【全程复习方略】（文理通用）高三数学一轮复习 8.5曲线与方程精品试题 (2)(1).docVIP

曲线与方程(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知两定点f1(-1,0),f2(1,0)且|f1f2|是|pf1|与|pf2|的等差中项,则动点p的轨迹方程是()a.x216+y29=1b.x216+y212=1c.x24+y23=1d.x23+y24=1【解析】选c.由|f1f2|是|pf1|与|pf2|的等差中项知|pf1|+|pf2|=4,故动点p的轨迹是以定点f1(-1,0),f2(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆,故其方程为x24+y23=1.2.已知动点p在曲线2x2-y=0上移动,则点a(0,-1)与点p连线中点的轨迹方程是()a.y=2x2b.y=8x2c.y=4x2-12d.y=4x2+12【解析】选c.设ap中点为(x,y),则p(2x,2y+1)在2x2-y=0上,即2(2x)2-(2y+1)=0,所以y=4x2-12.3.已知定点a(1,0)和定直线l:x=-1,在l上有两动点e,f且满足aeaf,另有动点p,满足epoa,foop(o为坐标原点),且动点p的轨迹方程为()a.y2=4xb.y2=4x(x0) c.y2=-4xd.y2=-4x(x0)【解析】选b.设p(x,y),e(-1,y1),f(-1,y2)(y1,y2均不为零),由epoay1=y,即e(-1,y).由foopy2=-yx,由aeafy2=4x(x0).4.(2013青岛模拟)已知a,b是圆o:x2+y2=16上的两点,且|ab|=6,若以ab为直径的圆m恰好经过点c(1,-1),则圆心m的轨迹方程是()a.(x-1)2+(y+1)2=9b.(x+1)2+(y-1)2=9c.(x-1)2+(y-1)2=9d.(x+1)2+(y+1)2=9【解析】选a.因为以ab为直径的圆恰好经过点c(1,-1),所以cacb,故acb为直角三角形,又m为斜边ab中点,所以|mc|=12|ab|=3,故点m的轨迹是以c(1,-1)为圆心,3为半径的圆,其方程为(x-1)2+(y+1)2=9.【加固训练】(2013郑州模拟)动点p到点a(8,0)的距离是到点b(2,0)的距离的2倍,则动点p的轨迹方程为()a.x2+y2=32b.x2+y2=16c.(x-1)2+y2=16d.x2+(y-1)2=16【解析】选b.设p(x,y),则由题意可得:2(x-2)2+y2=(x-8)2+y2,化简整理得x2+y2=16.5.设过点p(x,y)的直线分别与x轴正半轴和y轴正半轴交于a,b两点,点q与点p关于y轴对称,o为坐标原点,若bp=2pa,oqab=1,则点p的轨迹方程是()a.32x2+3y2=1(x0,y0)b.32x2-3y2=1(x0,y0)c.3x2-32y2=1(x0,y0)d.3x2+32y2=1(x0,y0)【解析】选a.设a(a,0),b(0,b)(a,b0),可得bp=(x,y-b),pa=(a-x,-y),oq=(-x,y),ab=(-a,b).由bp=2pa,得x=2a-2x,y-b=-2y,即a=32x,b=3y.由oqab=1得ax+by=1.所以32x2+3y2=1(x0,y0).6.已知a(0,7),b(0,-7),c(12,2),以c为一个焦点的椭圆经过a,b两点,则椭圆的另一个焦点f的轨迹方程是()a.y2-x248=1(y-1)b.y2-x248=1(y1)c.x2-y248=1(x-1)d.x2-y248=1(x1)【思路点拨】先求出已知点间的距离,再依据椭圆的定义解决.【解析】选a.由题意知|ac|=13,|bc|=15,|ab|=14,又因为|af|+|ac|=|bf|+|bc|,所以|af|-|bf|=|bc|-|ac|=2,故点f的轨迹是以a,b为焦点,实轴长为2的双曲线的下支.又c=7,a=1,b2=48,所以点f的轨迹方程为y2-x248=1(y-1).7.已知点p在定圆o的圆内或圆周上,动圆c过点p与定圆o相切,则动圆c的圆心轨迹可能是()a.