略谈高等数学在初等数学教学中的应用-林廷山,李明辉.pdf

南宁师范高等专科学校学报 以例 年第 期 旧卜二 下舀 一一 一 一一 略谈高等数学在初等数学教学中的作 用 林廷山李明辉 柳州地区民族师 范学校广西柳州 南宁师范高等专科学校广西龙州 摘要本文把初等数学与高等数学联系起来 理论联系实际地谈了高等数学在初等数学教 学中的作用问题 关键词 高等数学初等数学 教学 教师 我们知道 初等数学与高等数学之间无论在观点上还是在方法上都有着很大的区别 正因为这个原因 有许多同志就认为 学生不需要懂得什么高等数学知识 教师只要能照本本讲下去就可以了 其实这是一种 误解 诚然 我们在课堂上不能把高等数学知识传授给学生 但我们作为一名教师倘若仅仅停留在本本上 那是很不够的 有时甚至连自己对一些初等数学问题也可能会感到费解 这是因为一方面 高等数学是初等 数学的继续和提高另一方面 初等数学里很多理论遗留问题必须在高等数学中才能得以澄清 因此 我们 对高等数学在初等数学教学中的作用不能掉以轻心 下面就这个问题谈谈笔者的一些初浅的体会 一 运用 高等数学把握初等数学的本质 把课教活 教学实践使我认识到 教师只有深人研究高等数学 才能深刻把握初等数学 的本质 使数学课堂教学不 失科学性 做到居高临下 把课教活 用数学分析中的辩证观点揭示初等数学中知识间的内在联系或用于指导解题教学 可培养学生 的辩证 思维能力 而且使得课堂教学显得生动 灵 活 例如 教完了棱柱 棱锥 棱台 圆柱 圆锥 圆台的概念后 教师可引导学用下表归纳总结 校校 台台 司台 台 从上面的图表可清晰地看到各概念之间的内在联系 及其互相转化的条件 它们的内在联系还在体积公式 上得到反映 因为原先的六个体积计算公式 都可以统一于台体的体积公式 粤 十 了亏歹 其中是高 和 分别是下底 上底 面的面积 进一步地 还可以看到 棱台是拟柱体的特例 所以柱 锥 台 的体积计算公式又都可以统一于拟柱体的体积公式 收稿 日期 一一 林廷山李明辉著略谈高等数学在初等数学教学中的作用 音 其中是高 和 分别是下底面 上底面和 中截面的面积 又如 教学例题一动圆过定点 且与定圆 尹 二 相切 求此动圆圆心的轨迹方程 题目当中 动圆的圆心是变动的 为研究它与定圆的相互依 赖关系 我们把它固定在某一位置上 如图 从而发现关系式 卿 进而推导 出其轨 迹方程 略 这里只画出的情况 接着引导学生这样想 题中的 是参变量 它们在题中代表常量 但如果它们变动 时 其轨迹图形的形状也会随之发生改变 特别地 当它们变动 到某一时刻时 就会引起图形发生质的变化 实际上 我们不难知道当 时 轨迹图形是椭圆当时 轨迹图形是直线轴当时 轨迹 图形是双曲线 这种奇妙的变化会引起学生极大的兴趣 再如 有这样一道题 求和 了交厄 百歹百 了夏万 工里不 如果想直接求和 那是办不到 的 教师 宁 可引导学生采用数学分析当中广泛使用 的 欲进先退 的策略 先拆后加即先分后合 问题便迎刃而解氏 币咬厄 乏 反 万互百互 一 万 十 百 一 了少 十 了 一 万 十 气一 一 兴 一 兴 止 七 十 运用近世代数的知识能深刻认识初等数学中数的概念的变化发展过程从自然数集扩张到整数集 就形 成了一个数环 在整数环中 除法运算不封闭 一般环中的非零元对乘法来说不一定的有逆元从整数集扩 张到有理数集 就形成了一个体 数域 在这个数域中 除法运算封闭 并且使整数集的离散性发展到有理数 集的稠密性从有理数集扩张到实数集 有理数集的间断性发展成实数集的连续性从实数集发展到复数集 使得在实数集中负数不能开偶次方的 到了复数集开方运算就封闭了 因为复数域成了的一个根号扩张 体 对于 复数 这部分 内容 如果教师的认识仅停留在本本上 只知道什么叫复数 复数如何如何进行加 减 乘 除 的运算等等 那么对复数未免还会有点不可思议 神秘 莫测之感 以前复数产生那么久不能为人们 所接受 其中原因之一恐怕就是人们仅仅停留在如此肤浅认识上吧如果我们教师能从高等数学的角度来 把握 那就能够看得很清楚了复数 其实就是由 实数对 组成 的一个集合 任 在这个集合 里规定了 加 乘 一 两种运算 使得集合成 为一个可换体域 这样一来 复数集只不过是可换体的一个具体例子罢 了 当然我们不能把这些传授给学 生 但事实证明 