第五章 弯曲内力.doc

第五章 弯曲应力题号页码5-3 .15-5 .35-7 .35-8 .45-9 .65-10 .95-11 .105-13 . 115-14 .135-15 .145-16 .155-19 .165-23 .165-25 .175-26 .185-29 .205-30 .225-33 .235-34 .255-35 .265-37 .275-39 .295-42 .315-44 .325-47 .335-49 .345-50 .355-52 .365-54 .385-56 .38(也可用左侧题号书签直接查找题目与解)5-3试证明，在集中力 F 作用处（图 a），梁微段的内力满足下列关系：| FS 右- FS 左| = F，M 右 = M 左而在矩为 Me 的集中力偶作用处（图 b），则恒有FS 右 = FS 左，| M 右 = M 左| = Me8证明：根据题图(a)，由题 5-3 图 Fy = 0，FS左 + F + qdx FS右 = 0保留有限量，略去微量 qdx 后，得FS右 FS左 = F为了更一般地反映 F 作用处剪力的突变情况（把向下的 F 也包括在内），可将上式改写为仍据题图(a)，由FS右 FS左 = F(a)M= 0，M F ( dx ) + qdx( dx ) Fdx M= 0 C右22S左左保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得M 右 = M 左足标 C 系指梁微段右端面的形心，对题图(b)亦同。 根据题图(b)，由(b) Fy = 0，FS左 + qdx FS右 = 0略去微量 qdx 后，得FS右 = FS左(c)仍据题图(b)，由M= 0，M M qdx( dx ) Fdx M= 0 C右e2S左左保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得M 右 M 左= M e为了更一般地反映 M e 作用处弯矩的突变情况（把逆钟向的 M e 也包括在内），可将上式改写为M 右 M 左= M e(d)5-5已知梁的剪力、弯矩图如图所示，试画梁的外力图。题 5-5 图解：根据题图中所给的 FS 图和 M 图，并依据三个微分关系和两个突变关系，可画梁的 外力图，示如图 5-5(a)和(b)。5-7图示外伸梁，承受均布载荷 q 作用。试问当 a 为何值时梁的最大弯矩值（即| M |max）最小。解：1.求支反力题 5-7 图由对称性可知，二支座的支反力相等见图 5-7(a)，其值为FCy= FDy= ql2()2画弯矩图根据各梁段的端值及剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系，画弯矩图如图(b)所示。3确定 a 值由进一步分析可知，只有当梁中点处的弯矩值与 C、D 处弯矩的绝对值相等时，梁的最 大弯矩值才可能最小，由此得1 ql 2 1 qla = 1 qa 2解此方程，得舍去增根，最后确定822a = 1 2 l2a =2 1 l = 0.207l25-8图示简支梁，梁上小车可沿梁轴移动，二轮对梁之压力均为 F。试问：(1) 小车位于何位置时，梁的最大弯矩值最大，并确定该弯矩之值；(2) 小车位于何位置时，梁的最大剪力值最大，并确定该剪力之值。解：1.求支反力题 5-8 图由图 5-8(a)所示小车位置，可求得两端的支反力，其值分别为F= F (2l 2 d )，F= F (2 + d )0 (l d )AylByl2画剪力、弯矩图根据支反力及梁上小车压力，画剪力、弯矩图如图(b)和(c)所示。3确定最大弯矩值及小车位置由 M 图可以看出最大弯矩必在 F 作用处。求左轮处之 M 1 ，并求其极值，即可得到 M max 。M 1 () = FAy由 = F (2l d ) 2 2 l0 (l d )(a)dM 1 () = 0d得此即左轮处 M 1 达最大值的左轮位置。 = 2l d4(b)将式(b)代入式(a)，得弯矩的最大值为F2M max= (2l d )8l(c)由对称性可知，当 = (2l 3d ) / 4 时，右轮处的 M 2 达到最大，其值同式(c)。4确定最大剪力值及小车位置 由剪力图不难判断，最大剪力只可能出现在左段或右段，其剪力方程依次为FFs1 = FAy =(2l 2 d )l0 (l d )Fs 2= FBy =F (2 + d )l0 (l d )二者都是 的一次函数，容易判断，当 0 或 (l d ) 时，即小车无限移近梁的左端或右端时，梁支座内侧截面 A+ 或 B- 出现最大剪力，其绝对值为Fs max= F (2l d )l(d)5-9图示各梁，承受分布载荷作用。