【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第14章 计数原理、二项式定理、概率14．4独立性及二项分布教学案 苏教版.doc

14.4独立性及二项分布1了解条件概率和两个事件相互独立的概率2理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题1条件概率及其性质(1)一般地，若有两个事件a和b，在已知事件b发生的条件下事件a发生的概率，则称为事件b发生的条件下事件a的_，记为_，其公式为p(a|b)_.(2)条件概率具有的性质：_.如果a和b是两个互斥事件，则p(ab|c)p(a|c)p(b|c)2相互独立事件(1)一般地，若事件a，b满足p(a|b)p(a)，则称事件a，b独立(2)若a与b相互独立，则p(a|b)_，p(ab)_.(3)若a与b相互独立，则_，_，_也都相互独立(4)若p(ab)p(a)p(b)，则a与b_.(5)若a1，a2，an(n2)相互独立，则p(a1a2an)p(a1)p(a2)p(an)3二项分布(1)一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即a与，每次试验中p(a)p0.我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为伯努利试验(2)若随机变量x的分布列为p(xk)cpkqnk，其中0p1，pq1，k0,1,2，n，则称x服从参数为n，p的二项分布，记作xb(n，p)1已知p(ab)，p(a)，则p(b|a)_.2小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是_3如果xb，则使p(xk)取最大值的k值为_4有1道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它求2人都未解决的概率和问题得到解决的概率1p(b|a)与p(ab)有何区别？提示：p(b|a)的值是ab发生相对于事件a发生的概率的大小；而p(ab)是ab发生相对于原来的全体基本事件而言，一般p(b|a)p(ab)2若事件a，b互斥，则p(b|a)是多少？提示：a与b互斥，即a与b不同时发生，所以p(ab)0，p(b|a)0.3互斥事件与相互独立事件有什么区别？提示：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响互斥事件与相互独立事件之间没有必然的联系，也就是说两个事件相互独立，则一定不能互斥；反之，若两个事件互斥，则不能相互独立一、条件概率及其性质【例1】 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件a为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件b为“两颗骰子的点数之和大于8”(1)求p(a)，p(b)，p(ab)；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率方法提炼条件概率的求法(1)利用定义，分别求p(a)和p(ab)，得p(b|a)，这是通用的求条件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件a包含的基本事件数n(a)，再在事件a发生的条件下求事件b包含的基本事件数，即n(ab)，得p(b|a).请做针对训练1二、事件的独立性的应用【例2】 已知挑选空军飞行学员可以说是“万里挑一”，要想通过需过“五关”目测、初检、复检、文考、政审等若某校甲、乙、丙三个同学都顺利通过了前两关，有望成为光荣的空军飞行学员根据分析，甲、乙、丙三个同学能通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4，通过政审关的概率均为1.后三关相互独立(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过复检的概率；(2)设通过最后三关后，能被录取的人数为x，求随机变量x的数学期望e(x)方法提炼(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算(2)已知两个事件a，b相互独立，它们的概率分别为p(a)，p(b)，则有事件表示概率a，b恰有一个发生(a)(b)p(a)p()p()p(b)a，b中至少有一个发生(a)(b)(ab)p(a)p()p()p(b)p(a)p(b)a，b中至多有一个发生(a)(b)( )p(a)p()p()p(b)p()p()请做针对训练2三、二项分布【例3】(2012江苏四市联考)某地区通过先初试再复试选拔篮球运动员，初试依次进行四项测试，若选手通过其中两项测试，则可直接进入复试，不再进行剩余项测试；若选手前三项测试均不通过，则不进行第四项测试假设选手甲在初试中通过每项测试的概率都是，且每项测试是否通过互相独立(1)求选手甲前两项测试均不通过的概率；(2)设选手甲参加初试测试的次数为x(x2)，求x的概率分布及x的数学期望方法提炼1独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的2在n次独立重复试验中，事件a恰好发生k次的概率为p(xk)cpk(1p)nk，k0,1,2，n.在利用该公式时一定要审清公式中的n，k各是多少请做针对训练3四、概率的综合应用【例4】 一个口袋中装有n个红球(n5且nn)和5个白球，这些球除颜色外完全相同，每次从袋中任意摸出两个球，记录下颜色后，再放回袋中(1)当n5时，设表示第一次摸出的两个球中红球的个数，求的概率分布及数学期望(2)某人共三次摸出球，记三次摸球中恰有一次两球颜色不同的概率为p.当n等于多少时，p最大？