圆或椭圆或双曲线b.两条射线或圆或抛物线c.两条射线或圆或椭圆d.椭圆或双曲线或抛物线【解析】选c.当点p在定圆o的圆周上时,圆c与圆o内切或外切,o,p,c三点共线,所以轨迹为两条射线.当点p在定圆o内时(非圆心),|oc|+|pc|=r0为定值,且r0|op|,所以轨迹为椭圆.当p与o重合时,圆心轨迹为圆.【误区警示】本题易因讨论不全,或找错关系而出现错误.8.已知点m(-3,0),n(3,0),b(1,0),动圆c与直线mn切于点b,过m,n与圆c相切的两直线相交于点p,则p点的轨迹方程为()a.x2-y28=1(x1)b.x2-y28=1(x0)d.x2-y210=1(x1)【解析】选a.设另两个切点为e,f,如图所示,则|pe|=|pf|,|me|=|mb|,|nf|=|nb|,从而|pm|-|pn|=|me|-|nf|=|mb|-|nb|=4-2=21).二、填空题(每小题5分,共20分)9.方程(x+y-1)x-1=0表示的曲线为.【解析】由方程(x+y-1)x-1=0可得x-10,x+y-1=0或x-10,x-1=0.即x+y-1=0(x1)或x=1,所以方程表示直线x=1和射线x+y-1=0(x1).答案:直线x=1和射线x+y-1=0(x1)10.已知向量a=(x,3y),b=(1,0),且(a+3b)(a-3b).则点m(x,y)的轨迹c的方程为.【解析】因为(a+3b)(a-3b),所以(a+3b)(a-3b)=0,所以a2-3b2=0,所以x2+3y2-3=0,即点m(x,y)的轨迹c的方程为x23+y2=1.答案:x23+y2=111.下列说法:在abc中,已知a(1,1),b(4,1),c(2,3),则ab边上的高的方程是x=2;方程y=x2(x0)的曲线是抛物线;已知平面上两定点a,b,动点p满足|pa|-|pb|=12|ab|,则p点的轨迹是双曲线;第一、三象限角平分线的方程是y=x.正确的是.【解析】中高线为线段,中为抛物线的一部分,中是双曲线的一支,中方程是正确的.答案:【加固训练】曲线c是平面内与两个定点f1(-1,0)和f2(1,0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹.给出下列三个结论:曲线c过坐标原点;曲线c关于坐标原点对称;若点p在曲线c上,则f1pf2的面积不大于12a2.其中,所有正确结论的序号是.【解析】设p(x,y)为曲线c上任意一点,则由|pf1|pf2|=a2,得(x+1)2+y2(x-1)2+y2=a2.把(0,0)代入方程可得1=a2,与a1矛盾,故不正确.当m(x,y)在曲线c上时,点m关于原点的对称点m(-x,-y)也满足方程,故曲线c关于原点对称,故正确.sf1pf2=12|pf1|pf2|sinf1pf2=12a2sinf1pf212a2,故正确.答案:12.(能力挑战题)设椭圆方程为x2+y24=1,过点m(0,1)的直线l交椭圆于a,b两点,o是坐标原点,点p满足op=12(oa+ob),当l绕点m旋转时,动点p的轨迹方程为.【思路点拨】设直线l的斜率为k,用参数法求解,但需验证斜率不存在时是否符合要求.【解析】直线l过点m(0,1),当斜率存在时,设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1.设a(x1,y1),b(x2,y2),由题设可得点a,b的坐标(x1,y1),(x2,y2)是方程组y=kx+1x2+y24=1的解,将代入并化简得,(4+k2)x2+2kx-3=0,所以x1+x2=-2k4+k2,y1+y2=84+k2,于是op=12(oa+ob)=x1+x22,y1+y22=-k4+k2,44+k2.设点p的坐标为(x,y),则x=-k4+k2,y=44+k2,消去参数k得4x2+y2-y=0,当斜率不存在时,a,b中点为坐标原点(0,0),也满足方程,所以点p的轨迹方程为4x2+y2-y=0.答案:4x2+y2-y=0【方法技巧】利用参数法求轨迹方程的技巧参数法是求轨迹方程的一种重要方法,其关键在于选择恰当的参数.