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第五章第五章线性微分方程组线性微分方程组 5 15 15 15 1 考虑方程组 x x x xA A A A x x x x t dt d 1 其中 tA A A A是区间bta 上的连续nn 矩阵 它的元素为njitaij 2 1 1 如果 21 ttt n x x x xx x x xx x x x 是 1 的任意n个解 那么它们的朗斯基行列式 21 tWtxtxtxW n 满足下面的一阶线性微分方程 WtatataW nn 2211 2 2 解上面的一阶线性微分方程 证明下面的公式 0 0 0 11 battetWtW t tnn dssasa 证证 1 根据行列式的微分公式 1 221 111 1 221 111 1 221 111 txtx txtx txtx txtx txtx txtx txtx txtx txtx tW nnn n n nnn n n nnn n n 3 由于 21 ttt n x x x xx x x xx x x x 是 1 的解 所以 n j jknj n j jkj n j jkj nk k k nnn n n k txta txta txta tx tx tx tata tata tata t 1 1 2 1 1 2 1 1 221 111 x x x x 所以 n j jkijik nkitxtatx 1 2 1 把这些等式代入 3 的右端 化 简计算每个行列式 如 3 式右端第一项等于 11 1 221 111 11 1 221 1 1 1 11 tWta txtx txtx txtx ta txtx txtx txtatxta nnn n n nnn n n j jnj n j jj 类似地可以算出 3 式右端其它各项分别为 22 tWtatWta nn 代入 3 得 WtatataW nn 2211 2 2 方程 2 是关于 tW的一阶线性微分方程 分离变量可求得通解为 t t nn dssasa CetW 0 11 C为任意常数 若 00 tWWtt 则 0 tWC 于是 t tnn dssasa etWtW 0 11 0 评注 评注 公式 t tnn dssasa etWtW 0 11 0 称为刘维尔公式 反映了线性齐次方程组 的解与系数矩阵 tA A A A的关系 2211 1 tatatata nn n i ii 称为矩阵 tA A A A的迹 记为 ttrA A A A 所以刘维尔公式又可表示为 t t dsstr etWtW 0 0 A A A A 从公式中可以看出 线性 齐次方程组 1 的n个解构成的朗斯基行列式 tW或者恒为零 或者恒不为零 5 25 25 25 2 设 tA A A A为区间bta 上连续的nn 实矩阵 t 为方程x x x xA A A Ax x x x t 的基本解 矩阵 而 t x x x x 为其一解 试证 1 对于方程y y y yA A A Ay y y y t T 的任一解 t y y y y 必有 tt T 常数 2 t 为方程y y y yA A A Ay y y y t T 的基本解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C C C C 使C C C C tt T 证证 1 由于 t y y y y 为方程y y y yA A A Ay y y y t T 的解 则 ttt T A A A A 两边转置 得 ttt T T A A A A 即 ttt TT A A A A 因为 tttt dt ttd TT T tttttt TT A A A A A A A A 0 所以必有 tt T 常数 2 必要性 由于 t 为方程y y y yA A A Ay y y y t T 的基本解矩阵 则 ttt T A A A A 转置后 得 ttt TT A A A A 因为 tttt dt ttd TT T tttttt TT A A A A A A A A 0 0 0 0 零矩阵 所以C C C C tt T 常数矩阵 而 t 和 t 都是基本解矩阵 因而C C C C还为非 奇异矩阵 充分性 由于存在非奇异的常数矩阵C C C C 使 C C C C tt T 两边关于t求导数 有 tttt dt ttd TT T 0 0 0 0 ttttt TT A A A A 即 ttttt TT A A A A 而 t 是基本解矩阵 则 t 为非奇异矩阵 故有 ttt TT A A A A 即 ttt TT A A A A 两边再转置 得 ttt T A A A A 即证明了 t 为方程y y y yA A A Ay y y y t T 的基本解矩阵 评注 评注 由证明过程可以看出 方程y y y yA A A Ay y y y t T 和x x x xA A A Ax x x x t 的解曲线之间满足 tt T 常数 5 35 35 35 3 设 t 是n阶线性方程组 AxAxAxAx x x x x dt d A A A A是nn 的常数矩阵 的标准基本解矩阵 即E E E E 0 证明 00 