自动控制原理习题解答.doc

1、 已知系统方框图如图1所示，试计算传递函数，及。图 1 第1题题图图A- 1（a）解: 计算传递函数时，在方框图中需设，画出如图A-1(a)所示的为输入、为输出的方框图。由图A-1(a)求得传递函数为图A- 1（b）计算传递函数时，在方框图中需设，画出如图A-1(b)所示的为输入、为输出的方框图。图A- 1 (b)由图A-1(b)求得传递函数为图A- 1（c）计算传递函数时，在方框图中需设，画出如图A-1(c)所示的为输入、为输出的方框图。由图A-1(c)求得传递函数为图A-1（d）计算传递函数时，在方框图中需设，画出如图A-1(d)所示的为输入、为输出的方框图。由图A-1(d)求得传递函数为2、设已知描述某控制系统的运动方程组如下式中 ：系统控制信号输入（输入变量） ：系统扰动信号（输出变量） ：系统的被控制信号（输出变量） ：中间变量 ：常值增益 ：时间常数试绘出系统的方框图，并由方框图求取闭环传递函数、解：（1）绘制系统方框图对题中运动方程组取拉氏变换，设初始条件为零，得：根据以上各式，按照变量之间传递关系，绘出系统结构如下图A-2-1所示图A- 2- 1（2）求取闭环传递函数、求取闭环传递函数时，令以及，由图A-2得由于扰动信号与控制信号在系统中作用点相同，所以图A- 2-2求取闭环传递函数时，需令及，图A-2-1改画成图A-2-2 (a),图（a）可等效画成图A-2-2（b）,由图A-2-1 (b)得：3、求取题图所示电路传递函数图 2 第3题题图解答：首先计算传递函数，此时将电路看做与电容并联的负载，应用复阻抗法写出传递函数为式中：、分别为电容及电感线圈的复阻抗；表示复阻抗与复阻抗的并联值。其次计算传递函数，即通过复阻抗与电阻的分压求得最后由和求取整个电路传递函数，得若不考虑电路对电路构成的负载效应，得传递函数为4、通过方框图的等效变换求取题图所示系统传递函数图A- 4图 3 第4题题图解答：将题图所示方框图做如图A-4所示等效变换，由图A-4求得传递函数为5、试分别化简题图所示方框图，并求取传递函数图 4 第5题题图答案（a）（b）6、由实验测得二阶系统阶跃响应如题图所示，试根据已知的单位阶跃响应计算系统参数及之值。图 5 第6题题图解答：根据超调量和峰值时间定义分别求得由及与系统参数、关系计算出系统参数、之值分别为 7、已知某控制系统方框图如题图所示，要求该系统的单位阶跃响应具有超调量和峰值时间，试确定前置放大器的增益及内反馈系数之值。图 5 第7题题图解答：（1） 由已知及计算二阶系统参数及之值。由分别计算出 （2） 求取闭环传递函数，并将其化成标准形式由题图求得给定系统开环传递函数为给定系统的闭环传递函数（3） 将上式与标准形式进行比较，得由上式解出参数8、测得某二阶系统的单位阶跃响应如题图所示。已知该系统具有单位负反馈，是确定其开环传递函数。图 7 第8题题图解答：设闭环传递函数，具有如下标准形式对于单位负反馈系统，开环传递函数与闭环传递函数之间关系为由上式求得开环传递函数为将标准形式代入上式，求得开环传递函数为将第6题求得参数、之值、代入上式，得到开环传递函数为9、设某系统的特征方程式为试用稳定判据判别系统的稳定性。解答：建立计算表为 注意：在进行计算表的第三行运算时，出现第一列元素为零，而其他各列元素不为零现象，此时按照法则需将零元素用趋近于零的正数置换，在以后计算各元素过程中，均以代替上述零元素，因此，第四行第一列元素符号为负。从计算表可见，第一列元素符号变化两次，说明系统特征方程由两个正实部根，系统不稳定。10、试确定题图所示系统的参数、的稳定域。图 8 第10题题图解答：求取系统特征方程，系统的开环传递函数为式中又单位负反馈系统特征方程为求得系统的特征方程为根据上式特征方程建立计算表为： 系统稳定的充要条件是计算表第一列各元素符号均为正，因此，根据各项条件，确定出参数、的稳定域为：11、设某温度计的动态特性可用一个惯性环节来描述。用该温度计测量容器内水温，发现一分钟后温度计的示值为实际水温的。若给容器加热，使水温以的速度线性上升，试计算该温度计的稳态指示误差。解答：由题意可知，作为惯性环节的温度计测水温的响应时间（即调整时间为。