普通高等学校招生全国统一考试数学文（安徽卷解析版）.doc

1 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文 安徽卷 解析版 年普通高等学校招生全国统一考试数学文 安徽卷 解析版 本试卷分第 i 卷 选择题 和第 ii 卷 非选择题 两部分 第 i 卷 1 至 2 页 第 ii 卷 3 至页 全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 考生注意事项 1 答题前 务必在试题卷 答题卡规定的地方填写自己的姓名 座位号 并认真核对 答题卡上所粘贴的条形码中姓名 座位号与本人姓名 座位号是否一致 务必在答题卡背面 规定的地方填写姓名和座位号后两位 2 答第 i 卷时 每小题选出答案后 用 2b 铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑 如需改 动 用橡皮擦干净后 再选题其他答案标号 3 答第 ii 卷时 必须使用 0 5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 要求字体工整 笔迹清晰 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置给出 确认后再用 0 5 毫米的黑色墨水签 字笔描清楚 必须在题号所指示的答题区域作答 超出答题区域书写的答案无效 在试题卷 草稿纸上答题无效 4 考试结束 务必将试题卷和答题卡一并上交 参考公式 参考公式 如果事件互斥 那么 s 表示底面积 h 表示底面上的高 棱柱体积 v sh 棱锥体积 第第 i i 卷 选择题卷 选择题 共共 5050 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 5050 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 i 是虚数单位 i 1 i 等于 a 1 i b 1 i c 1 i d 1 i 解析 依据虚数运算公式可知可得 选 d 2 1i 1 1iii 答案 d 2 若集合 则是 a 1 2 3 b 1 2 c 4 5 d 1 2 3 4 5 解析 解不等式得 1 3 2 axx 1 5bx xnx 选 b 1 2ab 答案 b 3 不等式组所表示的平面区域的面积等于 2 a b c d 解析 由可得 故 阴阴 选 c 340 340 xy xy 1 1 cs 14 23 c abx 答案 c 4 是 且 的 a 必要不充分条件 b 充分不必要条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 易得时必有 若时 则可能有 选abcd 且 且acbd acbd adcb 且 且 a 答案 a 5 已知为等差数列 则等于 a 1 b 1 c 3 d 7 解析 即 同理可得 公差 135 105aaa 3 3105a 3 35a 4 33a 43 2daa 选 b 204 204 1aad 答案 b 6 下列曲线中离心率为的是 a b c d 解析 依据双曲线的离心率可判断得 选 b 22 22 1 xy ab c e a 6 2 c e a 答案 b 7 直线 过点 1 2 且与直线垂直 则 的方程是 a b c d 解析 可得 斜率为即 选 a l 33 2 1 22 l yx 3210 xy 答案 a 8 设 函数的图像可能是 3 解析 可得的两个零解 2 0 xa xbyxaxb 为 当时 则xa 0 xbf x 当时 则当时 则选 c axb 0 f x xb 0 f x 答案 c 9 设函数 其中 则导数的取值范 围是 a b c d 解析 2 1 1 sin3cos x fxx sin3cos2sin 3 选 d 52 0 sin 1 1 2 2 1232 f 答案 d 10 考察正方体 6 个面的中心 从中任意选 3 个点连成三角形 再把剩下的 3 个点也连成三 角形 则所得的两个三角形全等的概率等于 a 1 b c d 0 解析 依据正方体各中心对称性可判断等边三角形有个 由正方体各中心的对称性可得 3 6 c 任取三个点必构成等边三角形 故概率为 1 选 a 答案 a 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 安徽卷 数学 文科 4 第第 iiii 卷 非选择题卷 非选择题 共共 100100 分 分 考生注意事项 考生注意事项 请用 0 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答 