充要条件是其中有某个向量可由其他向量线性表示。(2)若向量组有某一个子向量组线性相关，则向量组线性相关。(3)若向量组线性无关，则其任意非空子向量组也线性无关。1.2.3 线性空间的基底、维数与坐标以上已经给出了线性空间的基本概念，为了对线性空间有更进一步的刻画，下面依赖于空间中向量组的线性相关和无关性给出基底与维数的定义。定义7 设是线性空间，若满足： (1)，线性无关；(2)，任意的，都可由线性表示。则称为线性空间基底（简称基），并称基底所含向量的个数为线性空间的维数，记作：。此时称作有限维线性空间，简记为或。显然，有限维线性空间的基底不唯一，但维数唯一。 如果对于任意的，均可在线性空间中找到个线性无关的向量，则称是无限维的线性空间。只含有零向量的线性空间的维数为0。 如果把线性空间就看成是一个大的向量组，那么的基底就相当是这个向量组的一个极大无关组，对于有限维线性空间，其个数与维数相同的极大无关组都可以作为的基底。例10 复数域上的向量空间中，与都是的基。的维数。一般称为的自然基底。例11 在矩阵空间中，令：则中的这个向量为的一组基（自然基底）， 。例12 在多项式空间中，是的一个基，。也是的一个基。其中为的自然基底。例13 区间上连续实函数全体所构成函数空间，对任意的正整数，总能找到个中的线性无关的向量，所以，是无限维的。如果将线性空间用维数来分类，则分有限维和无限维两大类，（只含零向量的0维线性空间 属于有限维）。定义8 设是数域上的维线性空间，是的基底，对，可由基唯一表示，表达式为：称为向量在基下的坐标。在线性空间中，向量在基坐标为数域F上的维向量，即。并且，向量在不同基底下的坐标是不相同的。 例14 在例7的中，向量在中的自然基底，下的坐标为：。 1.2.4 基变换与坐标变换我们知道，有限维线性空间的基底是不唯一的，而对于线性空间的任意一个向量，在不同基底下会有不同的坐标，下面将研究有限维线性空间不同基底之间的联系和向量在不同基底下的坐标之间的联系。 设是维线性空间，和为的两组基，用来表示中的每一个如下： （1-3）可以看到，是在基底下的坐标，将式（1-3）写成如下形式： （1-4） 由此得到如下定义。定义9 称（1-4）为基变换公式。称(1-4)中的为由基到基的过渡矩阵。其中P的第列，是在基下的坐标。定理4 过渡矩阵是可逆的。证明 因为是的基底，所以是线性无关的，所以只有零解，而由得到：，再由线性无关可得，即只有零解，所以，过渡矩阵P是可逆的。例14 设的两个基是， ,求由基到基的过渡矩阵。解答 由可得： ,所以，。即由基到基的过渡矩阵。例15 设线性空间中的两组基分别为：，；，求第一组基到第二组基的过渡矩阵。解答 根据公式有 ，又由于构成过渡矩阵的列就是在基下的坐标，所以，过渡矩阵为： 。定理5 设与是维线性空间的两组基，为由到的过渡矩阵，对中向量，它在两组基下的坐标分别为与，则： = （1-5）证明 因为且所以有 （1-6）而，将其代入（1-6）得到 （1-7）对比（1-7）式的两端，又由线性无关性，从而得到=。（1-5）式给出了中向量在不同基下坐标之间的关系，称为坐标变换公式例16 设的两个基分别是（）：；（）：（1） 求由基底（）到基底（）的过渡矩阵；（2） 若，在（）下的坐标为，求在基（）下的坐标。 解答：设为自然基底，即：，则 （1-8） （1-9）（1）设由基底（）到基底（）的过渡矩阵为P，根据定理可得： （1-10）将（1-8）和（1-9）带入（1-10）中得到：由此得到过渡矩阵。 （2）设在基（）下的坐标为则如上的例题告诉我们，求有限维线性空间的由基（）到基（）的过渡矩阵时，可以采用“中介”的办法，即首先选取中的简单基，使得基底（）和（）中的元素在该基下的坐标可以直接写出，然后写出由简单基改变为基（）和基（）的过渡矩阵。例17 已知是3维线性空间的一组基，向量组满足，（1） 证明：也是的一组基；（2） 求由基到基的过渡矩阵；（3） 求向量在基下的坐标。解答 （1） 由于向量组，满足，因此因为，所以可逆，且。于是，故，则。因此线性无关，且为的一组基。