一般来说,选参数时要注意:动点的变化是随着参数的变化而变化的,即参数要能真正反映动点的变化特征;参数要与题设的已知量有着密切的联系;参数要便于轨迹条件中的各种相关量的计算,也要便于消去.常见的参数有角度、斜率、点的横坐标、纵坐标等.三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.(2014嘉兴模拟)设点a(-3,0),b(3,0),直线am,bm相交于点m,且它们的斜率之积为-23.(1)求动点m的轨迹c的方程.(2)若直线l过点f(1,0)且绕f旋转,l与圆o:x2+y2=5相交于p,q两点,l与轨迹c相交于r,s两点,若|pq|4,19,求frs的面积的最大值和最小值(f为轨迹c的左焦点).【解析】(1)设m(x,y),则kmakmb=yx+3yx-3=-23(x3),化简得x23+y22=1,所以轨迹c的方程为x23+y22=1(x3).(2)设l:x=my+1,o到l的距离d=11+m2,所以|pq|=25-11+m24,19,所以0m23,将x=my+1代入轨迹c方程并整理得:(2m2+3)y2+4my-4=0.设r(x1,y1),s(x2,y2),则y1+y2=-4m2m2+3,y1y2=-42m2+3,所以|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=16m2(2m2+3)2+162m2+3,所以s=12|y1-y2|ff|=43(m2+1)(2m2+3)2,设m2+1=t1,4,则f(t)=4t+1t在1,4上递增,所以f(t)5,654,所以s=43t(2t+1)2=434+4t+1t,所以smin=839,smax=433.【误区警示】本题易漏掉除去x3且x-3两种情况,其原因是化简时,不是同解变形.14.(2013蚌埠模拟)已知点c(1,0),点a,b是o:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足acbc=0,设p为弦ab的中点.(1)求点p的轨迹t的方程.(2)试探究在轨迹t上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点c的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)连接cp,op,oa,由acbc=0,知acbc,所以|cp|=|ap|=|bp|=12|ab|.由垂径定理知|op|2+|ap|2=|oa|2,即|op|2+|cp|2=9.设点p(x,y),有(x2+y2)+(x-1)2+y2=9,化简,得到x2-x+y2=4.(2)根据抛物线的定义,到直线x=-1的距离等于到点c(1,0)的距离的点都在抛物线y2=2px上,其中p2=1,所以p=2,故抛物线方程为y2=4x.由方程组y2=4x,x2-x+y2=4,得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4,由于x0,故取x=1,此时y=2.故满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2).15.(能力挑战题)如图,动圆c1:x2+y2=t2,1t3,与椭圆c2:x29+y2=1相交于a,b,c,d四点,点a1,a2分别为c2的左,右顶点.(1)当t为何值时,矩形abcd的面积取得最大值?并求出其最大面积.(2)求直线aa1与直线a2b交点m的轨迹方程.【思路点拨】(1)由于a,b,c,d四点的对称性,可设出它们的坐标,利用坐标的某个变量来表示矩形面积,建立函数,求最值;(2)利用点的坐标,据直线方程的点斜式写出直线方程,求交点坐标,用交轨法求轨迹方程.【解析】(1)由于a,b,c,d四点的对称性,设a(x0,y0),b(x0,-y0),c(-x0,-y0),d(-x0,y0),则矩形abcd的面积为s=abbc=2|y0|2|x0|=4|x0y0|,由点a(x0,y0)在椭圆x29+y2=1上,所以x029+y02=1y02=1-x029.从而x02y02=x02(1-x029)=-19(x02-92)2+94,故x02=92,y02=12时,x