山东省德州市高三数学下学期考前50题系列.doc

三角函数 1、已知向量，函数（）求的最大值及相应的的值；（）若，求的值解：（）因为，所以因此，当，即（）时，取得最大值；（）由及得，两边平方得，即因此，2、设函数f(x)=cos2x +sinx cosx+a(其中0,ar),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为。（）求的值；（）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值。解析：（i）依题意得 （ii）由（i）知，。又当时，故，从而在区间上的最小值为，故3、在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，求的值。解析：（1）因为锐角abc中，abcp，所以cosa，则（2），则bc3。将a2，cosa，c代入余弦定理：中，得解得b。4、已知a、b、c是三内角，向量，且，（）求角a；（）若解析：（） ，即，；，。（）由题知，整理得， ；或，而使，舍去；。5、已知abc的三个内角a、bc成等差数列，其外接圆半径为1，且有。（1）求a、bc的大小；（2）求abc的的面积。解析：a+b+c=180且2b=a+c，b=60，a+c=120，c=120a。，=， 又0a4，有解：解（1）化简即即 由a1=1，故数列是以为首项，公比为2的等比数列。故即（2）由已知得故5、已知数列中，且（且）（1）若数列为等差数列，求实数的值；（2）求数列的前项和解：（1）方法1：， 设，由为等差数列，则有 解得 事实上， 综上可知，当时，数列为首项是、公差是1的等差数列 方法2：数列为等差数列， 设，由为等差数列，则有（） 综上可知，当时，数列为首项是、公差是1的等差数列 （2）由（1）知， 即令， 则 ，得 导数1、设函数（1）求函数的单调递增区间；（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围解：（1）函数的定义域为，1分，2分，则使的的取值范围为，故函数的单调递增区间为 4分（2）方法1：，6分令，且，由在区间内单调递减，在区间内单调递增，9分故在区间内恰有两个相异实根12分即解得：综上所述，的取值范围是14分2、已知，（），直线与函数、的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1（）求直线的方程及的值；（）若（其中是的导函数），求函数的最大值；（）当时，求证：解：（）依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率，所以直线的方程为又因为直线与的图像相切，所以由，得（不合题意，舍去）；（）因为（），所以当时，；当时，因此，在上单调递增，在上单调递减因此，当时，取得最大值；（）当时，由（）知：当时，即因此，有4、已知 ，其中.（）求使在上是减函数的充要条件；（）求在上的最大值； （）解不等式解：（1）. , 时，即. 当时，, 即. 在上是减函数的充要条件为. （4分） （2）由（1）知，当时为减函数，的最大值为； 当时，当时，当时， 即在上是增函数，在上是减函数，时取最大值，最大值为， 即 （13分） （3）在（1）中取，即, 由（1）知在上是减函数. ，即， ，解得或. 故所求不等式的解集为 （8分）5、已知函数，设。（）求f（x）的单调区间；（）若以图象上任意一点为切点的切线的斜率 恒成立，求实数的最小值。（）是否存在实数，使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说名理由。解.() 由。 （） 当 4分（）若的图象与的图象恰有四个不同交点，即有四个不同的根，亦即有四个不同的根。令，则。当变化时的变化情况如下表：(-1,0)(0,1)(1,)的符号+-+-的单调性由表格知：。画出草图和验证可知，当时， 12分5、已知函数（）若，求证：；（）是否存在实数，使方程有四个不同的实根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.理解：（i）令 则（4分） 因 故函数上是增函数.又处连续，所以， 函数上是增函数.时，（7分）（）令（9分）当变化时，、的变化关系如下表：1（1，0）0（0，1）1（1，+）0+00+极小值极大值0极小值据此可画出的简图如下，（12分） 故存在，使原方程有4个不同实根.（14分）解析1、已知抛物线：和点，若抛物线上存在不同两点、满足（1）求实数的取值范围；（2）当时，抛物线上是否存在异于、的点，使得经过、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由解法1：（1）不妨设a，b，且， （），即，即的取值范围为 （2）当时，由（1）求得、的坐标分别为、 假设抛物线上存在点（且），使得经过、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线设经过、三点的圆的方程为， 则 整理得 函数的导数为，抛物线在点处的切线的斜率为，经过、三点的圆在点处的切线斜率为，直线的斜率存在圆心的坐标为， ，即 ，由、消去，得 即，故满足题设的点存在，其坐标为 解法2：（1）设，两点的坐标为，且。，可得为的中点，即 显然直线与轴不垂直，设直线的方程为，即，将代入中，得 故的取值范围为 （2）当时，由（1）求得，的坐标分别为 假设抛物线上存在点（且），使得经过、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线 设圆的圆心坐标为， 即 解得 抛物线在点处切线的斜率为，而，且该切线与垂直， 即将，代入上式，得 即且，故满足题设的点存在，其坐标为 2、已知点的坐标分别是，直线相交于点m，且它们的斜率之积为（1）求点m轨迹的方程；（2）若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）解：（1）设点的坐标为， 2分整理，得（），这就是动点m的轨迹方程4分（2）方法1：如图，由题意知直线的斜率存在，设的方程为（） 5分将代入，得，6分由，解得7分设，则 8分令，则，即，即，且 9分由得，即11分解得13分，obe与obf面积之比的取值范围是14分方法2：如图，由题意知直线的斜率存在，设的方程为 5分将代入，整理，得，6分由，解得7分设，则 8分令，且9分将代入，得即11分，即解得13分，故obe与obf面积之比的取值范围是14分3、给定圆p:及抛物线s:,过圆心作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为,如果线段的长按此顺序构成一个等差数列,求直线的方程.