（2） 由（1）知，则基到基的过渡矩阵为。（3） 由因此，向量在基下的坐标是。定理6 任何有限维线性空间中的向量（ ）线性无关当且仅当在同一基底下的坐标是线性无关的。例18 验证，是的一组基，并求在该组基下的坐标。解答 向量组在自然基底下的坐标分别为，且线性无关，则线性无关。又由于是4维空间，则是的一组基。设，即得方程组求解方程组可得在该组基下的坐标为。例19 验证是实多项式空间的一组基，并求在该组基下的坐标。解答 由即在自然基底下的坐标构成了一个可逆矩阵，则是的一组基。设又由，得到。解得，即在基下的坐标为。1.2.5 线性空间的同构设是数域上的维线性空间， 是的一组基，在这组基下，中每个向量都有确定的坐标，即，在下的坐标可以看成向量空间中的元素，因此，可以说向量与它在基底下的坐标之间实质上就是有一个到的对应关系，即映射，显然这个映射是单射与满射，换言之，线性空间中的向量在给定一组基下的坐标给出了线性空间与的一个双射，这个对应的重要性表现在它与运算的关系上，设，在基下：向量的坐标分别是,，则；。于是向量，的坐标分别是和,以上的式子说明对于有限维线性空间，在同一基底下，将向量用坐标表示之后，它们之间的运算可以归结为它们的坐标运算；下面给出同构的概念，用以来说明任何有限维线性空间与同维数的向量空间之间的一种关系。定义10 设与为数域上的两个有限维线性空间， 若存在一个双射，对和，有：1）；2) 。则称线性空间与为同构的，映射称为同构映射。由此可见，在维线性空间中，取定一组基后，向量与它的坐标之间的对应就是到的一个同构映射。因而，有如下结论：定理7 数域上任一个维线性空间与同构。定理8 设与为数域上的两个有限维线性空间，是同构映射，则有：（1） ；（2）；（3） 线性空间中向量组线性相关的充要条件为它们在同构映射下的象线性相关。定理9 同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积仍是同构映射。同构作为线性空间之间的一种关系，具有反身性、对称性与传递性。既然数域上任意一个维线性空间都与同构，数域上任意两个维线性空间都同构。定理10 两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数。在抽象的线性空间讨论中，并没有考虑线性空间的元素是什么，也没有考虑其中运算是如何定义的，而只涉及线性空间在所定义的运算下的代数性质。从这个观点看来，同构的线性空间可以不加区别。并且，对于维线性空间来说，很多性质都可以通过向量空间来讨论。1.3 线性子空间1.3.1 线性子空间的概念与性质定义1 设是线性空间的一个非空子集，如果对上的加法和数乘两种运算也构成数域上的线性空间. 则称为的一个线性子空间。线性子空间有时经常简称为子空间。在验证的一个非空子集是否是子空间时，是否一定要对于上的加法和数乘两种运算在上逐一验证线性空间定义中的封闭唯一性和八条法则呢？如下定理将给出结论。定理1 数域上线性空间的一个非空子集是的一个子空间充要条件是对有。由定理1可见，只需对非空子集验证对加法和数乘运算的封闭性即可。线性空间中的由单个的零向量所组成的子集是一个子空间，称为的零子空间；线性空间本身也是的一个子空间。零子空间和线性空间本身这两个子空间称为的平凡子空间， 的其它子空间称为的非平凡子空间。由于线性子空间本身也是一个线性空间，所以，子空间和整个空间共有零元素，同时，上节引入的维数、基、坐标等概念都可以应用到子空间上。显然，线性空间无论是有限维还是无限维，其子空间的维数不可能超过整个空间的维数。 例1证明是的子空间，并求及一组基。解答 证明是的子空间略。因为,所以非空，下证对中的加法和数乘运算满足封闭性。任取和，则有，并且，从而由本节定理1知V是的子空间。下面求及的一个基。对，有，即中任一元素A都可由线性表示，而容易证明线性无关，所以；为的一个基。可见例2 齐次线性方程组的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间。