又由惯性环节特性知式中为惯性环节时间常数。代入已知数据，求得温度计时间常数用温度计测量以的速度线性上升的水温时，其示值函数的拉普拉斯变换像函数为式中为惯性环节输入信号的拉普拉斯变换像函数取上式的拉普拉斯反变换，得到温度计示值函数由上式求得温度计示值函数稳态值分量稳态时温度计示值误差为式中为水温上升速度；为惯性环节时间常数，故该温度计测以的速度线性上升水温时，其稳态指示误差为恒定的。12、设某控制系统的方框图如题图所示。已知控制信号，试计算及时系统的稳态误差。图 9 第12题题图解答：（1）（单位反馈）时误差的定义为由题图根据上式求得误差的拉普拉斯变换像函数为由终值定理计算可得时稳态误差为（2）（非单位反馈）时误差的定义通过其拉普拉斯变换像函数表示为由题图以及，按照上式得利用终值定理可计算出时稳态误差注意：非单位反馈时稳态误差之所以为，是因为按照计算当时系统的期望输出而此时系统实际稳态输出切记：计算非单位反馈系统的稳态误差时宜采用所示关于误差定义。13、设单位负反馈系统的开环传递函数为试计算系统响应控制信号时的稳态误差。解答：计算正弦类信号作用下系统稳态误差时，运用频率响应的基本概念是最简捷方法之一。由已知开环传递函数求得单位负反馈系统误差传递函数为基于频率响应定义，正弦信号作用下系统的稳态误差为式中，分别为误差频率响应的幅频、相频特性。又由控制信号知 由此求得系统响应的稳态误差为最终的得到注意：计算正弦类信号作用下系统稳态误差时，由于此时在平面右半部以及虚轴上不解析，从而不符合的极点必须全部分布在平面左半部条件，故切不可利用终值定理计算。图 10 第14题题图14、试分别计算题图所示系统的参数、，并分析其动态性能。答案：（a）、，等幅振荡（b）、（c）、15、设某控制系统的方框图如题图所示，试绘制参变量由变至时的根轨迹图。图 11 第15题题图解答：（1）求取给定控制系统的开环传递函数，并将其标准化。因为是单位反馈系统，所以由题图求得开环传递函数为将上式标准化，得式中（2）绘制时给定系统的根轨迹图。给定系统的根轨迹方程式为上式代表根轨迹的根轨迹方程式，因此，给定系统的根轨迹需按照绘制根轨迹的法则绘制。（a）系统具有三个开环极点：，所以系统有三条根轨迹。又因为没有开环零点，即等于，故当时三条根轨迹均趋向无穷远处。三条渐近线在实轴上相交于一点，其坐标为渐近线与实轴正方向夹角为取分别得（b）计算根轨迹在复数开环极点处的出射角。因为无开环零点，故始于开环极点处根轨迹出射角为取求得因为与共轭，所以（c）计算根轨迹与虚轴相交点坐标在给定系统特征方程式中，令求得求得根轨迹与虚轴有三个交点，其坐标分别为，故这说明能使给定系统稳定工作的增益的取值范围为图A- 15系统的根轨迹大致图形如下A-15所示：16、已知某正反馈系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹图解答：系统开环传递函数已经具有标准形式，由于是正反馈系统，故根轨迹方程根据上式可知，给定系统根轨迹需按照绘制根轨迹的法则绘制。该系统具有四个开环极点：，无开环零点。（1） 根据根轨迹的绘制法则，整个实轴均属于给定系统根轨迹。（2） 根轨迹共有四条。由于，当参变量时，四条根轨迹分别趋向于四条渐近线。四条渐近线与实轴正方向夹角，及分别是 ， ，四条渐近线在实轴上交点坐标（3） 根轨迹在实轴上分离点坐标由求得，为（4） 根轨迹与虚轴交点坐标及相应开环增益值给定正反馈系统的特征方程为将代入上式得解得 因为根轨迹除在坐标原点处与虚轴有交点外不再可能与虚轴有交点，故不满足题意要求，舍去。图A- 17由解出，与此对应开环增益。这说明，开环增益临界值为，即系统只能在时才稳定。给定系统根轨迹如下图A-17所示17、已知开环传递函数：试概略绘出相应的根轨迹。解：系统有四个开环极点、一个开环零点。根轨迹绘制如下：实轴上的根轨迹： 渐近线： 与虚轴交点：闭环特征方程为把代入上方程，令解得： 起始角根轨迹如图解4-5(c)所示。18、一环节传递函数为试绘制该环节图（幅相频率特性）和图（对数频率特性）。