解:圆的方程为,则其直径长,圆心为,设的方程为,即,代入抛物线方程得:,设，有, 2分则. 4分故 6分, 7分因此. 8分据等差, 10分所以，即,， 12分即：方程为或. 14分4、在平面直角坐标系中，设点(1，0)，直线:，点在直线上移动，是线段与轴的交点, .()求动点的轨迹的方程；() 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线的弦、，设、 的中点分别为求证：直线必过定点解：()依题意知，直线的方程为：点是线段的中点，且，是线段的垂直平分线.2分是点到直线的距离点在线段的垂直平分线，4分故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为：.7分() 设，直线ab的方程为.8分 则（1）（2）得，即，9分代入方程，解得所以点的坐标为10分同理可得：的坐标为 直线的斜率为，方程为，整理得，12分显然，不论为何值，均满足方程，所以直线恒过定点145、已知圆方程为：.（）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;（）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.解（）当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为 满足题意 1分若直线不垂直于轴，设其方程为，即 设圆心到此直线的距离为，则，得 3分 ， 故所求直线方程为 综上所述，所求直线为或 7分 （）设点的坐标为（），点坐标为则点坐标是 9分， 即， 11分 又， 点的轨迹方程是， 13分 轨迹是一个焦点在轴上的椭圆，除去短轴端点。 14分 6、在平面直角坐标系中，已知点、，是平面内一动点，直线、的斜率之积为（）求动点的轨迹的方程；（）过点作直线与轨迹交于、两点，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围解：（）依题意，有（），化简得（），这就是动点的轨迹的方程；（）依题意，可设、，则有，两式相减，得，由此得点的轨迹方程为（）设直线：（其中），则，故由，即，解之得的取值范围是7、已知m(-3,0)n(3,0),p为坐标平面上的动点，且直线pm与直线pn的斜率之积为常数m(m-1,m0).(1)求p点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？(2)若, p点的轨迹为曲线c,过点q(2,0)斜率为的直线与曲线c交于不同的两点ab,ab中点为r,直线or(o为坐标原点)的斜率为，求证为定值；（3）在（2）的条件下，设，且，求在y轴上的截距的变化范围.解：（1）由得，若m= -1，则方程为，轨迹为圆；若，方程为，轨迹为椭圆；若，方程为，轨迹为双曲线。（2）时，曲线c方程为，设的方程为：与曲线c方程联立得：，设，则，可得，。（3）由得代入得：，式平方除以式得：，而在上单调递增， 在y轴上的截距为b，=，。8、已知抛物线x24y的焦点为f，a、b是抛物线上的两动点，且（0）过a、b两点分别作抛物线的切线，设其交点为（1）证明为定值；（2）设abm的面积为s，写出sf()的表达式，并求s的最小值解：(1)由已知条件，得f(0，1)，0设a(x1，y1)，b(x2，y2)由，即得(x1，1)(x2，y21)， 将式两边平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，抛物线方程为yx2，求导得yx所以过抛物线上a、b两点的切线方程分别是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出两条切线的交点m的坐标为(，)(，1)所以(，2)(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以为定值，其值为07分(2)由()知在abm中，fmab，因而s|ab|fm|fm|因为|af|、|bf|分别等于a、b到抛物线准线y1的距离，所以|ab|af|bf|y1y222()2于是s|ab|fm|()3，由2知s4，且当1时，s取得最小值49、已知椭圆c1:,抛物线c2:,且c1、c2的公共弦ab过椭圆c1的右焦点.(1)当ab轴时,求、的值，并判断抛物线c2的焦点是否在直线ab上；(2)是否存在、的值，使抛物线c2的焦点恰在直线ab上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.解：（1）当abx轴时，点a、b关于x轴对称，所以m0，直线ab的方程为 x=1，从而点a的坐标为（1，）或（1，）. 因为点a在抛物线上，所以，即. 此时c2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线ab上. （2）当c2的焦点在ab时，由（）知直线ab的斜率存在，设直线ab的方程为.aybox由消去y得. 设a、b的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,则x1,x2是方程的两根，x1x2.因为ab既是过c1的右焦点的弦，又是过c2的焦点的弦，所以，且.从而.所以，即.解得.因为c2的焦点在直线上，所以.即.当时，直线ab的方程为；当时，直线ab的方程为.10、已知定点a(0,1)，b(0,1)，c(1,0)。动点p满足：。(1)求动点p的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；(2)当的最大值和最小值。 解：(1)设动点的坐标为p(x,y),则(x,y1)，(x,y+1)，(1x,y)k|2，x2+y21k(x1)2+y2 即(1k)x2+(1k)y2+2kxk1=0。若k=1，则方程为x=1，表示过点（1，0）是平行于y轴的直线。 若k1，则方程化为：，表示以(,0)为圆心，以为半径的圆。 (2)当k=2时，方程化为(x2)2+y2=1。22(x,y1)(x,y+1)(3x,3y1)，|2|。又x2+y24x3，|2|(x2)2+y21，令x2cos，ysin。则36x6y2636cos6sin+466cos(+)+46466,466，|2|max3，|2|min-3。11、已知动圆过定点，且与直线相切.(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；(2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知： 即动点到定点