向量与空间想象力.doc

向量与空间想象能力首都师范大学 王尚志北大附中 张思明首都师范大学 胡凤娟西安市教研室 汪香志内容摘要：向量是高中数学课程的重要组成部分。高中数学教师有必要对高中向量部分有一个正确的理解。本文将阐述用向量来处理立体几何问题能使问题变得简单，同时又不削弱空间想象能力的发展。本文将对以下几个部分进行讨论：空间想象能力与高中几何课程目标，高中几何概念与空间向量，距离、交角与算法，三垂线定理与空间向量，用空间向量讨论立体几何的某些问题，我们提供一些思考的角度，希望通过这些讨论，提供高中数学教师理解高中几何中的向量。关键词：空间向量，空间想象能力，三垂线定理，距离，交角1、空间想象力与高中几何课程目标普通高中数学课程标准在“课程目标”中指出：“提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据推理等基本能力”； 普通高中数学课程标准在“内容标准”中指出：“三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求”。在高中数学中，“空间想象能力”的培养是依托内容实现的，在必修2的几何课程中，直观图、三视图、空间基本图形（点、线、面）的位置关系等是培养“空间想象能力”的载体，对于希望在理、工科发展的学生来说，选修2中“空间向量与立体几何”是培养“空间想象能力”的又一载体。在学习这些内容的过程中，提升学生的“空间想象能力”； “空间想象能力”的增长，又有助于学生理解这些内容的数学本质，内容的学习与能力的培养是不可分割的。例如：“逻辑推理能力”的培养，是可以用多种载体来实现的，下象棋、下围棋、打桥牌等都有助于培养“逻辑推理能力”，在数学课程中，我们是通过具体的数学内容来培养“逻辑推理能力”的；反之，“逻辑推理能力”的增长，有助于对设定的数学内容的理解。“内容目标”和“能力目标”是相辅相成的。在这里，我们着重来讨论“空间向量与立体几何”与培养“空间想象能力”之间的关系。首先，我们应该清楚“空间向量与立体几何”要解决的基本问题，主要是讨论基本图形（点、线、面）的位置关系，而主要是平行关系和垂直关系，这两种关系是数学中的基本关系，在大学的几何课程和其他数学课程中，这两种关系都起到非常重要的作用；另一个任务是讨论空间图形的度量关系，主要是距离和角度，面积和体积及其他度量关系在大学还会继续学习。在与这些问题有关的概念、求解过程、定理的证明和应用学习过程中，提升“空间想象能力”。“空间向量”是学习的内容，也是提升“空间想象能力”的载体，同时也是研究空间图形性质的基本工具和方法，不仅在讨论高中几何中有重要的作用，这种方法在以后的数学学习中，也是基本的和重要的，是我们老师经常说的“通性通法”。有人指出：“空间想象能力”是“对于客观事物的空间形式（形状、结构、度量及位置关系）及其符号表示想象和再造想象的能力”，而培养学生的“空间想象能力”应结合观察力、记忆力和思维能力的提高来进行。这些观点一定要结合学习的内容，射影几何有射影几何的内容，泛函有泛函的内容等，它们都是培养“空间想象能力”的载体。2、高中几何概念与空间向量 在这里我们主要讨论距离、角度等概念与向量的关系，即用向量的观点认识距离和角度与综合几何认识距离和角度之间的差异，以及对“空间想象能力”的影响。(1)距离 空间距离问题主要是点到直线、两平行直线、两异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两平行平面之间的距离，而其中点到直线、点到平面的距离是基础，其他几种距离问题一般都可以化归为求这两种距离。“点到直线的距离”的定义：过点向直线作垂线，垂足为则线段的长就是点到直线的距离； 用向量的方法理解：先确定直线的方向向量，再在点和直线确定的平面上，找出直线的法向量，然后在直线上任取一点，确定向量，那么向量在向量上的投影的绝对值就是“点到直线的距离”。 “点到平面的距离”：根据已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为A，则唯一，的长是点到平面的距离。用向量的方法加以理解：先描述平面的方程，再求出平面的法向量，然后在平面直线上任取一点，确定向量，那么向量在向量上的投影的绝对值就是“点到平面的距离”。“平行于平面的直线与该平面的距离”可以转化为“点到直线的距离”问题，即：“平行于平面的直线与该平面的距离”可以看成是直线上任意一点到平面的距离。“两平行平面的距离”：指两平面之间的距离。即：平面的法向量在两平面之间的长度，是图五中的长度。“异面直线的距离”：指两异面直线的公垂线在这两异面直线间的线段的长度。这里公垂线并不好找，那么我们有两种方法来转化这个问题：设两异面直线为。