1 tttt 其中 0 t为某一值 证证 因 t 为基本解矩阵 则有 t dt td A A A A 0 det t 0 0 0 tt ttd ttd A A A A 即 0 0 tt dt ttd A A A A 所以 0 tt 也是基本解矩阵 由于线性齐次方程组任意两个基本解矩阵可以互相线性表示 故 C C C C 0 ttt 由条件E E E E 0 得 E E E E C C C C 0 0 t 即得 0 1 t C C C C 所以有 00 1 tttt 评注 评注 这是标准基本解矩阵的一个性质 即 exp exp exp 00 A A A AA A A AA A A Atttt 5 45 45 45 4 试求下列方程的通解 1 22 sec t txx 2 t exx 2 8 解解 1 i 2 1 2 0 1 齐次方程的基本解组为ttxttxsin cos 21 所以1 cossin sincos 21 tt tt txtxW 取0 0 t 利用常数变易公式 dssf sxsxW sxtxsxtx t t t 0 21 2112 可得原方程的特解为 ttttds s ststt t coslncossin cos 1 sincoscos sin 0 原方程的通解为tCtCttttxsincoscoslncossin 21 2 08 3 i31 2 3 21 齐次方程基本解组为tetxtetxetx ttt 3sin 3cos 32 2 1 利用常数变易公式 原方程满足初始条件的特解为 dssf sxsxsxW sxsxsxW txt k t k k 3 1 0 321 321 其中 321 sxsxsxWk是在朗斯基行列式 321 sxsxsxW中的第k列代以 T1 0 0 后得到的行列式 经计算可得 3cos33sin3 3cos33sin3 3 312 3 2 2 1 ttetW ttetW etW tW t t t 可得原方程的特解为teteetet tttt 3sin 576 3 3cos 192 5 24 1 12 1 22 原方程的通解为 ttt teeCetCtCx 22 321 12 1 3sin3cos 评注评注 此题主要是常数变易公式的应用 常数变易公式表明线性非齐次方程的特解可以 由对应齐次方程的基本解组的朗斯基行列式表示 当然 此题中的 2 用待定系数方法求特 解会更简单 5 55 55 55 5 给定方程 78tfxxx 其中 tf在 t0上连续 试利用常数变易公式 证明 1 如果 tf在 t0上有界 则上面方程的每一个解在 M 使得 0 tMtf 而在 t0上 10 t e 故在 t0上有 MCCe M e M CC dsee M dsee M CCt tt t s t t s t 21 4 1 42 1 6 66 21 7 21 0 7 7 0 21 所以 每一个解 t 在 t0上有界 2 因为 t st t sttt dssfeedssfeeeCeCt 0 77 0 7 21 6 1 6 1 又 t时 0 tf 所以若 t s dssfe 0 和 t s dssfe 0 7 均有界 则当 t时 0 0 7 tt ee 因而 对每一个解 t 都有0 t 设 t s dssfe 0 和 t s dssfe 0 7 都是无穷大量 则 lim lim 6 1 lim 6 1 lim 7 21 7 0 7 0tt t t t s t t t s tt eCeC e dssfe e dssfe t 0 7 lim 6 1 lim 6 1 7 7 t t t t t t e tfe e tfe 所以 方程的每一个解 t 满足0 t 当 t 评注评注 一般地 对于高阶常系数线性非齐次方程有如下结论 若其对应齐次方程的特征 根的实部均为负 则当非齐次项 tf在 t0上有界 则方程的每一个解在 t0上 有界 若当 t时0 tf 则方程的每一个解 t 满足0 t 当 t 5 65 65 65 6 给定方程组 x x x xA A A A x x x x t dt d 1 这里 tA A A A是区间bta 上连续的nn 矩阵 设 t 是方程 1 的一个基本解矩阵 n 维向量函数 x x x xF F F F t在bta x x x x上连续 0 bat 试证明初值问题 x x x xF F F Fx x x xA A A Ax x x x 0 t tt 2 的解 t 是积分方程组 dsssstttt t t 1 0 1 0 x x x xF F F F x x x x 3 的连续解 反之 3 的连续解也是初值问题 2 的解 证证 因为 t 是初值问题 2 的解 所以 ttttt F F F F A A A A 这说明 x x x xF F F F t 是t的向量函数 且 t 是线性非齐次方程组 ttt F F F Fx x x xA A A Ax x x x 的满足初始条件 0 t解 于是有 dsssstttt t t 1 0 1 0 F F F F 这说明 t 是积分方程组 3 的连续解 反之 设 t 是积分方程组 3 的连续解 则有 3 式成立 微分 3 的两边得 0 0 1 0 1 11 0 1 ttdssssttt