解答：将代入，得到环节的频率响应（1） 幅相频率特性将通过模及相角表示为式中当时，当时，根据以上两式，由画起，随着取值逐步增大直画到，可得到如图A-20-1所示给定环节幅相频率特性图A- 20-1 给定环节幅相频率特性曲线(2)对数频率特性可视为一阶微分环节与不稳定惯性环节相串联，它们的对数幅频特性分别为与，因此所示环节对数幅频特性为上式实际上为上述一阶微分环节与不稳定惯性环节的对数幅频特性叠加，而不稳定惯性环节的对数幅频特性又与一般惯性环节相同。图A-20-2 给定环节对数频率特性曲线对数幅频特性如下图A-20-2（a）所示。其中与分别是一阶微分环节及不稳定惯性环节转折频率，在频段内的对数相频特性如下图A-20-2（b）所示。注意：不稳定惯性环节的对数幅频特性与一般惯性环节的完全相同，均为，因此二者画法相同。但不稳定惯性环节的对数相频特性却与一般惯性环节不同，它在从至的频段内由变至，在转折频率处为，而不是由变至19、设某控制系统的开环传递函数为试绘制该系统的图，并确定剪切频率之值解答：（1）绘制系统图之前，需将构成传递函数的各串联环节化成典型环节所具有的标准形式，即将各环节所含复变量的多项式常数项化为。为此，将题中振荡环节化成，此时控制系统的开环传递函数变成由上式可见，开环增益，一阶微分环节时间常数，振荡环节的时间常数以及阻尼比。由以及求得一阶微分环节及振荡环节的转折频率分别为及。图A- 21给定系统对数幅相特性曲线按照典型环节图绘制规则，绘制的系统渐近对数幅频特性及对数相频特性如下图A-21所示。图中虚线为按照修正后的精确对数幅频特性。在处的。（2）从上图所示对数幅频特性上可查的也可由解析法计算。用于计算剪切频率的对数幅频特性只需取，其中为串联积分环节数目，为系统开环增益。由于开环传递函数具有一个串联积分环节，因此取对数幅频特性其中，。根据定义，时，将其代入得从而解得20、设某系统的开环传递函数为试根据该系统的频率响应确定剪切频率时的开环增益之值。解答：已知确定开环增益时，首先由开环传递函数求取开环幅频特性，其次令其中并按照定义得最后求解上式以确定开环增益。需要注意的是，题中所示开环传递函数含有时滞环节，求取其幅频特性时可不考虑时滞环节，因为故将代入上式得将代入，解得开环增益21、已知最小相位开环系统图的对数幅频特性如题图所示，试求取该系统的开环传递函数。图 14 第23题题图解答：由题图可知，开环传递函数由两个放大环节、两个积分环节、一阶微分环节以及惯性环节构成。一阶微分环节及惯性环节的时间常数分别为转折频率及的倒数，开环传递函数具有如下形式上式中开环增益可通过下述方法确定。设题图所示对数幅频特性低频段可用传递函数来描述。则其幅频特性为取对数得在转折频率处的值为同理，题图所示对数幅频特性上具有斜率为的中频段，可用传递函数来描述，则其对数幅频特性为当时，由图可知由上式求得，故在转折频率处的值为因为从题图可以看出，故可求得从而解出图 16 第25题题图22、题图所示为开环系统的幅相特性。图中为开环传递函数中具有正实部的极点数目。试分析闭环系统的稳定性。解答：根据开环幅频特性，应用稳定判据分析闭环负反馈系统的稳定性时，由于系统开环幅相特性当从变至及从变至时两部分特性对称于横轴，所以可只根据幅相特性中从变至部分特性进行分析。这时，对特性走向要求不变，即对稳定系统应为逆时针方向，对稳定系统而言，特性包围点的圈数应等于（a） 在从变至过程中，开环幅相特性包围点次，但走向为顺时针方向，故闭环系统不稳定。（b） 开环幅相特性不包围点，即，闭环系统稳定。（c） 在从变至过程中，开环幅相特性包围点一圈，等于次，闭环系统稳定。（d） 该图所示幅相特性说明系统开环传递函数含两个串联积分环节。这种情况下，需在原给定幅相特性（实线特性）基础上画出增补的幅相特性曲线（实线加虚线特性），然后再用稳定判据分析闭环系统稳定性。对于，闭环系统稳定。23、设某单位负反馈系统的开环传递函数为若要求系统的幅值裕度为，问开环增益应取何值？解答：（1）解析计算法根据题意求得给定系统开环幅频特性与开环相频特性分别为设时，则解得将代入得，根据以对数形式表示的系统幅值裕度定义可得根据幅值裕度为要求解得将化成典型环节表示的标准形式式中，又已知振荡环节标准形式，从而从而可确定出满足给定系统具有幅值裕度的开环增益（2）图法根据时间常数，确定振荡环节转折频率，在转折频率处，系统开环相角，可见对给定系统。