第一种是：在直线上分别任意取两点，过点作直线，则与可以确定一个平面；再过点作直线，则与可以确定一个平面，则平面与平面之间的距离就是异面直线之间的距离。到了这里就转化成了“两平行平面之间的距离”了，问题在上面已经得到解决。第二种是：在直线上任意取一点，过点作直线，则与可以确定一个平面；再过直线，作一个与平面垂直的平面，则平面与平面相交于直线，则直线与直线之间的距离就是异面直线之间的距离。到了这里就转化成了“平行于平面的直线与该平面之间的距离”了，问题在上面已经得到解决。可以看出，我们用到的向量和法向量都是自由向量，那么在解决空间距离问题的过程中，我们寻找需要的向量就更简单，问题更加容易得到解决了。(2)交角 空间交角问题主要是两相交直线、两异面直线、直线到平面、两平面的的交角，而其中两相交直线之间的交角是基础，其他几种交角问题一般都可以化归为求这种交角。“两相交直线的交角”：两相交直线的交角可以概括为：从一条直线到另一条直线的角中，把其中不大于直角的角叫做两直线的交角。用向量来解释就是，与两直线的方向向量所成的角有关，如果是钝角，则是两直线的交角；否则，就是两直线的交角。“两异面直线的交角”：直线是两条异面直线，经过空间任意一点，作直线，并使。我们把直线所成的角叫做异面直线所成的角。用向量来解释就是，与两直线的方向向量所成的角有关，如果是钝角，则是两直线的交角；否则，就是两直线的交角。这与用向量解释“两相交直线的交角”是完全一样的。“直线和平面的交角”：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。用向量解释就是，与直线的方向向量和平面的法向量所成的角有关，如果是钝角，则是两直线的交角；否则，就是两直线的交角。“二面角的平面角”：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两挑直线所成的角。用向量解释就是，与两平面的法向量所成的角有关，如图，分别为二面角的法向量，则与二面角的平面角互补。但由于二面角的大小范围是，而法向量的方向又是不确定的，故，钝或锐二面角依图确定。可以看出，向量的点乘在求交角问题当中的重要性。3、距离、交角与算法前面我们已经分析了距离的概念和向量的理解，我们再用下面的图来表示以上的理解，从这些图里我们发现了什么共同的东西？距离都是向量在法向量上投影的绝对值。图（1）中线段 的长度“点到直线的距离”； 图（2）中线段的长度是“点到平面的距离”； 图（3）中线段的长度是“平行于平面的直线与该平面的距离”； 图（4）中线段的长度是“两平行平面的距离”； 图（5）中线段的长度是“异面直线的距离”。这就是我们老师通常说的“通性通法”。我们再观察下面几个图：图（6）中只要求出向量的的夹角，那么直线的交角根据前面的分析就可以知道了；图（7）中只要求出向量的的夹角，那么异面直线的交角根据前面的分析就可以知道了；图（8）中只要求出向量的的夹角，那么直线与平面所成的角根据前面的分析就可以知道了；图（9）中只要求出向量的的夹角，那么根据前面的分析二面角的大小也就知道了。在使用向量求解距离和交角问题的过程中，依然需要画图，需要根据图形进行合理的想象。这样的一项工作一定要让学生自己去做，让学生在自己动手操作的过程中，仔细的体会。在空间向量的学习过程中，依然能够使得学生的“空间想象能力”得以提高，与综合几何的方法相比较，这并没有削弱“空间想象能力”的发展。如何培养“空间想象能力”，一定使学生能够看懂图，脑子里有图，能把图和对概念的认识、理解和求解过程联系起来，在这样的一个过程中慢慢的提升了学生的“空间想象能力”。 4、三垂线定理与空间向量三垂线定理及其逆定理：平面外的一条直线，在平面的投影内的射线为，直线，若 ，则 ；（三垂线定理）若 ，则 （三垂线定理的逆定理）关于三垂线定理的证明，从图上一目了然，上的一点向平面做垂线，这个垂线与直线垂直。因此，可以看出，如果，那么就与直线和直线所在的平面垂直，当然，就一定垂直于这个平面上的直线。同样的，可以看出，如果，那么就与直线和直线所在的平面垂直，当然，就一定垂直于这个平面上的直线。三垂线定理及其逆定理，可以帮助我们建立空间想象力。用空间向量认识三垂线定理及其逆定理我们构造另外一个图。从向量的角度来说，向量是直线的方向向量；向量是直线的方向向量；直线上的点向平面做垂线，向量就是这条垂线的方向向量，当然，它也是平面的法向量；向量是直线在平面投影的方向向量。这样三垂线定理及其逆定理可以表述为：若向量垂直于向量，则向量垂直于向量。（三垂线定理）若向量垂直于向量，则向量垂直于向量。（三垂线定理的逆定理） 从条件我们知道，向量是平面的法向量，它垂直于平面的任何一个向量，当然它也垂直于向量，即。有了这个准备，三垂线定理及其逆定理的证明就很明显了。关于三垂线定理的证明，由于，即。我们知道，向量和向量是不共线的，向量和向量的线性组合可以表示它们所在平面的任何一个向量，所以向量可以用它们的线性组合表示，即。