ttttdsssstttt t t t t F F F F F F F F F F F F F F F F 又 t 是基本解矩阵 ttt A A A A 所以 0 1 0 1 ttdsssstttttt t t F F F F F F F F A A A A A A A A 0 1 0 1 ttdsssstttt t t F F F F F F F F A A A A tttt F F F F A A A A 且 0 t 故 t 也是初值问题 2 的解 评注评注 方程组 x x x xF F F Fx x x xA A A Ax x x xtt 虽是线性非方程组 但和它等价的积分方程组在形 式上与线性非齐次方程组的常数变易公式相同 这个积分方程组在微分方程定性理论方面有 广泛的应用 5 75 75 75 7 试 证 如 果 t 是 方 程 组AxAxAxAxx x x x 满 足 初 始 条 件 0 t的 解 那 么 A A A A exp 0 ttt 证证 由于方程组AxAxAxAxx x x x 的基本解矩阵是 exp tA A A A 设 t 的形式为C C C CA A A A exp tt 1 则由初始条件得C C C CA A A A exp 00 tt 而 exp exp 0 1 0 ttA A A AA A A A 所以 A A A AC C C C exp 0 t 代入 1 得 A A A A exp 0 ttt 评注 评注 一阶常系数线性齐次微分方程组AxAxAxAxx x x x 的标准基本解矩阵为 exp tA A A A 通解 为C C C CA A A A exp tt 满足初始条件 0 t的解为 A A A A exp 0 ttt 5 85 8 试求方程组AxAxAxAxx x x x 的一个基本解矩阵 并计算 exp tA A A A 其中A A A A为 1 21 12 2 244 354 332 3 115 118 301 解解 1 由 21 12 det A A A AE E E E03 2 得3 2 1 又由代数方程组 0 231 123 2 1 u u 求得属于特征值3 1 的特征向量为 32 1 1 u u u u 同理属于特征值3 2 的特征向量为 32 1 2 u u u u 所以基本解矩阵为 2 3 1 3 u u u uu u u u tt ee t tt tt ee ee 33 33 32 32 标准基本解矩阵为 exp tA A A A 0 1 t 1 33 33 3232 11 3232 tt tt ee ee 132 132 3232 6 3 33 33 tt tt ee ee tttt tttt eeee eeee 3333 3333 3232 3232 6 3 2 由 1 1 0 354 332 244 354 332 det A A A AE E E E 100 324 302 0 2 2 1 得特征根为221 321 由特征向量方程组 244 354 332 0 0 0 3 2 1 u u u 分别求得属于特征根 321 的特征向量为 0 1 1 1 1 0 和 1 1 1 所以基本解组为 1 1 1 1 1 0 0 1 1 22ttt eeet tt ttt tt ee eee ee 22 22 2 0 0 标准基本解矩阵为 exp tA A A A 0 1 t 1 22 22 2 110 111 101 0 0 tt ttt tt ee eee ee 111 011 110 0 0 22 22 2 tt ttt tt ee eee ee ttttt ttttttt ttttt eeeee eeeeeee eeeee 22222 22222 222 3 由 115 118 301 det A A A AE E E E 0915 23 得特征根为3 1 72 3 2 由特征向量方程组 115 118 301 0 0 0 3 2 1 u u u 分别求得属于特征根 321 的特征向量为 3 4 3 7 1 3 71 3 574 1 和 3 71 3 745 1 所以基本解组为 3 71 3 574 1 3 71 3 574 1 3 4 3 7 1 72 72 3ttt eeet ttt ttt tt t eee eee eee 72 72 3 72 72 3 72 72 3 3 71 3 71 3 4 3 574 3 574 3 7 标准基本解矩阵为 exp tA A A A 0 1 t ttt ttt tt t eee eee eee 72 72 3 72 72 3 72 72 3 3 71 3 71 3 4 3 574 3 574 3 7 1 3 71 3 71 3 4 3 574 3 574 3 7 111 74 1 ttt ttt tt t eee eee eee 72 72 3 72 72 3 72 72 3 3 71 3 71 3 4 3 574 3 574 3 7 3 742 3 75 73 3 742 3 75 73 3 78 3 72 72 由于所求标准基本解矩阵表达式占空间比较大 我们将它的每一列表示如下 ttt ttt ttt eee eee eee 72 72 3 72 