是线性空间的子空间，解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于，其中为系数矩阵的秩。例3设为的一个子集，验证是的子空间，并求维数和一组基。解答 由于，即非空；对和 ，,所以是的子空间； 又由于，而且线性无关，所以，为的一组基。例4 判断的下列子集是否构成子空间，若是，求子空间的维数和一组基。（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。解答 （1） 取，有， ，因为， ，故不是子空间。（2） 取，则有，从而，因为，所以，故不是子空间。（3） 因为，所以非空。任取，设，且，。则且，则；且，则。所以是的子空间。任取，则由于线性无关，所以是的一组基，且。（4） 设，则，因为，所以， 对数乘运算不封闭， 不是子空间。定义2 设是数域上的线性空间，称由这组向量所有可能的线性组合所成的集合为由生成的子空间，记为：或。显然，作为的子集对两种运算封闭且是非空的，满足子空间的要求，因而是的一个子空间。有了生成子空间的定义，任何维线性空间，都可以看成是由其一组基所生成。即若是的一组基，则有。线性空间的生成子空间，是一类非常重要的子空间，也有很多重要而实用的性质，下面给出定理。定理2 设为维线性空间，与是中的两组向量，则有如下结论：（1）的充要条件为向量组与向量组等价。（2） 证明 （1）必要性，假设，则对 ，显然有，即可由线性表示，所以，向量组可由向量线性表示。同理可证明向量组可由向量组线性表示。即向量组与向量组等价。充分性：假设向量组与等价，取，则可由向量组线性表示，由充分假设，每个都可由向量组线性表示，所以可由线性表示，；同理可以证明：。（2）设向量组的秩为,不妨假设为向量组的一个极大无关组，则由（1）知，由此可见，就是的一个基，即。定理3 （基扩充原理）设是的子空间，若是的一组基，则在中存在个向量使得是的一组基。 证明 对采用归纳法：当时，就是的一组基，结论正确；假设当nmk时结论成立，往证 nmk1 的情形：因为是的基，则线性无关，又由于，且，则在V中必有向量使得线性无关，由此得到维的生成子空间。由于n(m1)(nm)1(k1)1k，由归纳假设的基可以扩充到整个空间的一组基，由归纳原理定理得证。例5 证明是的子空间，并求与的一个基。解答 对于和，满足，并且：，从而可知，V是的子空间。，并且的一组基为，和。例6 求齐次线性方程组的解空间的维数和一组基。解答 对系数矩阵 A 作初等行变换,将其变为行最简形矩阵由此得到同解方程：解得：， 所以，解空间的维数为2，为其一组基。定理4 设，则（1）为的子空间；（2）为的子空间；（3）为阶方阵时，则为的子空间。证明（1）因为，即，非空；对，对, 所以，为的子空间。 （2）因为，即，非空；，有：，,，所以，为的子空间。（3）因为，即，非空；对，有，所以，即：；任取，即，所以，为的子空间。定义3 称和分别为为矩阵的值域与核。而称为矩阵的相对于特征值的特征子空间。 又被称为矩阵A的列空间；又被称为矩阵A的化零子空间。定理5 设，且，则有如下结论：（1）；（2）；（3）。证明 （1） 可见中的元素都是的线性组合，即。（2）由（1）知，则由定理2和线性代数知识知： ，即：。（3）由于是方程组的解空间，所以，由（2）知，即。例7 设 ，（1）求生成子空间的基及维数；（2）设，求的基及维数；（3）求的基及维数。解答 （1）由定理5（1）知 得,所以，由于是的一个极大无关组。故是的一组基。（2）由于是的解空间，并且，即取，则 ，从而是的一组基，且。（3）由于，又由（1）得到的一组基是且。 从定理5我们看到，给定一个矩阵，所谓的值域，就是将看成个中的向量后，由这些向量所生成的的子空间，而即是以矩阵为系数矩阵的齐线性方程组的解空间，并且的维数和的维数之和等于矩阵的列。1.3.3 子空间的运算定理6 设、是线性空间的两个子空间，则： （1）集合为的子空间； （2）集合为的子空间。证明（1）因为、都是子空间，所以，即非空；， ，所以；对加法运算封闭；， 所以，对数乘封闭，所以是的一个线性子空间。