高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第一节 变化率与导数、导数的计算课件 文.ppt

第一节变化率与导数 导数的计算 总纲目录 教材研读 1 函数y f x 从x1到x2的平均变化率 2 函数y f x 在x x0处的导数 3 函数f x 的导函数 4 基本初等函数的导数公式 5 导数的运算法则 考点突破 考点二导数的几何意义 考点一导数的运算 考点三两条曲线的公切线 1 函数y f x 从x1到x2的平均变化率函数y f x 从x1到x2的平均变化率为 若 x x2 x1 y f x2 f x1 则平均变化率可表示为 教材研读 2 函数y f x 在x x0处的导数 1 定义称函数y f x 在x x0处的瞬时变化率 为函数y f x 在x x0处的导数 记作f x0 或y 即f x0 2 几何意义函数f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义是在曲线y f x 上点 x0 f x0 处的 切线的斜率 相应地 切线方程为 y f x0 f x0 x x0 3 函数f x 的导函数称函数f x 为f x 的导函数 导函数有时也记作y 4 基本初等函数的导数公式 5 导数的运算法则 1 f x g x f x g x 2 f x g x f x g x f x g x 3 g x 0 1 有一机器人的运动方程为s t t2 t是时间 s是位移 则该机器人在时刻t 2时的瞬时速度为 a b c d 答案d由题意知 机器人的速度方程为v t s t 2t 故当t 2时 机器人的瞬时速度为v 2 2 2 b 2 函数y xcosx sinx的导数为 a xsinxb xsinxc xcosxd xcosx 答案by x cosx x cosx sinx cosx xsinx cosx xsinx b 3 函数y f x 的图象如图 则导函数f x 的大致图象为 答案b由导数的几何意义可知 f x 为常数 且f x 0 b 4 曲线y 5ex 3在点 0 2 处的切线方程为 5x y 2 0 答案5x y 2 0 解析y 5ex 则k y x 0 5 e0 5 所以所求切线方程为y 2 5 x 0 即5x y 2 0 5 已知函数f x 2x 1 ex f x 为f x 的导函数 则f 0 的值为 3 答案3 解析因为f x 2x 1 ex 所以f x 2ex 2x 1 ex 2x 3 ex 所以f 0 3e0 3 6 已知函数f x ax3 x 1的图象在点 1 f 1 处的切线过点 2 7 则a 1 答案1 典例1求下列函数的导数 1 y exlnx 2 y x 3 y x sincos 4 y 考点突破 考点一导数的运算 解析 1 y ex lnx ex lnx ex lnx ex ex 2 因为y x x3 1 所以y x3 1 3x2 3 因为y x sincosx x sinx 所以y x 1 cosx 4 y 方法技巧函数求导的方法 1 对于函数求导 一般要遵循先化简 再求导的基本原则 求导时 不但要重视求导法则的应用 而且要特别注意求导法则对求导的制约作用 在化简时 要注意变换的等价性 避免运算失误 2 利用公式求导时 一定要注意公式的适用范围及符号 如 xn nxn 1中 n n cosx sinx 还要注意公式不要用混 如 ax axlna 而不是 ax xax 1 1 1 2018河南郑州质检 f x x 2017 lnx 若f x0 2018 则x0等于 a e2b 1c ln2d e 答案bf x 2017 lnx x 2018 lnx 由f x0 2018 得lnx0 0 则x0 1 b 1 2已知函数f x axlnx x 0 其中a为实数 f x 为f x 的导函数 若f 1 3 则a的值为 答案3 解析 f x alnx a f 1 aln1 a 3 解得a 3 3 1 3已知函数f x 的导函数为f x 且满足f x 2xf 1 lnx 则f 1 答案 1 解析 f x 2xf 1 lnx f x 2f 1 f 1 2f 1 1 即f 1 1 1 考点二导数的几何意义 命题方向一求切线方程 典例2 1 已知函数f x xlnx 若直线l过点 0 1 并且与曲线y f x 相切 则直线l的方程为 a x y 1 0b x y 1 0c x y 1 0d x y 1 0 2 2017课标全国 14 5分 曲线y x2 在点 1 2 处的切线方程为 答案 1 b 2 y x 1 解析 1 因为点 0 1 不在曲线f x xlnx上 所以设切点为 x0 y0 又因为f x 1 lnx 所以解得所以切点为 1 0 所以f 1 1 ln1 1 所以直线l的方程为y x 1 即x y 1 0 2 因为y 2x 所以曲线在点 1 2 处的切线方程的斜率为y x 1 2 1 