来说又根据，求得转折频率处当时振荡环节的渐近对数幅频特性修正值为，在此基础上，再加上对幅值裕度所要求的，因此在振荡环节在转折频率处，系统渐近对数幅频特性的对数幅值应等于。图A- 26设由以及决定的点为点。过点向高频段做斜率为的直线，向低频段做斜率为的直线，该直线在处过横轴，如下图所示。由图根据，确定出开环增益。24、设控制系统开环频率响应如题图的图所示，试应用稳定判据判别闭环系统的稳定性。图 17 第27题题图答案：（a）稳定 （b）不稳定（a） 稳定（b） 不稳定（c） 稳定25、已知单位负反馈系统的开环传递函数为试综合一个串联校正环节，使系统的相角裕度不小于，剪切频率不低于。解答：(1)校正前系统的渐近对数幅频特性如图所示，其中,由图（也可根据计算）可得到校正前系统的剪切频率为，相角裕度为，由此可见，系统如不经校正，其相角裕度以及剪切频率均低于要求值。由图所示待校正系统的图来看，考虑到其对相角裕度及剪切频率均应提高的要求，采用能够提供超前补偿相角以及能扩展系统带宽的校正环节。具有此等功能的串联校正当推超前校正，其传递函数一般形式为图A- 28根据剪切频率不低于要求，选取剪切频率。同时根据一般惯例取，计算满足相角裕度不小于时的校正参数及之值。(2)计算校正参数的解析法校正后系统的开环传递函数为由上式求得校正后系统的幅频特性及相频特性分别为其中取根据求解校正参数，即由解出由及求得串联超前校正环节转折频率为及根据求得校正后系统的相角裕度，满足设计指标要求。这说明，选取的串联超前校正环节的参数及时，校正后系统在相角裕度以及剪切频率两方面均满足设计指标要求。这时串联超前校正环节的传递函数为校正后渐近对数幅频特性如图A-28中所示。注意：根据指标要求设计校正环节时。校正参数的确定并非唯一。例如题中选取剪切频率及时，可计算出这组校正参数也是可取的26、设有一非线性系统，其中非线性环节是一个斜率的饱和特性。当不考虑饱和因素时，闭环系统稳定。试分析该系统是否有产生自振荡的可能。图A- 29解答：不考虑饱和因素时，一个稳定的线性系统可能有的开环频率响应如图A-29中所示。对于图中（a）（b）来说，由于特性与无交点，所以考虑饱和因素时，在非线性系统中不可能产生自振荡，因而该非线性系统是稳定的；对于图中（c），虽然不考虑饱和闭环系统是稳定的，但由于特性与有交点，而且其中点 是稳定交点，因此在考虑饱和因素后，在该非线性系统中将产生稳定的自振荡。27、试确定下列二阶非线性运动方程式的奇点及其类型。解答：根据奇点定义，由解出、及、为题中运动方程式的两个奇点。（1） 在奇点、邻域，方程式可近似为上式特征根为由于特征根均具有负实部，故奇点、为稳定焦点。（2） 在奇点、处，令，上式的解代入运动方程式，得在奇点、邻域，即在、邻域，上式可近似为解得特征根为，根据上述特征根可知奇点、为鞍点图 18 第31题题图28、求题图所示有源电网络的传递函数，图中电压是输入量，电压是输出量。答案：（a）（b）（c）（d）29、已知开环传递函数如下，绘制开环频率特性的极坐标图。（1）（2）图A- 32-1（3）解答提示：（1） （2） 图A- 32-2图A- 32-3（3） 30、试绘制下列传递函数的对数幅频特性图（1）（2）（3）解答提示：（1）， 图A- 33-1（2）， 图A- 33-2（3）， 图A- 33-331、题图表示几个开环图。图中为开环正实部极点个数，判断闭环系统的稳定性。图 19 第34题题图解答：（a）左方负穿越负实轴，不稳定（b）正、负穿越次数相等，,稳定（c）正穿越次数为，等于，稳定（d）正穿越次数为，等于，稳定（e）正穿越次数为，等于，稳定32、一个最小相位系统的开环图如题图所示，图中曲线、和分别表示放大系数为不同值时的对数幅频特性，判断对应闭环系统的稳定性。 图20 第35题题图解答：观察频段内，相频特性对的穿越情况。曲线，无穿越，稳定。曲线，负穿越次，不稳定。曲线，正负穿越次数相等，稳定曲线，正穿越次，负穿越次，不稳定.33.画出下图的信号流图,进而利用梅逊公式计算传递函数解:34试用梅逊公式确定如图所示系统的传递函数解：由图可知，系统有3条前向通路，其增益分别为有4个单独的回路，各回路增益分别为,35已知如图所示系统。