高一数学难题解答.doc

（18）（本小题满分9分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数字为茎，个位数字为叶得到的茎叶图如图所示已知甲、乙两组数据的平均数都为10.（）求的值；（）分别求出甲、乙两组数据的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；（）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率注：为数据的平均数，方差（20）（本小题满分12分） 对于函数 如果存在实数使得，那么称为的线性组合函数.如对于，存在，使得，此时就是的线性组合函数.（）设，试判断是否为 的线性组合函数？并说明理由；（）设，线性组合函数为，若不等式在上有解，求实数的取值范围；（）设，取，线性组合函数使 恒成立，求的取值范围（可利用函数（常数）在上是减函数，在是增函数）21设f（x）=mx2+（m+4）x+3（1）试确定m的值，使得f（x）有两个零点，且f（x）的两个零点的差的绝对值最小，并求出这个最小值；（2）若m=1时，在0，（为正常数）上存在x使f（x）a0成立，求a的取值范围【分析】（1）f（x）为二次函数，令0得出m的取值范围，根据根与系数得关系用m表示两根的绝对值，求出新函数的最小值即可（2）求出f（x）在0，上的最大值fmax（x），则afmax（x）【解答】解：（1）f（x）有两个零点，解得m0设f（x）的两个零点为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=|x1x2|2=（x1+x2）24x1x2=（）2=+1=16（）2+当m=8时，|x1x2|2取得最小值|x1x2|的最小值为（2）当m=1时，f（x）=x2+3x+3，f（x）的对称轴为x=若0，则fmax（x）=f（）=2+3+3，若，则fmax（x）=f（）=在0，（为正常数）上存在x使f（x）a0成立，afmax（x）综上，当0时，a的取值范围是（，2+3+3）；当时，a的取值范围是（，）【点评】本题考查了二次函数的零点个数与系数的关系，二次函数的单调性与最值，属于中档题22定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意xD，存在常数M，都有f（x）M成立，则称f（x）是D上的有下界函数，其中M称为函数f（x）的一个下界已知函数f（x）=（a0）（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；（2）求函数f（x）在lna，+）上所有下界构成的集合【分析】（1）根据函数奇偶性的定义求出a的值即可；（2）通过定义证明函数f（x）在区间lna，+）上是增函数，求出函数的最小值，从而求出满足条件的集合即可【解答】解：（1）函数f（x）=（a0）是R上的偶函数，f（x）=f（x），即（exex）=a（）=a（exex）在R恒成立，=a，解得：a=1，（a0），（2）在lna，+）上任取x1，x2，且x1x2，则f（x1）f（x2）=（）a=（），y=ex是增函数，lnax1x2，0，x1+x22lna=lna2，=a2，a20，a0，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），函数f（x）在lna，+）上是增函数，f（x）min=f（lna）=+=2，函数f（x）在lna，+）上所有下界构成的集合是（，2【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查函数单调性的定义的应用，是一道中档题22某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）（1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少万元？【考点】函数模型的选择与应用 【专题】函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用待定系数法确定出f（x）与g（x）解析式即可；（2）设设投资债券类产品x万元，则股票类投资为（20x）万元，根据y=f（x）+g（x）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质判断即可得到结果【解答】解：（1）设f（x）=k1x，g（x）=k2，由题意，可得f（1）=0.125=k1，g（1）=k2=0.5，则f（x）=0.125x（x0），g（x）=0.5（x0）；（2）设投资债券类产品x万元，则股票类投资为（20x）万元，由题意，得y=f（x）+g（20x）=0.125x+0.5（0x20），令t=，则有x=20t2，y=0.125（20t2）+0.5t=0.125（t2）2+3，当t=2，即x=16万元时，收益最大，此时ymax=3万元，则投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品4万元获得收益最大，最大收益为4万元【点评】此题考查了函数模型的选择与应用，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键21已知函数（x1，+）且m1）（）用定义证明函数f（x）在1，+）上为增函数；（）设函数，若2，5是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）0恒成立，求实数m的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明 【专题】综合题【分析】（）设1x1x2+，=（x1x2）（），由1x1x2+，m1，能够证明函数f（x）在1，+）上为增函数（），对称轴，定义域x2，5，由此进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围【解答】（）证明：设1x1x2+，=（x1x2）（）1x1x2+，m1，x1x20，0，f（x1）f（x2）函数f（x）在1，+）上为增函数（）解：对称轴，定义域x2，5g（x）在2，5上单调递增，且g（x）0，g（x）在2，5上单调递减，且g（x）0，无解综上所述【点评】本题