浙江省2019高考数学课时跟踪检测（十一）大题考法——数列的综合应用及数学归纳法.docx

课时跟踪检测（十一）大题考法数列的综合应用及数学归纳法1数列an的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)Sn2ana1，当n2时，Sn12an1a1，得，an2an2an1，即an2an1.由a1，a21，a3成等差数列，得2(a21)a1a3，2(2a11)a14a1，解得a12.数列an是首项为2，公比为2的等比数列an2n.(2)an2n，Sn2ana12n12，Sn12n22.bn.数列bn的前n项和Tn.2(2018浙江“七彩阳光”联盟联考)已知等比数列an为递增数列，且a4，a3a5，设bnlog3(nN*)(1)求数列bn的前n项和Sn；(2)令Tnb1b2b22b2n1，求使Tn0成立的最小值n.解：(1)设等比数列an的公比为q，由题意知，两式相除，得，解得q3或q，an为递增数列，q3，a1.ana1qn13n123n5.bnlog3n5，数列bn的前n项和Sn(n29n)(2)Tnb1b2b22b2n1(15)(25)(225)(2n15)5n0，即2n5n1，24551，nmin5.3已知数列an的前n项和为Sn，若an3Sn4，bnlog2an1.(1)求数列an的通项公式与数列bn的通项公式；(2)令cn，其中nN*，若数列cn的前n项和为Tn，求Tn.解：(1)由a13a14，得a11，由an3Sn4，知an13Sn14，两式相减并化简得an1an，ann1，bnlog2an1log2n2n.(2)由题意知，cn.令Hn，则Hn，得，Hn1.Hn2.又TnHn11，TnHn(TnHn)2.4(2018江苏泰州中学模拟)已知数列an满足：a11，an1(nN*)，设bna2n1.(1)求b2，b3，并证明bn12bn2；(2)证明：数列bn2为等比数列；若a2k，a2k1,9a2k2成等比数列，求正整数k的值解：(1)数列an满足a11，an1(nN*)，bna2n1，b2a32a22(a11)4，b3a52a42(a31)10，同理，bn1a2n12a2n2(a2n11)2(bn1)2bn2.(2)证明：b1a11，b120，2，数列bn2为等比数列由知bn232n1，bn32n12，a2n132n12，a2na2n1132n11，a2k，a2k1,9a2k2成等比数列，(32k2)2(32k11)(32k8)，令2kt，得(3t2)2(3t8)，整理，得3t214t80，解得t或t4，kN*，2k4，解得k2.5(2019届高三浙江五校联考)已知各项均不相等的等差数列an的前4项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列bn的前3项(1)分别求数列an，bn的前n项和Sn，Tn；(2)设Kn为数列anbn的前n项和，若不等式SnTnKnn对一切nN*恒成立，求实数的最小值解：(1)设数列an的公差为d，则解得d1或d0(舍去)，a12，所以ann1，Sn.bn2n，Tn2n12.(2)由题意得Kn221322(n1)2n，则2Kn222323n2n(n1)2n1，得Kn22122232n(n1)2n1，Knn2n1.要使SnTnKnn对一切nN*恒成立，即恒成立，设g(n)，因为1，所以g(n)随n的增加而减小，所以g(n)maxg(1)，所以当时不等式恒成立，因此的最小值为.6已知在数列an中，a1，an1a2an2，nN*，其前n项和为Sn.(1)求证：1an1an2；(2)求证：an；(3)求证：nSnn2.证明：(1)先用数学归纳法证明1an2.当n1时，1a12，假设当nk时，1ak2.当nk1时，ak1a2ak2(ak1)21，又ak(1,2)，所以ak1(1,2)由知1an2，nN*恒成立an1ana3an2(an1)(an2)0，所以1an1an，当n3时，1，又1an2，所以an.由an1a2an2