【全程复习方略】（文理通用）高三数学一轮复习 4.4平面向量应用举例精品试题(1).doc

平面向量应用举例(45分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2014舟山模拟)已知非零向量a,b,满足ab,则函数f(x)=(ax+b)2(xr)是()a.既是奇函数又是偶函数b.非奇非偶函数c.偶函数d.奇函数【解析】选c.因为ab,所以ab=0,所以f(x)=(ax+b)2=|a|2x2+|b|2,所以f(x)=(ax+b)2为偶函数.2.(2014石家庄模拟)已知向量oa=(2,2),ob=(4,1),在x轴上一点p使apbp有最小值,则点p的坐标为()a.(-3,0) b.(2,0)c.(3,0)d.(4,0)【解析】选c.设点p(x,0),则ap=(x-2,-2),bp=(x-4,-1),故apbp=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,因此当x=3时取最小值,此时p(3,0).3.若o是abc的重心,则oa+ob+oc等于()a.0b.abc.bcd.co【解析】选a.如图,o是abc三边中线的交点,即d,e,f分别是所在边的中点,所以ob+oc=2od,由三角形重心的性质知|oa|=2|od|,即oa=-2od.故oa+ob+oc=-2od+2od=0.【加固训练】已知o是abc所在平面内的一点,且oa+ob+oc=0,则点o是()a.bc边的中点b.bc边所在直线上的点c.abc的重心d.abc的外心【解析】选c.如图,设d是bc边的中点,则ob+oc=2od,因为oa+ob+oc=0,所以oa+2od=0,即oa=-2od,即o在ad上,设e是ab边的中点,同理可得o在ce上,所以o是abc三边中线的交点,即o是abc的重心.4.(2014杭州模拟)过点m(2,0)作圆x2+y2=1的两条切线ma,mb(a,b为切点),则mamb=()a.532b.52c.332d.32【解析】选d.过点m(2,0)作圆x2+y2=1的两条切线ma,mb(a,b为切点),因为|om|=2,圆的半径为1,所以|ma|=|mb|=3,且ma与mb的夹角为60,故mamb=|ma|mb|cos60=33cos60=32,选d.5.(2014铜陵模拟)在abc中,abbc=3,abc的面积s32,32,则ab与bc夹角的取值范围是()a.4,3b.6,4c.23,34d.34,56【解析】选b.易知向量ab与bc的夹角为-b,又abbc=|ab|bc|cos(-b)=3,即|ab|bc|cosb=-3,又abc的面积s=12|ab|bc|sinb=-32sinbcosb=-32tanb,由s32,32得-1tanb-33,因为b是abc的内角,所以34b56,故6-b4.【误区警示】解答本题易误选d,出错的原因是误以为ab与bc的夹角就是b,忽视了向量的方向.6.已知向量a=(2cos,2sin),b=(3cos,3sin),a与b的夹角为60,则直线xcos-ysin+12=0与圆(x-cos)2+(y+sin)2=1的位置关系是()a.相切b.相交c.相交且过圆心d.相离【思路点拨】先由向量a与b的夹角为60,推出,满足的关系,再求圆心到直线的距离d,比较d与半径r的大小确定直线与圆的位置关系.【解析】选a.由题意,得cos60=,即6coscos+6sinsin4cos2+4sin29cos2+9sin2=12,所以cos(-)=12,因为圆心(cos,-sin)到直线xcos-ysin+12=0的距离d=coscos+sinsin+12cos2+sin2=cos(-)+12=1,又因为圆的半径为1,所以直线与圆相切.7.在平行四边形abcd中,e,f分别是边cd和bc的中点,若ac=ae+af(,r),则log32()的值为()a.-2b.-1c.1d.2【解析】选a.如图,令ab=a,ad=b,则ac=a+b,ae=ad+de=12a+b,af=ab+bf=a+12b,所以ac=ae+af=+=12+a+12b,因为a,b不共线,由,得12+=1,+12=1,解得=23,故log32()=log32232=2log3223=-2.8.(2014大连模拟)如图,在正方形abcd中,已知ab=2,m为bc的中点,若n为正方形内(含边界)任意一点,则aman的取值范围是()a.0,2b.2,4c.0,6d.2,6【思路点拨】建系,用向量的坐标运算及线性规划的知识解答.【解析】选c.以点a为原点建立如图所示的平面直角坐标系,则am=(2,1),设n(x,y),则an=(x,y),0x2,0y2,aman=(2,1)(x,y)=2x+y.不等式组0x2,0y2所表示的平面区域如图,所以,当x=y=0时,aman的最小值为0,当x=2,y=2时,aman的最大值为6,故aman的取值范围是0,6.二、填空题(每小题5分,共20分)9.如图,菱形abcd的边长为2,a=60,m为dc的中点,则amab的值为.