72 3 72 72 3 3 7410 3 7410 3 78 3 713 3 7713 3 714 73 73 72 74 1 t t t t t t t t t eee eee eee 72723 72723 72723 9 742 9 742 9 78 9 72553 9 72553 9 714 3 75 3 75 3 72 74 1 ttt ttt ttt eee eee eee 72 72 3 72 72 3 72 72 3 9 7226 9 7226 9 732 9 728122 9 728122 9 756 3 742 3 274 3 78 74 1 评注评注 求基本解矩阵或标准基本解矩阵是求解线性方程组的基础 对于常系数线性方程 组 且其系数矩阵的特征值为互不相同的单根时 求基本解矩阵的关键是转化为求系数矩阵 的特征值和特征向量的问题 5 95 9 给定方程组 02 023 2211 22111 xxxx xxxxx 1 1 试证上面方程组等价于方程组AuAuAuAuu u u u 2 其中 2 1 1 3 2 1 x x x u u u u u u u 112 244 010 A A A A 2 试求与 1 等价的方程组 2 的基本解矩阵 3 试求原方程组满足初始条件0 0 1 0 0 0 211 xxx的解 证 1 令 231211 xuxuxu 则方程组 1 化为 3123 33122 21 2 23 uuuu uuuuu uu 将上式的第三式代入第二式得 3213 3212 21 2 244 uuuu uuuu uu 上式向量形式为 u u u uu u u u 112 244 010 即 AuAuAuAuu u u u 2 反之 设 322111 uxuxux 则方程组 2 化为 2112 2111 2 244 xxxx xxxx 即 2112 2112111 2 2 32 xxxx xxxxxxx 可得 2112 22111 2 23 xxxx xxxxx 解 2 求方程组 2 的基本解矩阵 第一步 求特征根和特征向量 由0 1 2 112 244 01 det A A A AE E E E 得特征根为 210 321 正是互不相同的单根 由0 0 0 0 u u u uA uA uA uA uE E E E 112 244 010 1 得0 2 0 1 1 u u u u 由0 0 0 0 u u u uA uA uA uA uE E E E 212 234 011 2 得0 2 1 1 1 2 u u u u 由0 312 224 012 2 u u u uA uA uA uA uE E E E 得0 0 2 1 3 u u u u 第二步 求标准基本解矩阵 取 2 0 1 1 v v v v 2 1 1 1 2 v v v v 0 2 1 3 v v v v 则基本解矩阵为 0 2 1 2 20 1 2 2 3 2 21 0 t tt tt ttt e ee ee eeetv v v vv v v vv v v v 所以 由于标准基本解矩阵 0 exp 1 A A A Att 所以有 1 2 3 2 224 1 2 1 1 0 2 1 2 20 1 0 2 1 2 210 111 0 2 1 2 20 1 exp 2 2 1 2 2 t tt tt t tt tt e ee ee e ee ee tA A A A ttt tttttt tttttt eee eeeeee eeeeee 2122 223244 21 2 3 2 2 1 241 222 222 3 求原方程组满足初始条件0 0 1 0 0 0 211 xxx的解 解法 1 令 231211 xuxuxu 则 1 化为等价的方程组 2 且初始条件变为 0 0 1 0 0 0 321 uuu 而 2 满足此初始条件的解为 A A A A exp t 0 1 0 2122 223244 21 2 3 2 2 1 241 222 222 ttt tttttt tttttt eee eeeeee eeeeee t tt tt e ee ee 1 32 2 3 2 2 1 2 2 于是根据等价性 1 满足初始条件的解为 ttt exeex 1 2 3 2 2 1 2 2 1 解法 2 拉普拉斯变换法 设 txi的拉普拉斯变换记为 sXi 2 1 i 在方程组两端施行拉普拉斯变换得 0 2 0 2 31 2211 22111 2 sXssXsXssX sXssXsXssXsXs 即 0 1 2 1 1 23 21 21 2 sXssXs sXssXss 解得 2 1 2 3 1 1 2 1 2 1 1 sss sX 1 11 1 1 2 ssss sX 再施行拉普拉斯逆变换得所求初值问题的解为 tt eetx 2 1 2 3 2 2 1 t etx 1 2 评注评注 高阶方程组可转化为一阶方程组 且它们对应的初值问题是等价的 利用这个等 价原理 有时在解方程组时消去某几个未知函数 使方程组用一个未知函数及其各阶导数来 表示 从而转化为高阶方程的求解问题 有时也可将高阶方程组转化为一阶方程组来求解 有时也可直接求解高阶方程 组 拉普拉斯变换法就具有这样的功能 见 5 12 题 