方法提炼二项分布实际上是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，它是一种很常见的随机变量的分布，应用十分广泛，如有放回地取球取到白球的个数、射击试验命中的次数等都服从二项分布利用二项分布的模型可以快速地写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量取每一个具体概率值的过程因此，我们应熟练掌握二项分布请做针对训练4二项分布及其应用在每年的高考解答题中均有考查，主要以条件概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验和二项分布的概率模型为载体，综合考查某一事件发生的概率能正确确定离散型随机变量的取值，明确各个值所对应的事件的概率是正确解答此类问题的关键1有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_2根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率3一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.(1)设x为这名学生在途中遇到红灯的次数，求x的分布列；(2)设y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求y的分布列4某城市有甲、乙、丙、丁4个旅游景点，一位客人游览这4个景点的概率都是0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值(1)求的分布列及数学期望；(2)记“函数f(x)x23x1在区间4，)上单调递增”为事件a，求事件a的概率参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)条件概率p(a|b)(2)0p(a|b)12(2)p(a)p(a|b)p(b)p(a)p(b)(3)a与与b与(4)相互独立基础自测1.解析：p(b|a).2.解析：所求概率pc131.33或4解析：采取特殊值法p(x3)c312，p(x4)c411，p(x5)c510，从而易知p(x3)p(x4)p(x5)考点探究突破【例1】解：(1)p(a).两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果共有10个p(b).当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故p(ab).(2)由(1)知p(b|a).【例2】解：(1)分别记甲、乙、丙三个同学复检合格为事件a1、a2、a3，e表示事件“恰有一人通过复检”p(e)p(a1 2 3)p(1a23)p(1 2 a3)0.50.40.250.50.60.250.50.40.750.275.(2)方法一：因为甲、乙、丙三个同学通过三关的概率均为p0.3，所以xb(3,0.3)故e(x)np30.30.9.方法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件a，b，c，则p(a)p(b)p(c)0.3，所以p(x1)3(10.3)20.30.441.p(x2)30.320.70.189，p(x3)0.330.027，于是，e(x)10.44120.18930.0270.9.【例3】 解：(1)记“选手甲前两次测试均不通过”为事件a，则p(a)2.即选手甲前两次测试均不通过的概率为.(2)p(x2)2，p(x3)c3，p(x4)c2.故x的概率分布如表所示.x234pe(x)234.【例4】解：(1)当n5时，可取0,1,2，p(0)，p(1)，p(2)，012pe()0121.(2)设每次摸球，两球颜色不同的概率为p，则p.则三次摸球中恰有一次两球颜色不同的概率为pp3(1)cp(1p)23p36p23p,0p1.p9p212p33(p1)(3p1)，令p0，则p1(舍)，p.p在上为增函数，在上为减函数，当p时，p取得最大值p，解得n20.答：当n20时，p最大演练巩固提升针对训练10.72解析：设种子发芽为事件a，种子成长为幼苗(即发芽，又成活为幼苗)为事件ab，出芽后的幼苗的成活率为：p(b|a)0.8，p(a)0.9，根据条件概率公式p(ab)p(b|a)p(a)0.80.90.72，即这粒种子成长为幼苗的概率为0.72.2解：(1)设“购买甲种保险”事件为a，“购买乙种保险”事件为b.由已知条件p(a)0.5，p(b)0.3，p(b)p()0.3，p(b)0.6，所以，1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为1p( )1p()p()1(10.5)(10.6)0.8.(2)一位车主两种保险都不购买的概率为pp( )0.2，因此3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为c0.20.820.384.3解：(1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故xb.所以x的分布列为p(xk)ck6k，k0,1,2,3,4,5,6.(2)由于y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然y是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中yk(k0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算p(yk)k(k0,1,2,3,4,5)，而y6表示一路没有遇上红灯故其概率为p(y6)6，因此y的分布列为：y0123p23y456p4564.解：(1)分别设“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点”“客人游览丁景点”为事件a1，a2，a3，a4，由已知a1，a2，a3，a4相互独立，且p(a1)p(a2)p(a3)p(a4)0.6，客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3,4；相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为4,3,2,1,0.所以的可能取值为0,2,4