【导与练】高三数学一轮总复习 第八篇 检测试题 理 新人教A版.doc

第八篇检测试题(时间:120分钟满分:150分) 【选题明细表】知识点、方法题号直线、圆1、3、5、13、17、18圆锥曲线的定义与方程7、11、14圆锥曲线的几何性质2、4、6、8直线与圆锥曲线的位置关系16、20最值、取值范围、定点与定值问题12、15、16圆锥曲线的综合问题9、10、19、20、21、22一、选择题(每小题5分,共60分)1.与直线x+3y-1=0垂直的直线的倾斜角为(b)(a)6(b)3(c)23(d)56解析:由题意知与已知直线垂直的直线的斜率为:k=3,则tan =3,0,),=3.故选b.2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为(d)(a)6(b)5(c)62(d)52解析:ba=24=12=c2-a2a2=e2-1e=52.故选d.3.设ar,则“a=1”是“直线l1:ax+2y=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行的”(a)(a)充分不必要条件(b)必要不充分条件(c)充分必要条件(d)既不充分也不必要条件解析:当a=1时,直线l1:x+2y=0,直线l2:x+2y+4=0,则l1l2;若l1l2,则有a(a+1)-21=0,即a2+a-2=0,解之得,a=-2或a=1,所以不能得到a=1.故选a.4.(2013成都龙泉中学高三月考)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线x2a2-y2=1(a0)相交于a,b两点,且f是抛物线的焦点,若fab是直角三角形,则双曲线的离心率为(b)(a)3(b)6(c)2(d)3解析:如图所示,f(1,0).fab为直角三角形,|am|=|fm|=2,a(-1,2),代入x2a2-y2=1,得a2=15,c2=a2+1=15+1=65,e2=c2a2=6,e=6.故选b.5.(2012广州模拟)动点a在圆x2+y2=1上移动时,它与定点b(3,0)连线的中点的轨迹方程是(c)(a)(x+3)2+y2=4(b)(x-3)2+y2=1(c)(2x-3)2+4y2=1(d)x+322+y2=12解析:设中点m(x,y),则动点a(2x-3,2y),a在圆x2+y2=1上,(2x-3)2+(2y)2=1,即所求轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1,故选c.6.已知曲线c上的动点m(x,y)和向量a=(x+2,y)和b=(x-2,y)满足|a|+|b|=6,则曲线c的离心率是(a)(a)23(b)3(c)33(d)13解析:因为方程|a|+|b|=6表示动点m(x,y)到两定点(-2,0)和(2,0)距离的和为6,所以曲线c是椭圆,且长轴长为2a=6,即a=3,又c=2,所以e=23.故选a.7. (2013广元市高三第一次诊断)已知f1、f2分别为双曲线c:x2-y2=1的左、右焦点,点p在双曲线c上,且f1pf2=60,则|pf1|pf2|等于(b)(a)2(b)4(c)6(d)8解析:由题意知a=1,b=1,c=2,|f1f2|=22,在pf1f2中,由余弦定理得|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|cos 60=|f1f2|2=8,即|pf1|2+|pf2|2-|pf1|pf2|=8,由双曲线定义得|pf1|-|pf2|=2a=2,两边平方得|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|=4,-得|pf1|pf2|=4.故选b.8.(2013重庆一中高三月考)已知抛物线y2=2px(p0)上一点m(1,m)(m0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为a,若双曲线的一条渐近线与直线am平行,则实数a的值是(a)(a)19(b)125(c)15(d)13解析:m到其焦点的距离为5,1+p2=5,p=8,m(1,4),又a(-a,0),由题意知1a=41+a,a=19.故选a.9.(2012年高考新课标全国卷)等轴双曲线c的中心在原点,焦点在x轴上,c与抛物线y2=16x的准线交于a,b两点,|ab|=43,则c的实轴长为(c)(a)2(b)22(c)4(d)8解析:设等轴双曲线方程为x2-y2=m(m0),抛物线的准线为x=-4,由|ab|=43,得|ya|=23,把坐标(-4,23)代入双曲线方程得m=x2-y2=16-12=4,所以双曲线方程为x2-y2=4,即x24-y24=1,所以a2=4,a=2,所以实轴长2a=4.故选c.10.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),a(2,0)为长轴的一个端点,弦bc过椭圆的中心o,且acbc=0,|oc-ob|=2|bc-ba|,则其焦距为(c)(a)263(b)433(c)463(d)233解析:由题意可知|oc|=|ob|=12|bc|,且a=2,又|oc-ob|=2|bc-ba|,|bc|=2|ac|.|oc|=|ac|.又acbc=0,acbc,|oc|=|ac|=2.如图所示,作cdoa,在rtaoc中,易求得c(1,-1),代入椭圆方程得124+(-1)2b2=1b2=43,c2=a2-b2=4-43=83.c=263,2c=463,故选c.11.在平面直角坐标系xoy中,o为坐标原点.定义p(x1,y1)、q(x2,y2)两点之间的“直角距离”为d(p,q)=|x1-x2|+|y1-y2|.若点a(-1,3),则d(a,o)等于(a)(a)4(b)5(c)8(d)2解析:根据直角距离的定义可以得到d(a,o)=|-1-0|+|3-0|=4,故选a.12.(2012海淀模拟)已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为f1、f2,且它们在第一象限的交点为p,pf1f2是以pf1为底边的等腰三角形.