山东省济南市中考数学一轮复习 第三章 函数 第四节 二次函数课件.ppt

第四节二次函数 知识点一二次函数的概念及表达式1 一般地 若两个变量x y之间的对应关系可以表示成y ax2 bx c a b c是常数 a 0 的形式 则称y是x的二次函数 2 二次函数表达式的三种形式 1 一般式 y ax2 bx c a b c为常数 a 0 2 顶点式 y a x h 2 k a h k为常数 a 0 顶点坐标是 h k 3 交点式 y a x x1 x x2 其中x1 x2是二次函数与x轴的交点的横坐标 a 0 知识点二二次函数的图象与性质1 二次函数的图象与性质 减小 增大 增大 减少 2 二次函数图象的特征与a b c的关系 知识点三抛物线的平移1 将抛物线表达式化成顶点式y a x h 2 k 顶点坐标为 h k 2 保持y ax2的形状不变 将其顶点平移到 h k 处 具体平移方法如下 二次函数平移遵循 上加下减 左加右减 的原则 据此 可以直接由表达式中常数的加或减求出变化后的表达式 二次函数图象的平移可看作顶点间的平移 可根据顶点之间的平移求出变化后的表达式 知识点四二次函数与一元二次方程的关系1 二次函数y ax2 bx c a 0 当y 0时 就变成了一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 2 ax2 bx c 0 a 0 的解是抛物线y ax2 bx c a 0 的图象与x轴交点的横坐标 3 b2 4ac 0 方程有两个不相等的实数根 抛物线与x轴有 个交点 b2 4ac 0 方程有两个相等的实数根 抛物线与x轴有且只有 个交点 b2 4ac 0 方程没有实数根 抛物线与x轴 交点 两 一 没有 知识点五二次函数的应用1 用二次函数表示实际应用题中变量之间的关系 2 用二次函数解决实际问题中的最优化问题 其实质就是求函数的最值问题 二次函数的最值不一定是实际问题的最优解或者方案 一定要结合实际问题中自变量的取值范围确定最优解或方案 3 解答二次函数应用题 要先读懂题意 建立二次函数模型 求出二次函数表达式 然后利用二次函数图象及性质解决其他问题 考点一二次函数的图象与性质 5年4考 例1 2017 济南 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象经过点 2 0 x0 0 10 2a b 2a b 1 0 2a c 0 其中正确结论的个数是 a 1b 2c 3d 4 分析 画出二次函数的大致图象 根据二次函数图象与字母系数的关系逐个判断即可 自主解答 10 b 0 正确 a b 2a b 错误 图象过点 2 0 4a 2b c 0 2a b 又 2 c 0 0 1 2a b 1 1 0 正确 设x1 2 则x0 x1 1 x0 2 4 x0 x1 2 4 2 2a c 0 正确 故选c 讲 二次函数图象与字母系数的关系对于二次函数y ax2 bx c a 0 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置 当a与b同号时 即ab 0 对称轴在y轴左侧 当a与b异号时 即ab 0 对称轴在y轴右侧 常数项c决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴交于 0 c 抛物线与 x轴交点个数由 决定 b2 4ac 0时 抛物线与x轴有2个交点 b2 4ac 0时 抛物线与x轴有1个交点 b2 4ac 0时 抛物线与x轴没有交点 练 链接变式训练1 1 2013 济南 如图 二次函数y ax2 bx c的图象经过点 0 2 与x轴交点的横坐标分别为x1 x2 且 1 x1 0 1 x2 2 下列结论正确的是 a a 0b a b c 0c 1d 4ac b2 8a d 2 2016 临沂 二次函数y ax2 bx c 自变量x与函数y的对应值如表 下列说法正确的是 a 抛物线的开口向下b 当x 3时 y随x的增大而增大c 二次函数的最小值是 2d 抛物线的对称轴是x d 考点二确定二次函数的表达式 5年5考 例2一个二次函数的图象的顶点坐标是 2 4 且过另一点 0 4 则这个二次函数的表达式为 a y 2 x 2 2 4b y 2 x 2 2 4c y 2 x 2 2 4d y 2 x 2 2 4 分析 已知抛物线的顶点和抛物线上任一点坐标 可设顶点式 利用待定系数法求解 自主解答 二次函数的图象的顶点坐标是 2 4 设这个二次函数的表达式为y a x 2 2 4 把 0 4 代入得a 2 这个二次函数的表达式为y 2 x 2 2 4 故选b 设二次函数表达式的形式一般遵循以下方法 若已知二次函数上三个点的坐标 则选择一般式 若已知二次函数的顶点坐标 则选择顶点式 