南京航空航天大学《高等数学》119以2l为周期的傅里叶.pdf

以2以2l为周期的傅里叶级数为周期的傅里叶级数 问题的提出问题的提出 一 问题的提出一 问题的提出 的展开 上的函数包括定义在级数 展成傅立叶的前面已讨论周期为 的展开 上的函数包括定义在级数 展成傅立叶的前面已讨论周期为 0 2 xf 0 2 函数的展开 上的包括定义在傅立叶级数 展成的如何将周期为现在的问题 函数的展开 上的包括定义在傅立叶级数 展成的如何将周期为现在的问题 lll xfl 22 l进行变量代换把周期为方法进行变量代换把周期为方法 2 2 TtF lt fxf tllxx l t lTxf 周期 作变换 满足狄氏条件 周期为分析 设 周期 作变换 满足狄氏条件 周期为分析 设 1 0 sincos 2 n nn ntbnta a 为间断点 为连续点 为间断点 为连续点 t tFtF ttF 2 0 0 1 0 sincos 2 n nn x l n bx l n a a 为间断点 为连续点 为间断点 为连续点 x xfxf xxf 2 0 0 1 0 sincos 2 n nn ntbnta a 为间断点 为连续点 为间断点 为连续点 t tFtF ttF 2 0 0 xftF l x t l l n l l n l l xdx l n xf l ntdttFb xdx l n xf l ntdttFa dxxf l dttFa sin 1 sin 1 cos 1 cos 1 1 1 0 2 1 n 二 以2二 以2l为周期的傅里叶级数为周期的傅里叶级数 定理定理 式为则它的傅里叶级数展开定理的条件 满足收敛的周期函数设周期为 2xfl sincos 2 1 0 l xn b l xn a a xf n n n 为其中系数为其中系数 nn ba 2 1 0 cos 1 ndx l xn xf l a l l n 2 1 sin 1 ndx l xn xf l b l l n 1 为奇函数如果为奇函数如果xf则有则有 sin 1 n n l xn bxf sin 2 0 dx l xn xf l bb l nn 为其中系数为其中系数 2 1 n 2 为偶函数如果为偶函数如果xf 则有则有 cos 2 1 0 n n l xn a a xf dx l xn xf l aa l nn 0 cos 2 为其中系数为其中系数 2 1 0 n k 2 x y 204 4 解解 2 满足狄氏充分条件 满足狄氏充分条件 l 2 1 0 2 1 2 0 0 2 0 kkdxdxa 20 020 xk x xf 例例1 设设 f x 是周期为是周期为4 的周期函数的周期函数 它在它在 2 2 上的表达式为上的表达式为 将其展成 傅氏级数 将其展成 傅氏级数 2 0 2 cos 2 1 xdx n k 0 2 0 2 sin 2 1 xdx n kbn cos1 n n k 6 4 20 5 3 1 2 n n n k 当 当 当 当 2 5 sin 5 1 2 3 sin 3 1 2 sin 2 2 xxxkk xf 4 2 0 xx n a 2 1 n 解解 10 xz作变量代换作变量代换 155 x 55 z 10 zfxf zFz 55 的定义补充函数的定义补充函数 zzzF 5 5 F令令 10 TzF作周期延拓然后将作周期延拓然后将 收敛定理的条件这拓广的周期函数满足 收敛定理的条件这拓广的周期函数满足 5 5 zF内收敛于且展开式在内收敛于且展开式在 例例2 将函数展开成 傅氏级数 将函数展开成 傅氏级数 15510 xxxf x zF y 5 5 0 15 10 2 1 0 0 nan 5 0 2 sin 5 2 dz zn zbn 10 1 n n 2 1 n 5 sin 1 10 1 n n zn n zF 55 z 1 10 5 sin 1 10 10 n n x n n x 5 sin 1 10 1 n n x n n 155 x 另解另解 15 5 5 cos 10 5 1 dx xn xan 15 5 5 sin 10 5 1 dx xn xbn 15 5 15 5 5 cos 5 1 5 cos2dx xn xdx xn 0 15 5 0 10 5 1 dxxa 0 10 1 n n 2 1 n 1 5 sin 1 10 10 n n x n n xxf 故故 155 x 2 1 n 小结小结 利用变量代换求傅氏展开式利用变量代换求傅氏展开式 求傅氏展开式的步骤求傅氏展开式的步骤 1 画图形验证是否满足狄氏条件画图