在试题卷上答题无效 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2525 分 把答案填在答题卡的相应位置 分 把答案填在答题卡的相应位置 11 在空间直角坐标系中 已知点 a 1 0 2 b 1 3 1 点 m 在 y 轴上 且 m 到 a 与到 b 的距离相等 则 m 的坐标是 解析 设由可得故 0 0 my 222 141 3 1yy 1y 0 1 0 m 答案 0 1 0 12 程序框图 即算法流程图 如图所示 其输入结果是 解析 根据流程图可得的取值依次为 1 3 7 15 31 63 a 答案 127 13 从长度分别为 2 3 4 5 的四条线段中任意取出三条 则以这三条线段为边可以构成 三角形的概率是 解析 依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况 2 3 4 或 3 4 5 或 2 4 5 故 0 75 3 4 33 4 p c 答案 0 75 14 在平行四边形 abcd 中 e 和 f 分别是边 cd 和 bc 的中点 或 其 中 r 则 解析 设 则 bcb baa 1 2 afba 1 2 aeba acba 代入条件得 24 33 uu 答案 4 3 15 对于四面体 abcd 下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 11 相对棱 ab 与 cd 所在的直线是异面直线 22 由顶点 a 作四面体的高 其垂足是bcd 的三条高线的交点 33 若分别作abc 和abd 的边 ab 上的高 则这两条高的垂足重合 44 任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积 55 分别作三组相对棱中点的连线 所得的三条线段相交于一点 5 解析 由空间四面体棱 面关系可判断 正确 可举例说明 错误 答案 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 共小题 共 7575 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答 写在答题卡上的指定区域内 写在答题卡上的指定区域内 16 本小题满分 12 分 在abc 中 c a sinb i 求 sina 的值 ii 设 ac 求abc 的面积 思路 1 依据三角函数恒等变形可得关于的式子 这之中要运用到倍角公式 sin a 2 应用正弦定理可得出边长 进而用面积公式可求出 sa a 解析 1 2 cacab 且 且 42 b a 2 sinsin cossin 42222 bbb a 22 111 sin cossin 1sin 22223 bb ab 又 sin0a 3 cos 3 a 2 如图 由正弦定理得 sinsin acbc bc ba 3 6 sin 3 3 2 1 sin 3 aca bc b sinsin sincoscossin 32 216 3333 cababab 且 且 116 sin63 23 2 223 s abcac bcc a a 17 本小题满分 12 分 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 a 将其与原有的一个优良品种 b 进行对照 试验 两种小麦各种植了 25 亩 所得亩产数据 单位 千克 如下 品种 a 357 359 367 368 375 388 392 399 400 405 414 415 421 423 423 427 430 430 434 443 445 451 454 品种 b 363 371 374 383 385 386 391 392 394 395 397 397 400 401 401 403 406 407 410 412 415 416 422 430 完成所附的茎叶图 用茎叶图处理现有的数据 有什么优点 通过观察茎叶图 对品种 a 与 b 的亩产量及其稳定性进行比较 写出统计结论 思路 由统计知识可求出 a b 两种品种的小麦稳定性大小并画出茎叶图 用茎叶图处理 数据 看其分布就比较明了 解析 1 茎叶图如图所示 6 a ab b 9 735 8 7363 5371 4 8383 5 6 9 2391 2 4 457 7 5 0400 1 1 3 6 7 5 4 2410 2 5 6 7 3 3 1422 4 0 0430 5 5 344 4 145 2 用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况 