1 所以切线方程为y 2 x 1 即y x 1 命题方向二求切点坐标典例3若曲线y ex在点 0 1 处的切线与曲线y x 0 上点p处的切线垂直 则点p的坐标为 1 1 答案 1 1 解析 函数y ex的导函数为y ex 曲线y ex在点 0 1 处的切线的斜率k1 e0 1 设p x0 y0 x0 0 函数y 的导函数为y 曲线y x 0 在点p处的切线的斜率k2 由题意有k1k2 1 即1 1 解得 1 又x0 0 x0 1 点p在曲线y x 0 上 y0 1 故点p的坐标为 1 1 命题方向三求参数值典例4已知直线y x b与曲线y x lnx相切 则b的值为 a 2b 1c d 1 b 答案b 解析设切点为p x0 y0 由y x lnx 得y 所以y 依题意 所以x0 1 则p 又切点p在直线y x b上 所以 b 得b 1 命题方向四判定函数的图象典例5如图 点a 2 1 b 3 0 e x 0 x 0 过点e作ob的垂线l 记 aob在直线l左侧部分的面积为s 则函数s f x 的图象为下图中的 d 答案d 解析函数的定义域为 0 当x 0 2 时 s f x 是随着x的增大而增大的 且增长速度越来越快 即函数s f x 在 0 2 上随着x的增大 图象上切线的斜率逐渐增大 当x 2 3 时 s f x 也是随着x的增大而增大的 但增长速度越来越慢 即函数s f x 在 2 3 上随着x的增大 图象上切线的斜率逐渐减小 当x 3 时 面积s没有变化 2 1 2017广东广州综合测试 一 设函数f x x3 ax2 若曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线方程为x y 0 则点p的坐标为 a 0 0 b 1 1 c 1 1 d 1 1 或 1 1 d 答案d由f x x3 ax2得f x 3x2 2ax 记y0 f x0 由题意可得由 可得 a x0 即x0 ax0 1 0 由 可得3 2ax0 1 0 由 可得x0 0 所以 式可化为 ax0 1 0 由 可得x0 1 代入 式得或即点p的坐标为 1 1 或 1 1 故选d 2 2已知函数f x x2 ax 1 ex 其中e是自然对数的底数 a r 若f x 在 0 f 0 处的切线与直线x y 1 0垂直 则a a 1b 1c 2d 2 答案cf x x2 ax 1 ex x2 ax 1 ex 2x a ex x2 ax 1 ex x2 a 2 x a 1 ex 故f 0 02 a 2 0 a 1 e0 a 1 因为f x 在 0 f 0 处的切线与直线x y 1 0垂直 故f 0 1 即a 1 1 解得a 2 c 2 3函数y f x y g x 的导函数的图象如图所示 则y f x y g x 的图象可能是 答案d由y f x 的图象知y f x 在 0 上单调递减 所以函数y f x 的切线的斜率在 0 上也单调递减 故排除a c 又由图象知y f x 与y g x 的图象在x x0处相交 所以y f x 与y g x 的图象在x x0处的切线的斜率相同 故排除b 典例6 2015课标全国 16 5分 已知曲线y x lnx在点 1 1 处的切线与曲线y ax2 a 2 x 1相切 则a 考点三两条曲线的公切线 8 答案8 解析令f x x lnx 求导得f x 1 f 1 2 又f 1 1 所以曲线y x lnx在点 1 1 处的切线方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 设直线y 2x 1与曲线y ax2 a 2 x 1的切点为p x0 y0 则y 2ax0 a 2 2 得a 2x0 1 0 a 0或x0 又a a 2 x0 1 2x0 1 即a ax0 2 0 当a 0时 显然不满足此方程 x0 此时a 8 方法技巧求两条曲线的公切线的方法 1 利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切 列出关系式求解 2 利用公切线得出关系式 设公式线l在y f x 上的切点p1 x1 y1 在y g x 上的切点p2 x2 y2 则f x1 g x2 同类练曲线f x ax 在x 2处的切线与曲线y xlnx相切 则a 答案 解析由f x ax 得f x a 所以f 2 a 所以曲线y f x 在x 2处的切线方程为y x 2 即y x 1 设曲线y f x 在x 2处的切线与曲线y xlnx相切于 x0 x0lnx0 由y xlnx 得y lnx 1 y lnx0 1 所以曲线y xlnx在x x0处的切线方程为y x0lnx0 lnx0 1 x x0 即y lnx0 1 x x0 由题意得解得 变式练曲线f x ex在x 0处的切线与曲线g x ax2 a a 0 相切于点p 则过点p且与该切线垂直的直线方程为 x y 1 0 答案x y 1 0