高中数学 第一章 算法初步 1.3 中国古代数学中的算法案例课件 新人教B版必修3.ppt

1 3中国古代数学中的算法案例 学习目标 1 了解割圆术中无限逼近的数学思想 2 理解更相减损术的含义 了解其执行过程 3 掌握秦九韶算法的计算过程 并了解它提高计算效率的实质 预习导学 知识链接 1 20和30的最大公约数为 2 已知函数f x x2 2x 1 计算f 1 的值时用了次乘法和次加法运算 当函数变为f x x 2 x 1 求f 1 时 用了次乘法运算和次加法运算 预习导学 10 2 2 1 2 预习导引 1 更相减损术第一步 任意给定两个正整数 判断它们是否都是 若是 用 若不是 执行 第二步 以的数减去的数 接着把所得的差与的数比较 并以大数减小数 继续这个操作 直到所得的数为止 则这个数 等数 或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数 预习导学 偶数 2约简 第二步 较大 较小 较小 相等 2 割圆术的算法思想刘徽从圆内接正六边形开始 让边数逐次加倍 逐个算出这些圆内接正多边形的面积 从而得到一系列逐渐递增的数值 来一步一步逼近圆面积 最后求出圆周率的近似值 用刘徽自己的话概括就是 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆合体而无所失矣 预习导学 3 秦九韶算法把一个n次多项式f x anxn an 1xn 1 a1x a0改写成如下形式 anx an 1 x an 2 x a1 x a0 求多项式的值时 首先计算一次多项式的值 即v1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值 即v2 v3 预习导学 最内层括号内 v0 x an 1 v1x an 2 v2x an 3 vn 这样 求n次多项式f x 的值就转化为求的值 预习导学 vn 1x a0 n个一次多项式 要点一求两个正整数的最大公约数例1用更相减损术求261和319的最大公约数 解319 261 58 261 58 203 203 58 145 145 58 87 87 58 29 58 29 29 课堂讲义 29 29 0 所以319与261的最大公约数是29 规律方法利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是 首先判断两个正整数是否都是偶数 若是 用2约简 也可以不除以2 直接求最大公约数 这样不影响最后结果 课堂讲义 跟踪演练1用更相减损术求80和36的最大公约数 解80 2 4036 2 1840 2 2018 2 920 9 1111 9 29 2 77 2 55 2 33 2 12 1 11 2 2 4所以80与36的最大公约数为4 课堂讲义 要点二秦九韶算法例2已知一个5次多项式为f x 4x5 2x4 3 5x3 2 6x2 1 7x 0 8 用秦九韶算法求这个多项式当x 5时的值 解将f x 改写为f x 4x 2 x 3 5 x 2 6 x 1 7 x 0 8 由内向外依次计算一次多项式当x 5时的值 v0 4 v1 4 5 2 22 课堂讲义 v2 22 5 3 5 113 5 v3 113 5 5 2 6 564 9 v4 564 9 5 1 7 2826 2 v5 2826 2 5 0 8 14130 2 当x 5时 多项式的值等于14130 2 课堂讲义 规律方法1 先将多项式写成一次多项式的形式 然后运算时从里到外 一步一步地做乘法和加法即可 这样比直接将x 5代入原式大大减少了计算量 若用计算机计算 则可提高运算效率 2 注意 当多项式中n次项不存在时 可将第n次项看作0 xn 课堂讲义 跟踪演练2用秦九韶算法计算f x 6x5 4x4 x3 2x2 9x 需要加法 或减法 与乘法运算的次数分别为 a 5 4b 5 5c 4 4d 4 5答案d解析n次多项式需进行n次乘法 若各项均不为零 则需进行n次加法 缺一项就减少一次加法运算 f x 中无常数项 故加法次数要减少一次 为5 1 4 故选d 课堂讲义 1 我国魏晋时期的数学家刘徽和祖冲之利用割圆术所得的圆周率 是 a 准确值b 近似值c 循环小数d 有理数答案b 当堂检测 2 自然数8251和6105的最大公约数为 a 37b 23c 47d 111答案a解析利用更相减损之术可得它们的最大公约数为37 当堂检测 3 用秦九韶算法求多项式f x 12 35x 8x2 79x3 6x4 5x5 3x6在x 4的值时 v4的值为 a 57b 220c 845d 3392答案b解析v0 3 v1 v0 x 5 v2 v1x 6 v3 v2x 79 v4 v3x 8 v4 220 当堂检测 4 用更相减损之术求294和84的最大公约数时 需做减法的次数是 a 2b 3c 4d 5答案c解析 294 84 210 84 126 84 42 84 42 42 需做4次减法 当堂检测 5 用更相减损术求36与134的最大公约数 第一步应为 答案先除以2 得到18与67解析 36与134都是偶数 第一步应为 先除以2 得到18与67 当堂检测 1 更相减损之术求两个正整数的最大公约数