（2）因为、都是子空间，所以，即非空； ，使得：，由于，所以；即对加法满足封闭性 ，使得， 由于，所以 对数乘满足封闭性，是的子空间。定义4 设、是线性空间的两个子空间，则子空间、分别称为子空间和的交子空间与和子空间。显然，不仅仅是的子空间，也是和的子空间；而两个子空间和的并只是的子集未必是的子空间。例8 在中，令，则显然，但。关于交空间与和空间的维数与基底问题，我们给出如下常用的定理。定理7 设V是数域上的线性空间， 和为V中的两组向量，令；，则： 。证明 ，而和分别可由和线性表示，则可由线性表示，即，；反之，则使得：，即， ，所以。 定理7给出了已知子空间，求的一种方法。定理8 设V是数域上的线性空间， 、是的子空间，则有：证明 设，只需证设是的一个基，根据基扩定理存在：，使得成为的一个基；，使得成为的一个基；即有：;,由定理7，下证 线性无关，假设等式：成立，令： （1-13）则有即可由线性表示，再令，则，即 ，由于线性无关所以有；因而，。由（1-13）得到，由线性无关，得到：，由此证明了线性无关，并为的一个基，即，于是：。例9 设，其中， ，,求与的交与和的维数和基。解答 由定理知，考虑向量组的秩和极大线性无关组，对矩阵作初等变换，则为向量组的极大线性无关组，故 ，是的一组基；又因为，由维数定理知，设，则有：，即，求其通解为，为任意常数.则，故，是的一组基。例10 设的两个子空间为，（1） 将表示为生成子空间；（2） 求的基和维数；（3） 求的基与维数。解答 （1） 先将表示成生成子空间，因为齐次线性方程组的基础解系为：，。所以的一组基为，。于是，从而有。（2） 向量组在的自然基，下的坐标依次为，。向量组，的一个极大无关组为，从而向量组的一个极大无关组为，它们构成的一组基，且。（3） 设，则有数组，使得，即：比较上式等号两端矩阵的对应元素可得求得该齐次线性方程组的通解为于是可得：故的一组基为，且。对于数域上维线性空间，若与是它的两个子空间，且由定理我们知道，故的一个极大线性无关组就是子空间的一个基， 从而的基底核维数是容易确定的，现在的问题是如何由的生成元和求出的一个基，并由此得到的维数，例9和例10给出了一种子空间交的基与维数的确定方法。但是，例9和例10可以看出，我们是通过解齐次线性方程组求出组合系数作为交子空间中的向量，进而确定的基与维数，而且在上述两个例题中，的维数都是是1，这是否为必然呢？答案是否定的。进一步分析如下，设令 显然，的充要条件是存在，使（I），即是向量方程；（II）的解，也就是与之等价的含个未知数个方程的齐次线性方程组 （III）的解；反之，齐次线性方程组（III）的任一解所确定的向量必属于，因此只要求得（III）的一个基础解系是（III）的解空间的维数就得到了的一组生成元 或 显然：（III）的未知数的个数的生成元的个数的生成元的个数（III）的系数矩阵的秩=秩（III）的解空间的维数=（III）的未知数的个数系数矩阵的秩=。所以，当生成元的个数=秩；生成元的个数=秩时，即与都线性无关，正好分别是与的基时，（III）的解空间的维数正好等于的维数，这样只要求出了（III）的一个基础解系，就可以立即写出的一个基。在上俩例中，由于的生成元的个数，的生成元的个数，即和正好是与的基，这个条件决定了方程组中的解空间维数与交空间的维数相等，如果没有这个条件，则（III）的解空间的维数，就不等于交空间的维数，为说明这一点，再看一例：例11 设, ，求的基与维数。 解答 令，则存在，使得，即由此得到即有： （1-14）（1-14）的系数矩阵，经行的初等变换可化为：，因为所以（1-14）的解空间维数是3，易知， , 是（1-14）的一个基础解系，故有：， ，由此可知是的一组生成元，即，容易算出， 而。根据维数定理，可以得到，求得的一个极大线性无关组就是的一个基。综上所述，一般情形下的解空间的维数不一定就等于空间的维数，但由（II）的一个基础解系：可以求得中的一组向量（或而交空间中任一向量都是它们的给性组合故只要求出的一个极大线性无关组，就可