中点的灵活应用.docx

第4讲 中点的灵活应用ABCMN1如图,在ABC中,M、N分别是AB、AC的中点,且A+B=120,则ANM= .ANM=60ABCDEF3如图,ABC中,AB=1,AC=2,D是BC的中点,AE平分BAC交BC于E,且DFAE,则CF的长为 .CF =1.54若四边形的两条对角线相等,则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是( 菱形 ) 若四边形的两条对角线垂直,则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是( 矩形 )若四边形的两条对角线垂直且相等,则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是(正方形 )ABCMN5如图,M是ABC的边BC的中点,AN平分BAC,BNAN于点N,且AB=10,BC=15,MN=3,则ABC的周长等于( )A38 B39 C40 D41选择DABCDEFGO6如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=2AD,E、F、G分别是OC、OD、AB的中点求证：(1)BEAC,(2)EG=EF(1) 平行四边形ABCD,BD=2ADBO=BC,E为OC中点,BEAC(三线合一)(2) G是AB中点, EG=AB=CD=EFABCDE7如图,在ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,E为AB中点,连结CE、CD,求证：CD=2EC取AC的中点F,连接BF,AB=AC,点E,F分别是AB,AC的中点,AE=AF,A=A,AB=AC,ABFACE(SAS),BF=CE,BD=AB,AF=CF,DC=2BF,DC=2CE8如图,点O是ABC所在平面内一动点,连结OB、OC,把AB、OB、OABCDEFGOC、CA的中点D、E、F、G顺次连结起来,设DEFG能构造四边形.(1)当点O在ABC内时,求证：四边形DEFG是平行四边形；(2)当点O移动到ABC外时,(1)的结论是否成立？画图说理由；(3)若四边形DEFG为矩形,则点O所在位置满足什么条件？试说明.(1)连结AO,D,E,F,G分别是AB,OB.OC.AC的中点DEAOFG即DEFGOABCDEFG同理可得,DGBC,EFBCDGEFDEFG,DGEF,所以四边形DEFG是平行四边形(2) 证明方法同(1)(3)若四边形DEFG为矩形,那么四边形ABOC的对角线应垂直,则点O所在位置应在过点A且垂直BC的直线上(A点除外),DEOA,DGBC,AOBC,DEDG,故平行四边DEFG为矩形ABCDEFG9如图,已知AGBD,AFCE,BD、CE分别是ABC和ACB的角平分线,若BF=2,ED=3,GC=4,则ABC的周长为 .ABC的周长为30ABCDMNPQF10如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点F,M、N分别为AB、CD中点,MN分别交BD、AC于P、Q,且FPQ=FQP,若BD=10,则AC= .AC=10 提示：取AD中点E,连结ME,NE,则ME=NEABCDMNP11如图,在菱形ABCD中,A=100,M、N分别是AB、BC的中点,MPCD于点P,则NPC的度数为 .NPC =50ABCD12如图,在ABC中,BC=4,BC边上的中线AD=2,AB+AC=3+,则SABC等于( )A B C2 D选择D 提示：ABC为直角三角形ABCDMEFG13如图，正方形ABCD，正方形CGEF的边长分别是2、3，且点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，连接MF，则MF的长为 。MF=提示：连DM并延长交EF于N点，则ADMENM，FN=1ABCDEF14. 如图，已知ABC是等腰直角三角形，ABAC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE12，CF5.求DEF的面积.【提示】连接AD.解：连结AD因为D是斜边上的中点,所以AD垂直平分BC,因此也平分等腰直角三角形ABC.即DAC45,ADDC,SADCSABCADF+FDCADF+EDA90,所以FDCEDA,ADECDF,则AE5,AF12SADCSADF+SCDFSADF+SADESAEDF则SDEFSAEDFSAEFSADCSAEFSABC SAEF171751242.25ABCD15. 如图，在ABC中，B2C，ADBC于D，M为BC的中点，AB10cm，则MD的长为_. 【提示】取AB中点N，为直角斜边中线定理、中位线定理运用创造条件.ABCDM解：取AB的中点N，连接DN,连接MNDNAB,NDBB,MNAC，NMBC,NDBBNMB+DNMC+DNM2C,DNMCNMD,得DMDNAB5.ABCDEFG图aGABCEFD图bABCDFEG图c16. 已知，如图a，BD,CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F、G，连结FG，延长AF、AG，与直线BC相交，易证FG(AB+BC+AC)，若(1)BD,CE分别是ABC的内角平分线(如图b)；(2)BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线(如图c，则在图b、图c两种情况下，线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.【提示】图a中FG与ABC三边数量关系的求法(关键作辅助线)，对寻求后两图中FG与ABC三边数量关系起着重要作用，而由平分线、垂线发现中点，这时解题基础.解：(1)FG (AB+ACBC),分别延长AG、AF交BC于H，K，则AFKF，ABKB;AGHG,ACHC,FGHK (AB+ACBC);(2)FG (BC+ACAB)ABCDME17. 如图，以ABC的AB、AC边为斜边向外作RtABD和RtACE，且使ABDACE，M是BC的中点，求证：DMME. 【提示】显然DBM不全等与ECM，需通过作辅助线，构造全等三角形，证明DMEM.解：取AB中点P，连DP，PM，取AC中点Q，连结QE,QM,则DPAB,QEAC,PMAC，QMAB DPQM,PMQE又DPM1+22DAB+BAC,MQE3+42EAC+BACADB=AEC=90，ABD=ACE.而DABEAC,DPMEQM,DPMMQE，故DMME.ABCDEM图a18. 已知：ABD和ACE都是直角三角形，且ABDACE90，如图a，连结DE，设M为DE的中点.(1)求证：MBMC.解：延长BM交CE于N，由DBMNEM，BM=MN,BCN为Rt，得BMMNCM图bBACDEM(2)设BADCAE，固定ABD，让RtACE绕顶点A在平面内旋转到图b的位置，试问：MBMC是否还能成立？并证明其结论.【提示】M为中点可以构造全等三角形.MBMC仍能成立，取AD中点P，AE中点Q，连结PB、MP、CQ、MQ，易得四边形APMQ为平行四边形，MPAECQ，MQADBP，BPMMQC，由PBMQMC得MBMC.