5 105 105 105 10 假设m不是矩阵A A A A的特征值 试证线性非齐次方程组 mt eC C C CAxAxAxAxx x x x 有一解形如 mt etP P P P 其中P P P PC C C C 是常数向量 证证 设方程有形如 mt etP P P P 的解 下面证明P P P P是可以唯一确定的 事实上 将 mt eP P P P代入方程组 得 mtmtmt eeemC C C CAPAPAPAPP P P P 因为0 mt e 所以有 C C C CAPAPAPAPP P P P m 即 C C C CA PA PA PA PE E E E m 又因m不是矩阵A A A A的特征值 即0 det A A A AE E E Em 所以 1 A A A AE E E Em存在 于是由C C C CA PA PA PA PE E E E m 得 C C C CA A A A E E E EP P P P 1 m 即P P P P可由方程组唯一确定 故方程确有一解 mtmt eemtP P P PC C C CA A A A E E E E 1 评注 评注 本题给出寻求线性非齐次方程组特解的一种方法 5 115 115 115 11 试求方程组 tf f f fAxAxAxAxx x x x 的满足初始条件的解 t 1 0 0 0 0 0 6116 100 010 A A A A t e t0 0 f f f f 2 2 1 0 12 34 A A A A t t t cos2 sin f f f f 3 1 1 0 20 12 A A A A t e t 2 0 f f f f 解 1 由6116 6116 10 01 det 23 A A A AE E E E 0 3 2 1 特征根为321 321 由特征向量方程组 0 0 0 6116 10 01 3 2 1 u u u 分别求得属于特征根 321 的特征 向量为 9 3 1 4 2 1 1 1 1 所以基本解组为 9 3 1 4 2 1 1 1 1 32ttt eeet ttt ttt ttt eee eee eee 32 32 32 94 32 标准基本解组为 0 exp 1 A A A Att ttt ttt ttt eee eee eee 32 32 32 94 32 1 941 321 111 ttt ttt ttt eee eee eee 32 32 32 94 32 2 1 131 286 156 ttttttttt ttttttttt ttttttttt eeeeeeeee eeeeeeeee eeeeeeeee 323232 323232 323232 982732518246 3491656126 2385266 2 1 由常系数线性非齐次微分方程组的满足初始条件 0 t的求解公式 A A A Ax x x x exp 0 ttt t t dssst 0 exp f f f fA A A A 所求特解为 0 0 0 exp ttA A A A t s ds e st 0 0 0 exp A A A A dse eee eee eee s t ststst ststst ststst 03322 3322 3322 98 34 2 2 1 ds eee eee eee t ststt ststt ststt 0232 232 232 98 34 2 2 1 tttt tttt tttt eeete eeete eeete 32 32 32 4 9 4 4 7 2 1 4 3 2 5 4 2 1 4 1 4 3 2 1 2 首先求出 12 34 A A A A的特征值与其对应的特征相量 021 12 34 det A A A AE E E E 由此得2 1 21 对于 1 1 其特征向量方程组为 0 0 0 0 u u u u 22 33 由此可得 1 1 1 u u u u 同样 对于2 2 有0 0 0 0 u u u u 32 32 由此可得 2 3 2 u u u u 再求齐次方程组的基本解矩阵 齐次方程组的两个线性无关解为 t e 1 1 t e 2 2 3 齐次方程组的基本解矩阵为 tt tt ee ee t 2 2 2 3 由于 tt ss ee ee s 22 1 32 则 11 32 0 1 所以标准基本解矩阵为 11 32 2 3 0 1 tt tt ee ee t 最后求方程满足初始条件 2 1 0 的解 t 由于线性非齐次微分方程组 tt dt d f f f fx x x xA A A A x x x x 的满足初始条件 0 t的解为 t t dssstttt 0 1 0 1 f f f f 所以 ds s s ee ee ee ee ee ee t t ss ss tt tt tt tt cos2 sin32 2 3 11 32 2 3 0 222 2 2 1 2 2 1 4 cos sin2cos4 2 3 2 32 3 32 2 2 2 2121 2121 te tte ee ee e e e e t t tt tt tt
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