【解析】以点a为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,由于菱形abcd的边长为2,a=60,m为dc的中点,故点a(0,0),则b(2,0),c(3,3),d(1,3),m(2,3).所以amab=(2,3)(2,0)=4.答案:410.在长江南岸渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为.【解析】如图所示,渡船速度为ob,水流速度为oa,船实际垂直过江的速度为od,依题意知|oa|=252,|ob|=25.因为od=ob+oa,所以odoa=oboa+oa22,因为odoa,所以odoa=0,所以25252cos(bod+90)+2522=0,所以cos(bod+90)=-12,所以sinbod=12,所以bod=30,所以航向为北偏西30.答案:北偏西3011.(2014湖州模拟)已知向量a=-12,32,oa=a-b,ob=a+b,若oab是等边三角形,则oab的面积为.【解析】因为a=-12,32,oa=a-b,ob=a+b,所以oa+ob=(a-b)+(a+b)=2a=(-1,3),所以|oa+ob|=(-1)2+(3)2=2.所以等边三角形oab的高为1,边长为23,因此其面积为34232=33.答案:3312.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,若函数f(x)=13x3+12|a|x2+abx在r上有极值,设向量a,b的夹角为,则的取值范围是.【思路点拨】把问题转化为导函数的零点问题,利用一元二次方程判别式求解.【解析】因为f(x)=x2+|a|x+ab,由题意,得关于x的一元二次方程x2+|a|x+ab=0有两个不同实数根,所以=|a|2-4ab0,因为|a|=2|b|0,所以4|b|2-42|b|b|cos0,即cos12,因为0,y=cosx在0,上是减函数,所以3.答案:3,【误区警示】解答本题易误填3,出错的原因是由题意误得关于x的方程x2+|a|x+ab=0有实数根,即0.事实上,当=0时,方程的实数根并不是函数f(x)的极值点.三、解答题(13题12分,1415题各14分)13.已知向量m=(cosx,sinx),n=22,22.(1)若mn,求|m-n|.(2)设f(x)=mn,若f()=35,求f2+34的值.【解析】(1)由mn,则mn =0,故|m - n|2=m 2+ n 2-2 mn =1+1=2,所以|m- n|=2.(2)f(x)= mn=22cosx+22sinx=sinx+4,由f()=35,故cos+sin=325.平方后得,sin2+cos2+2cossin=1825,所以sin2=-725,f2+34=sin(2+)=-sin2=725.【加固训练】已知a,b,c的坐标分别为a(3,0),b(0,3),c(cos,sin),2,32.(1)若|ac|=|bc|,求角的值.(2)若acbc=-1,求2sin2+sin21+tan的值.【解析】(1)因为ac=(cos-3,sin),bc=(cos,sin-3),所以ac22=(cos-3)2+sin2=10-6cos,bc22=cos2+(sin-3)2=10-6sin,由|ac|=|bc|,可得ac22=bc22,即10-6cos=10-6sin,得sin=cos.又因为2,32,所以=54.(2)由acbc=-1,得(cos-3)cos+sin(sin-3)=-1,所以sin+cos=23.两边分别平方,得1+2sincos=49,所以2sincos=-59.所以2sin2+sin21+tan=2sin2+2sincos1+sincos=2sincos=-59.14.(2014长沙模拟)已知向量a=(12,12sinx+32cosx)与b=(1,y)共线,设函数y=f(x).(1)求函数f(x)的最小正周期及最大值.(2)已知锐角abc的三个内角分别为a,b,c,若有fa-3=3,边bc=7,sinb=217,求abc的面积.【解析】(1)因为a与b共线,所以12y-12sinx+32cosx=0,则y=f(x)=2sinx+3,所以f(x)的最小正周期t=2,当x=2k+6,kz时,f(x)max=2.(2)因为fa-3=3,所以2sina-3+3=3,所以sina=32.因为0a2,所以a=3.由正弦定理得bcsina=acsinb,又sinb=217,所以ac=bcsinbsina=2,且sinc=32114,所以sabc=12acbcsinc=332.15.(能力挑战题)已知f(1,0),直线l:x=-1,p为平面上的动点,过点p作l的垂线,垂足为点q,且qpqf=fpfq.(1)求动点p的轨迹曲线c的方程.(2)设动直线y=kx+m与曲线c相切于点m,且与直线x=-1相交于点n,试问:在x轴上是否存在一个定点e,使得以mn为直径的圆恒过此定点e?若存在,求出定点e的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)设点p(x,y