而且可以看出每组中的具体数 据 3 通过观察茎叶图 可以发现品种 a 的平均每亩产量为 411 1 千克 品种 b 的平均亩产 量为 397 8 千克 由此可知 品种 a 的平均亩产量比品种 b 的平均亩产量高 但品种 a 的亩产 量不够稳定 而品种 b 的亩产量比较集中 d 平均产量附近 18 本小题满分 12 分 已知椭圆 a b 0 的离心率为 以原点为圆心 椭圆短半轴长半径的 圆与直线 y x 2 相切 求 a 与 b 设该椭圆的左 右焦点分别为和 直线过且与 x 轴垂直 动直线与 y 轴 垂直 交与点 p 求线段 p垂直平分线与的交点 m 的轨迹方程 并指明曲线类型 思路 1 由椭圆建立 a b 等量关系 再根据直线 22 222 22 3 1 3 xyc abce aab 且 且且 且 与椭圆相切求出 a b 2 依据几何关系转化为代数方程可求得 这之中的消参就很重要了 解析 1 由于 又 3 3 e 222 2 22 1 3 cab e aa 2 2 2 3 b a 2 2 11 b b2 2 a2 3 因此 3 b 2a 2 由 1 知 f1 f2两点分别为 1 0 1 0 由题意可设 p 1 t t 0 那么 线段 pf1中点为 设 m x y 是所求轨迹上的任意点 由于 0 2 t n 7 则消去参数 t 得 1 2 2 t mnxypft 1 2 0 2 t mn pfxt y yt 2 4 0 yx x 其轨迹为抛物线 除原点 19 本小题满分 12 分 已知数列 的前 n 项和 数列 的前 n 项和 求数列 与 的通项公式 设 证明 当且仅当 n 3 时 思路 由可求出 这是数列中求通项的常用方法之一 在求 1 1 1 2 nn an a ssn nn ab且 且 出后 进而得到 接下来用作差法来比较大小 这也是一常用方法 nn ab且 且 n c 解析 1 由于 11 4as 当时 2n 22 1 22 2 1 2 1 4 nnn assnnnnn 4 m an nn 又当时xn 11 26 2 nnnmm bttb 1 2 nn bb 数列项与等比数列 其首项为 1 公比为 n b 1 2 1 1 2 n n b 2 由 1 知 221 11 1 16 2 n n cabn 2 1 1 2 1 2 21 1 16 1 1 2 1 2 16 2 n n n n n cn cn n 由即即 2 1 1 11 2 n n cn cn 得 2 21012nnn 3n 又时成立 即由于恒成立 3n 2 1 2 1 2 n n 1 1 n n c c 0 n c 因此 当且仅当时 3n 1nn cc 20 本小题满分 13 分 如图 abcd 的边长为 2 的正方形 直线 l 与平面 abcd 平行 g 和 f 式 l 上的两个不同点 且ea ed fb fc 和是平面 abcd 内的两点 和都与平面 abcd 垂直 证明 直线垂直且平分线段 ad 若 ead eab 60 ef 2 求多面 体 abcdef 的体积 思路 根据空间线面关系可证线线垂直 由分割法可求得多面体体积 体现的是一种部分 8 与整体的基本思想 解析 1 由于 ea ed 且 edabcde de c 面 点 e 在线段 ad 的垂直平分线上 同理点 f 在线段 bc 的垂直平分线上 又 abcd 是四方形 线段 bc 的垂直平分线也就是线段 ad 的垂直平分线 即点 e f 都居线段 ad 的垂直平分线上 所以 直线 e f 垂直平分线段 ad 2 连接 eb ec 由题意知多面体 abcd 可分割成正四棱锥 e abcd 和正四面体 e bcf 两部分 设 ad 中点为 m 在 rt mee 中 由于 me 1 3 2meee abcd e v 2 114 2 22 333 sabcd ee 四方形 又 bcf vc bef vc bea ve abc e v 2 1112 2 22 3323 abc see a 多面体 abcdef 的体积为 ve abcd ve bcf 2 2 21 本小题满分 14 分 已知函数 a 0 讨论的单调性 设 a 3 求在区间 1 上值域 期中 e 2 71828 是自然对数的底数 思路 由求导可判断得单调性 同时要注意对参数的讨论 即不能漏掉 也不能重复 第 二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域 f x 2 1 e 解析 1 由于 2 2 1 a f x xx 令 2 1 21 0 tytatt x 得 当 即时 恒成立 2 80a 02 2a 0f x 在 0 及 0 上都是增函数 f x 当 即时 2 80a 2 2a 由得或 2 210tat 2 8 4