若|pf1|=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是(b)(a)15,25(b)13,25(c)13,35(d)12,35解析:设椭圆的长半轴长,半焦距分别为a1,c,双曲线的实半轴长,半焦距分别为a2,c,|pf1|=m,|pf2|=n,则m+n=2a1,m-n=2a2,m=10,n=2ca1=5+c,a2=5-c,问题转化为已知1c5-c2,求c5+c的取值范围.由1c5-c2知125-cc1,即325c2,因此525c+13,即525+cc3,13c5+c0,再由y10,y20,则-8k0,故-1k0,可求得线段st的中点的坐标为-4k2+2,-4k,所以线段st的垂直平分线方程为y+4k=-1kx+4k2-2,令y=0,得点q的横坐标为xq=-2-4k2b0)的左、右顶点分别为a、b,点p在椭圆上且异于a、b两点,o为坐标原点.(1)若直线ap与bp的斜率之积为-12,求椭圆的离心率;(2)若|ap|=|oa|,证明直线op的斜率k满足|k|3.(1)解:设点p的坐标为(x0,y0).由题意,有x02a2+y02b2=1,则y02=b21-x02a2,即y02x02-a2=-b2a2.由a(-a,0),b(a,0),得kap=y0x0+a,kbp=y0x0-a.由kapkbp=-12,可得y02x02-a2=-12.由得a2=2b2,于是e2=a2-b2a2=12,所以椭圆的离心率e=22.(2)证明:法一依题意,直线op的方程为y=kx,设点p的坐标为(x0,y0).由条件得y0=kx0,x02a2+y02b2=1,消去y0并整理得x02=a2b2k2a2+b2.(*)由|ap|=|oa|,a(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2x02=a2.整理得(1+k2)x02+2ax0=0.而x00,于是x0=-2a1+k2,代入(*),整理得(1+k2)2=4k2ab2+4.由ab0,故(1+k2)24k2+4,即k2+14,因此k23,所以|k|3.法二依题意,直线op的方程为y=kx,可设点p的坐标为(x0,kx0).由点p在椭圆上,有x02a2+k2x02b2=1.因为ab0,kx00,所以x02a2+k2x02a21,即(1+k2)x02a2.(*)由|ap|=|oa|,a(-a,0),得(x0+a)2+k2x02=a2,整理得(1+k2)x02+2ax0=0,于是x0=-2a1+k2,代入(*),得(1+k2)4a2(1+k2)23,所以|k|3.20.(本小题满分12分)已知动圆过定点(2,0),且与直线x=-2相切.(1)求动圆的圆心轨迹c的方程;(2)是否存在直线l,使l过点(0,2),并与轨迹c交于p、q两点,且满足opoq=0?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解:(1)如图所示,设m为动圆圆心,f(2,0),过点m作直线x=-2的垂线,垂足为n,连mf,由题意知:|mf|=|mn|,即动点m到定点f与到定直线x=-2的距离相等,由抛物线的定义知,点m的轨迹为抛物线,其中f(2,0)为焦点,x=-2为准线,所以动圆圆心轨迹c的方程为y2=8x.(2)设存在满足条件的直线l,由题可设直线l的方程为x=k(y-2)(k0),由x=k(y-2),y2=8x,得y2-8ky+16k=0,=(-8k)2-416k0,解得k1.设p(x1,y1),q(x2,y2),则y1+y2=8k,y1y2=16k,由opoq=0,得x1x2+y1y2=0,即k2(y1-2)(y2-2)+y1y2=0.整理得:(k2+1)y1y2-2k2(y1+y2)+4k2=0,得16k(k2+1)-2k28k+4k2=0,即16k+4k2=0,解得k=-4或k=0(舍去),所以直线l存在,其方程为x+4y-8=0.21.(本小题满分12分)(2013四川省泸州高级教育培训学校高三月考)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为f,上顶点为a,过点a与af垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴于p,q两点,且p分向量aq所成的比为85.(1)求椭圆的离心率;(2)若过a,q,f三点的圆恰好与直线l:x+3y+3=0相切,求椭圆方程.解:(1)设点q(x0,0),f(-c,0),其中c=a2-b2,a(0,b).由p分向量aq所成的比为85,得p(813x0,513b),(813)2x02a2+(513)2=1x0=32a.而fa=(c,b),aq=(x0,-b),faaq,faaq=0,cx0-b2=0,x0=b2c.由知2b2=3ac,2c2+3ac-2a2=0.2e2+3e-2=0,e=12.(2)设满足条件的圆心为o(b2-c22c,0),b2-c22c=a2-c2-c22c=c,o(c,0),圆半径r=b2c+c2=a22c=a.由圆与直线l:x+3y+3=0相切得,|c+3|2=a,又a=2c,c=1,a=2,b=3,椭圆方程为x24+y23=1.22.(本小题满分14分)已知抛物线c的焦点为f12,0,准线方程为x=-12.(1)写出抛物线c的方程;(2)过f点的直线与曲线c交于a、b两点,o点为坐标原点,求aob重心g的轨迹方程;(3)点p是抛物线c上的动点,过点p作圆(x-3)2+y2=2的切线,切点分别是m、n.当p点在何处时,|mn|的值最小?并求出|mn|的最小值.解:(1)容易求得抛物线方程为y2=2x.(2)当直线不垂直于x轴时,设方程为y=kx-12,代入y2=2x,得:k2x2-(k2+2)x+k24=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=k2+2k2,y1+y2=k(x1+x2-1)=2k.设aob的重心为g(x,y),则x=0+x1+x23=k2+23k2,y=0+y1+y23=23k,消去k得y2=23x-29为所求.当直线垂直于x轴时,不妨令a12,1,b12