那么向量与向量是否垂直的问题，就可以用向量点乘的运算来进行讨论。于是我们有：这样我们就完成了证明。从上面的证明过程看起来，比综合几何的证明要长一些，我们希望老师能关注这样一个问题，在上面的证明中，那些加黑的部分，是我们在向量教学中，帮助学生掌握的内容，把向量的概念、向量的代数运算、以及它们的几何意义等融入学生的头脑，例如，一点和两个不共线的向量可以唯一的决定一个平面，一点和一个法向量也可以决定唯一的一个平面，等等。使学生接受这种思维方式，变成一种“下意识的思维”，有了这样的准备，向量的证明就变得非常简单了。为了使老师有一个深刻的印象，我们做一个类比，我们在学习因式分解公式方法的时候，例如，理解这个公式，需要用到乘法对加法的分配律，在这部分的教学中，我们希望这种认识变成一种“下意识的思维”，以至于使我们感到这是天经地义的事，好像我们没有进行推理一样。三垂线定理的逆定理的证明也是一样的，我们就不再重复了。这两种证明的比较：上面我们提供了两种证明的方法，前一种我们通常称之为综合几何的证明方法，后一种是向量几何的证明方法。在这里，我们不去比较究竟哪一种证明比哪一种证明更简单，因为简单是一个相对的概念，它依赖于我们所拥有的知识背景。我们只想向老师介绍，在今后的学习中，我们更多要用到的是向量几何的方法。正如我们前面反复强调的，向量进入高中数学，是数学教育内容的一个重大举措，我们相信经过一段时间的适应，老师会逐渐的理解和接受这种处理方式，使中学的学习内容和大学的学习内容建立起更自然的联系。5、用空间向量讨论立体几何的某些问题例1全国卷1如图，已知四棱锥 PABCD，PBAD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120.（I）求点P到平面ABCD的距离；（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.分析：对于第一问，用综合几何的方法和向量的方法难度是相同的。而对于第二问，要求面APB与面CPB所成二面角的大小，我们不大容易找到所求的角，在这样的情况下，用向量来解决问题，就可以使问题变得非常简单。但是，使用向量来处理问题，非常重要的一点就是建立合适的直角坐标系，需要注意的是坐标系的建立并不唯一。根据题目中的条件，PBAD和侧面PAD为边长等于2的正三角形，不难发现建立如图所示的直角坐标系即可。这样各个点的坐标也可以根据题目中的条件求出来。问题就变得非常简单了。（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.连结AG.又知由此得到：所以等于所求二面角的平面角，10分于是所以所求二面角的大小为.12分解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AGPB，FG/BC，FG=BC.ADPB，BCPB，FGPB，AGF是所求二面角的平面角.9分AD面POB，ADEG.又PE=BE，EGPB，且PEG=60.在RtPEG中，EG=PEcos60=.在RtPEG中，EG=AD=1. 于是tanGAE=，又AGF=GAE. 所以所求二面角的大小为arctan.12分例2天津 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F。 （1）证明PA/平面EDB；（2）证明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小。分析：根据题意“底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD”，建立如下图的直角坐标系是非常自然的事情，有了坐标系，根据前面介绍的方法，在大脑里我们就已经知道这个问题我已经拿下了。这有利于减轻学生的思想负担，增强学习数学的自信心。同时，在求解的过程中，依然需要观察、思考、推理、判断，能使学生的“空间想象能力”得到提高。如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设。（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG。依题意得。底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为且。，这表明PA/EG。而平面EDB且平面EDB，PA/平面EDB。（2）证明；依题意得，。又，故。由已知，且，所以平面EFD。（3）解：设点F的坐标为，则。从而。所以。由条件知，即，解得点F的坐标为，且，即，故是二面角CPBD的平面角。，且，。所以，二面角CPBD的大小为。通过这两个例子的比较，能看到用向量解决问题