（1）求（3）若要求解:当T不变时36试判断特征方程所表示的线性系统是否稳定系统稳定。37试判断特征方程所表示的线性系统是否稳定,如不稳定判断在右半平面,及虚轴上跟的情况.解:显然系统不稳，且有两个右根。当T不变时，系统稳定。38单位反馈：确定使系统稳定的临界值39单位反馈：，若系统以的角频率作等幅振荡，试确定此时的K值和值。解:按题意，系统作等幅持续振荡，所以存在一对虚根，这相当于劳斯表中有一行全为0。本例中，则要求s1 行为0，而第一列其它元素全大于0。所以有（1）所以联立（1）式和（2）式可得40已知r(t)=1(t).所以系统为0型。41 (a)(b)E4243 (1)三条趋于无穷远处。 (2)实轴上-2，0和-，-3。（5）无分离点。（6）与虚轴的交点：44 解:,45、求对数幅频及相频特性。解:,46、已知单位反馈系统的开环传函为：解：开环系统有虚根：47、某单位反馈系统的，求试分别求K=2和K=20时系统的相角和幅值余量。解:48 试建立图1所示各系统的微分方程。其中外力，位移和电压为输入量；位移和电压为输出量；（弹性系数），（阻尼系数），（电阻），（电容）和（质量）均为常数。 图1解（a）以平衡状态为基点，对质块进行受力分析（不再考虑重力影响），如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出 整理得 （b）如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有 （1）对B点有 （2）联立式（1）、（2）可得：(c) 应用复数阻抗概念可写出 （3） （4）联立式（3）、（4），可解得： 微分方程为: 49 已知系统方程组如下： 试绘制系统结构图，并求闭环传递函数解 系统结构图如图解2-11所示。利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为50 已知系统的结构图如图2所示，图中为输入信号，为干扰信号，试求传递函数，。 图2解（a）令，求 。图中有2条前向通路,3个回路，有1对互不接触回路。 则有 令，求 。有3条前向通路，回路不变。则有 （b）令，求 。图中有1条前向通路，1个回路。则有 令，求 。图中有1条前向通路，回路不变。则有 令，求 。图中有1条前向通路，回路不变。则有 （c）令，求 。图中有3条前向通路，2个回路。则有 令，求 。有1条前向通路，回路不变。则有 51 单位反馈系统的开环传递函数，求单位阶跃响应和调节时间 ,误差小于2%。解：依题，系统闭环传递函数 ， 。52 设图3(a)所示系统的单位阶跃响应如图3（b）所示。试确定系统参数和。 解 由系统阶跃响应曲线有 系统闭环传递函数为 （1）由 联立求解得 由式（1）另外 53 单位反馈系统的开环传递函数为要求系统特征根的实部不大于，试确定开环增益的取值范围。解 系统开环增益 。特征方程为： 做代换 有：Routh ： S3 1 2 S2 5 K-8 S S0 使系统稳定的开环增益范围为： 。54 已知单位反馈系统的开环传递函数为 试分别求出当输入信号和时系统的稳态误差。解 由静态误差系数法时， 时， 时， 图455 系统的开环传递函数为 试证明点在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益和开环增益。解 若点在根轨迹上，则点应满足相角条件，如图解4-1所示。对于，由相角条件满足相角条件，因此在根轨迹上。将代入幅值条件：解出 ： ， 56 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：, 分离点： 解之得：。根轨迹如图解4-3(c)所示。57 三个最小相角系统传递函数的近似对数幅频特性曲线分别如图5 (a)、(b)和(c)所示。要求： 图(a) （1）写出对应的传递函数；（2）概略绘制对应的对数相频特性曲线。 图5解 (a) 依图可写出：其中参数： ，则： 图解5-11（a） Bode图 Nyquist图 (b) 依图可写出 图解5-11（b） Bode图 Nyquist图