如果教师本身能站在如此高度上把握 教学就会灵活 主动得多 且不失科学性 不至产生费 解 正切函数的图象当接近 一 晋 和晋时的作法指数函数且 当图象向左或向右无 限伸展时的作法解析几何中双曲线的渐近线问题平面几何中圆的面积公式的推导等等 只有用极限的观 点才能跟学生说清楚 对高等代数中的 同构 观点 的把握 能使教师明白为什么实数集可以看作复数集的一个子集确切地说 是子域教师只有深人研究函数论中的连续及导数理论 才能理解为什么用描点法作函数图象时要强调 光 滑 二 运用高等数学观点看初等数学 问题 正确敏捷 运用高等数学知识可以提高对学生提出的一些问题的回答的正确性及敏捷性 如在教学 中有不少学生 会问老师关于多项式因式分解方面的问题 比如学生在实数范围内分解一元多项式 分解到某一步后觉得无 法分解下去了 于是就会问老师如此如此分解完整吗倘若用高等代数中关于多项式分解的理论 就能很快 作出回答 完整或不完整 因为高等代数业已证明 实系数的任何一个一元多项式在实数范围内都可以 分解为一次因式或者判别式小于零的不可约多项式的乘积 又如 多项式这章里有这样一个定理如果 笋 是两个实系数多项式 则 其中是除所得的商式 是余 浦珠 肺 施减 爵 专 料葵 技 续 椒 年第期 开幽 卫 式且次数小于的次数或者是零多项式 且高等代数里证明 这样的和是唯一的 曾有一位学生 问我关于一个求某一多项式除以另一多项式所得的商式和余式的问题 问求得对不对我先问他 你是怎么 求出来的他出乎我预料说道 我是根据关系式凑出来的 我很快回答 对 因为 经检查 等号两边是相等的 然后到的次数也满足定理说的条件 这样根据唯一性 他既然写成了这种形 式 结果当然是正确的 再如在三角函数的图象和性质中有这样一道题用 五点作图法 作 出函数 二 任 一二 们的图象 结果有些学生作出如图所示的样子 并问作得是否正确我很快回答 不正 确 首先 原来的函数等价于分段函数 图象在一处 不光滑 其次 求导得 一 刀 一 任 一二 任 二 任 一二 任 二 易知此函数在处不可导 因而其 一任 一二 任 二 可知函 亡 一一 数的二阶导数在 一 和 动 内都恒小于零 从而函数图象在区间 一 和 动 内都是下凹的 可见 函 数图象应作成图的样子 而对学生讲解时则应从 任 一二 司与 任 一二 司的关系上 引导学生进行思考 叮 一荃 矛曹咭 一夕 欠 妞 最后举一个例子 在教学中 一些勤动脑的学生经常问到为什么 笋 空集是任何一个集合 的子集教师若对高等数学研究得比较深 就会明白 数学里有许多地方之所以作出这样或那样 的规定 无 非是为了使得某一类数学问题从整体上获得思维上的一致性或描述上的划一性 如通过规定 尹 就能使得关于幂运算法则同底的幂相乘 底不变 指数相加 通行无阻 了 三 钻研高等数学可提高数学审美情趣 乐在教中 通过钻研高等数学可以提高对数学本身的审美能力 获得内心满足 进而可以提高数学教学的兴趣 同 其他美的事物一样 数学本身也蕴含着特有的美 这种美 只有非常深人了解它的人才能体验得到 举例说 明 如初等代数里有这样一个不等式设 玩 都是实数 则坑 蕊 扩 二 扩 时时 二 时 在初等数学里证明起来颇费劲 但如果从高等代数关于欧氏空间理论 中 的哥西一施瓦兹不等式来看 它就显得惊人的简单 明了又如 从近世代数观点来看 复数域只不过是近世 代数中所说的代数闭域 体的一个具体例子 由于抽象系统群 环 体 范畴 函子等的出现 复数理论中 的代数基本定理就渐渐失去了原有的地位 复数域也被代数闭域 体所代替 这里体现出惊人的抽象和高度 的概括 再如费马定理 扩 一 二 其中是质数 是任一与互质数 在初等数学里是很难证明的 但用 近世代数的 群论 知识 它的正确性简直是一目了然的最后再举一个例子 我们知道和是数学中 无 论是初等数学还是高等数学 两个非常重要的无理数 不管在数学理论上还是在数学计算方面 它们都扮演 着非常重要的角色 用初等数学知识看不出它们之间有什么联系 表面上看来似乎是毫不相干的 然而在高 等数学里 这两个无理数竟神奇般地被联系起来了在初等数学教学实践中 把这些初等数学间题同高等数 学问题联系起来看 你就会象看到其他美的事物时 会连声叫 美极了 一样 你也一定会对数学里显现出来 的这种高度抽象概括性 简 明性 统一性 赞美不止