若已知二次函数与x轴的交点坐标 则选择交点式 需要注意的是 作为解答题 最后结果要化为一般式 3 若抛物线经过 0 1 1 0 1 0 三点 则此抛物线的表达式为 a y x2 1b y x2 1c y x2 1d y x2 1 c 4 2017 槐荫二模 将抛物线y 3x2向上平移3个单位 再向左平移2个单位 那么得到的抛物线的表达式为 a y 3 x 2 2 3b y 3 x 2 2 3c y 3 x 2 2 3d y 3 x 2 2 3 a 考点三二次函数与方程 不等式的关系 5年2考 例3 2014 济南 二次函数y x2 bx的图象如图 对称轴为直线x 1 若关于x的一元二次方程x2 bx t 0 t为实数 在 1 x 4的范围内有解 则t的取值范围是 a t 1b 1 t 3c 1 t 8d 3 t 8 分析 根据对称轴求出b的值 从而得到x 1 4时的函数值 再根据一元二次方程x2 bx t 0 t为实数 在 1 x 4的范围内有解相当于y x2 bx与y t在 1 x 4的范围内有交点解答 自主解答 对称轴为直线x 1 b 2 二次函数的表达式为y x2 2x 当x 1时 y 1 2 3 当x 4时 y 16 2 4 8 x2 bx t 0相当于y x2 bx与直线y t的交点的横坐标 当 1 t 8时 在 1 x 4的范围内有解 故选c 一元二次方程ax2 bx c d 二次函数y ax2 bx c在函数值y d时对应的x的值 一元二次方程ax2 bx c d 二次函数y ax2 bx c在直线y d上方对应的x的取值范围 一元二次方程ax2 bx c d 二次函数y ax2 bx c在直线y d下方对应的x的取值范围 5 2015 济南 如图 抛物线y 2x2 8x 6与x轴交于点a b 把抛物线在x轴及其上方的部分记作c1 将c1向右平移得c2 c2与x轴交于点b d 若直线y x m与c1 c2共有3个不同的交点 则m的取值范围是 a 2 m b 3 m c 3 m 2d 3 m d 6 如图 直线y x m和抛物线y x2 bx c都经过点a 1 0 和b 3 2 不等式x2 bx c x m的解集为 x 1或x 3 知识点四二次函数的综合应用 5年5考 例4 2016 济南 如图1 抛物线y ax2 a 3 x 3 a 0 与x轴交于点a 4 0 与y轴交于点b 在x轴上有一动点e m 0 0 m 4 过点e作x轴的垂线交直线ab于点n 交抛物线于点p 过点p作pm ab于点m 1 求a的值和直线ab的函数表达式 2 设 pmn的周长为c1 aen的周长为c2 若 求m的值 3 如图2 在 2 的条件下 将线段oe绕点o逆时针旋转得到oe 旋转角为 0 90 连接e a e b 求e a e b的最小值 分析 1 令y 0 根据抛物线与x轴交点 求出a 根据待定系数法可以确定直线ab表达式 2 由 pnm ane 推出 列出方程即可解决问题 3 构造相似三角形 即可求得最小值 自主解答 解决动点或存在点问题 一般先设该点存在 根据该点所在函数表达式设出该点的坐标 再结合题中的条件列出有关该点坐标的等式 通过求解该等式确定动点坐标或说明该点是否存在 在运动中求最大值或最小值时 通常考虑将问题转化为函数的最值问题 利用二次函数的顶点坐标或函数取值范围解决 7 2017 济南 如图1 矩形oabc的顶点a c的坐标分别为 4 0 0 6 直线ad交bc于点d tan oad 2 抛物线m1 y ax2 bx a 0 过a d两点 1 求点d的坐标和抛物线m1的表达式 2 点p是抛物线m1对称轴上一动点 当 cpa 90 时 求所有满足条件的点p的坐标 3 如图2 点e 0 4 连接ae 将抛物线m1的图象向下平移m m 0 个单位得到抛物线m2 设点d平移后的对应点为点d 当点d 恰好落在直线ae上时 求m的值 当1 x m m 1 时 若抛物线m2与直线ae有两个交点 求m的取值范围 解 1 oa bc oad adb tan adb tan oad 2 在rt abd中 ab oc 6 db 3 cd cb bd 1 d 1 6 抛物线m1 y ax2 bx a 0 过a d两点 解得 抛物线m1的表达式为y 2x2 8x 2 y 2x2 8x 2 x2 4x 2 x 2 2 8 抛物线的对称轴为x 2 设点p 2 y a 4 0 c 0 6 ac2 42 62 52 ap2 4 2 2 y2 y2 4 cp2 22 6 y 2 4 6 y 2 cpa 90 ac2 ap2 cp2 即52 y2 4 4 6 y 2 整理得y2 6y 4 0 解得y1 3 y2 3 故p1 2 3 p2 2 3 3 由题意知 抛物线m2的表达式为y 2x2 8x m d 1 6 d 1 6 m 设直线ae的表达式为y mx n 则