湖南省常德市高三数学模拟考试题 理.doc

2013年常德市高三年级模拟考试数学（理工农医类）注意事项： 1答题前,考生先将自己的姓名、准考证号、座位号等填写清楚，并认真核对. 2选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效.考生在答题卡上按如下要求答题： （1）选择题部分请按题号用2b铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； （2）非选择题部分请按照题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； （3）请勿折叠答题卡.保持字体工整，笔迹清楚、卡面清洁. 3.本试卷共5页. 如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负. 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知是虚数单位，复数，则在复平面内对应的点位于 a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2若命题p:，则命题p的否定是 a bc d 3设，是不同的直线，是不同的平面，且. 则“”是“且”的 a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件4在abc中，若，则abc的形状为 a直角三角形 b等腰三角形 c等边三角形 d等腰直角三角形5一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体的表面积为a b c d开始n=1， s=1否s=s+nn=n+1输出s结束是图2图16已知数列中，若利用如图2所示的程序框图计算并输出该数列的第10项，则判断框内的条件可以是 a b cd7已知抛物线与双曲线有相同的焦点f，点a是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为 a b c d8定义区间，的长度均为.用表示不超过的最大整数，其中.设，若用，分别表示不等式，方程，不等式解集区间的长度，则当时，有a， b，c， d，二、填空题：本大题共8小题，考生作答7个小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.图3（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9（几何证明选讲选做题）如图3，的外角平分线交外接圆于，则 .10（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数），以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为则直线被圆所截得的弦长为 11（不等式选做题）不等式的解集为 （二）必做题（1216题）12已知集合，若，则的取值范围是 . 图413已知定义在r上的奇函数和偶函数满足，若，则 .14如图4，设是图中所示的矩形区域，是内函数图象上方的点构成的区域，向中随机投一点，则该点落入(阴影部分)中的概率为_ 15设实数x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为1，则的最小值为 .16将含有3n个正整数的集合m分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合a、b、c，其中，若a、b、c中的元素满足条件：，1,2，则称为“完并集合”.（1）若为“完并集合”，则的一个可能值为 .（写出一个即可） （2）对于“完并集合”，在所有符合条件的集合中，其元素乘积最小的集合是 .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）我市某中学一研究性学习小组，在某一高速公路服务区，从小型汽车中按进服务区的先后，每间隔5辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段： ，统计后得到如图5的频率分布直方图（）此研究性学习小组在采样中，用到的是什么抽样方法？并求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值.（）从车速在的车辆中任意抽取3辆车，求车速在，内都有车辆的概率.（）若从车速在的车辆中任意抽取3辆，求车速在的车辆数的数学期望.o车速7075808590951000.010.020.040.060.05频率组距图518（本小题满分12分）如图，三棱柱中, ,平面平面,与相交于点.（）求证：平面;cc1b1aa1bd图6（）求二面角的余弦值. 19（本小题满分12分）已知正项数列的前项和为，正项数列 是递增的等比数列，且，.（）求数列，的通项公式；（）若数列满足，数列的前项和为，求证：. 20（本小题满分13分） 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在平面与道路方向垂直，且，路灯射出的部分光线如图7中虚线所示，已知，路宽米，设灯柱高米，（）.（）求灯柱的高（用表示）；（）若灯柱与灯杆单位长度的造价相同，问当为多少时，灯柱与灯杆的总造价最低？ 图721（本小题满分13分）已知椭圆c的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点.（）求椭圆c的方程；（）过点的直线与椭圆的另一个交点为，a、b是椭圆c上位于直线两侧的动点，且满足直线与关于对称.试探究直线的斜率是否为定值，请说明理由，并求出四边形面积的最大值.yxpabqo图822（本小题满分13分）已知函数.（）当时，讨论函数在上的单调性；（）如果，是函数的两个零点，为函数的导数，证明：.2013年常德市高三年级模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 b 2 a 3 a 4 b 5 d 6 c 7 d 8b二、填空题：本大题共8小题，考生作答7个小题，每小题5分，共35分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）94 10 11 （二）必做题（1216题）12 13 14 15 16（1）7,9,11 中任一个 （2）三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）解：（）此研究性学习小组在采样中，用到的抽样方法是系统抽样.2分这40辆小型汽车车速众数的估计值为87.5，中位数的估计值为87.5.4分（）车速在的车辆共有（0.2+0.3）40=20辆.速在，内的车辆分别有8辆和12辆.记从车速在的车辆中任意抽取3辆车，车速在内的有2辆，在内的有1辆为事件a，车速在内的有1辆，在内的有2辆为事件b， 则.8分（）车速在的车辆共有6辆，车速在和的车辆分别有2辆和4辆，设若从车速在的车辆中任意抽取3辆，车速在的车辆数为，则的可能取值为1,2,3.，9分，10分，11分123故分布列为车速在的车辆数的数学期望为.12分18（本小题满分12分）cc1b1aa1bd图6e解法一： （）已知侧面是菱形,是的中点，2分平面平面，且，平面平面=ac1平面.5分（）平面平面 ，6分作，垂足是，连结，则为二面角的平面角.8分在直角中， 9分，11分于是，.即二面角的余弦值是. 12分 （）解法二如图，以为原点,以da,所在直线分别为轴, z轴，轴建立空间直角坐标系.由已知可得 6分c1b1aca1bdxzy7分设平面的一个法向量是由得，可得8分平面平面 ，dc是平面的一个法向量是， 10分，即二面角的余弦值是.12分19（本小题满分12分）解：（）由已知及可得 2分又 . 3分数列是各项均为正数的等比数列，且.4分设公比为，则， 解得：或（舍）. 6分（）由（）知 ， .7分又.所以： 由得： 9分 ，. 12分 20（本小题满分13分）解：（），.又，,，. 2分 在中，由正弦定理可得： ，.4分在中，由正弦定理可得： .6分 （）由题意可知，要灯柱与灯杆的总造价最低，即要使灯柱与灯杆的长度之和最小. 7分在中，同理由正弦定理可得： . 9分记灯柱与灯杆的长度之和为，则有： . 11分 又，又易知正弦函数在此范围内单调递减，当即时，取得最小值米.当时灯柱与灯杆的总造价最低. 13分 21（本小题满分13分）解：（）设所求椭圆的标准方程为，焦距为，1分由条件可得： ，又由解得:,4分故所求椭圆的标准方程为.5分（）设直线的斜率为，则直线的斜率为.设，.直线的方程为，6分联立整理得.， ，7分将上式中的用代入可得，8分，10分直线的斜率为定值1.而四边形的面积，故四边形面积的最大值为16.13分22（本小题满