试建立梁的剪力、弯矩方程，并画剪力、弯矩图。(a)解：1.建立剪力、弯矩方程题 5-9 图设截面 x 处的载荷集度为 q( x) ，由图 5-9(a,1)可知，qq( x) = 0 xl由图(2)可得，剪力与弯矩方程分别为2F = q( x) x = q0 x(0 x l )(a)s 2 2lx xq x3M = q( x) 2 3= 0 6l(0 x l )(b)2画剪力、弯矩图 由式(a)和(b)可知，二者均为简单的幂函数，其函数图依次为二次下凹曲线及三次下凹曲线。算出 A、B 两端的 Fs、M 值，并考虑到上述曲线形状，即可绘出 Fs、M 图，如图（3） 和（4）所示。(b)解：1.求支反力由梁的对称条件可知，F= F= 1 q l()2建立剪力、弯矩方程AyBy4 0设截面 x1 处的载荷集度为 q( x1 ) ，由图 5-9(b,1)可知，q( x1 ) =2q0 xl 1l(0 x1 )2由此可得，左半段梁的剪力与弯矩方程分别为F = Fq( x ) xq lq x 211 = 0 0 1(0 x l )(c)sAy24lxxq l12q x 3lM = FAy x1 q( x1 ) 1 1= 0 x1 0 1 (0 x )(d)12343l2根据问题的对称性（对于 Fs ，是反对称的），可写出右半段梁的剪力与弯矩方程如下：F = q0l + q0 x2(0 x l )(e)s4l2233画剪力、弯矩图M = q0l x42 q0 x23l(0 x2 l )2(f)依据式(c)和(e)可绘剪力图，如图(2)所示；依据式(d)和(f)可绘弯矩图，如图(3)所示。(c)解：1求支反力由 M B = 0 和 Fy= 0 可得FAy= 7ql24()，FBy= 11ql24()2建立剪力、弯矩方程坐标如图 5-9(c,1)所示，由截面法可得剪力、弯矩方程分别为F = Fq( x ) x7qlqx 2 1 1 = 1(0 x l )(e)s1Fs2Ay= FBy2+ qx224l= 11ql + qx24231(0 x22 l )2(f)M = Fx q( x ) x1 x1 = 7ql x qx1(0 x l )(g)1 Ay 11 2324 1 3l1 2M = Fx q x2 = 11ql x q x2(0 x l )(h)2 By 2 2 2242 2 2 2 23画剪力、弯矩图依据式（e）、(f)可绘剪力图，如图(2)所示；依据式(g)、(h)可绘弯矩图，如图(3)所示。11l注意在 x =处有 F= 0 ， M 有极大值，其值为9224s22M 2 max= M max= 121 ql 21152(d)解：1建立剪力、弯矩方程坐标如图 5-9(d，1)所示，由截面法易得剪力、弯矩方程分别为q( x ) xqx 2F = 11 = 1(0 x l )( i )s1qlFs2 = 2l+ qx212l(0 x2 )( j)M1 = M = q224qx3 1 3l2x 2 ql ( l46+ x2 )2l(0 x1 2 )l(0 x2 2 )(k) ( l )2画剪力、弯矩图依据式(i)、(j)可绘剪力图，如图(2)所示；依据式(k)、(l ) 可绘弯矩图，如图(3)所示。注意在 x2 = l / 4 处有 Fs2 = 0 ，此处 M 2 有极值，其绝对值为M 2 max =7ql 2965-10在图示梁上，作用有集度为 m = m (x)的分布力偶。试建立力偶矩集度、剪力 与弯矩间的微分关系。题 5-10 图解：在 x 处取 dx 微段，画其受力图，如图 5-10 所示。10根据图示，由得 M C= 0，M + dM M Fs dx m(x)dx = 0dM = Fs dx + m(x)dx或写成其中 C 系指微段右端截面的形心。 又由dM= Fs + mdx(a) Fy得= 0，Fs + dFs Fs = 0dFs = 0或写成dFs = 0dx(b)式(a)和(b)即为本题要求建立的微分关系。5-11对于图示杆件，试建立载荷集度（轴向载荷集度 q 或扭力矩集度 m）与相应内 力（轴力或扭矩）间的微分关系。题 5-11 图解：在 x 处取 dx 微段，画其受力图，如图 5-11(a)和(b)所示。11根据图(a)，由得 Fx = 0，FN + dF N +q( x)dx F N = 0dF N +q( x)dx = 0或写成根据图(b)，由dF Ndx= q(a) M x = 0，T + dT + m( x)dx T = 0得dT + m( x)dx = 0或写成dT = mdx(b)5-13图示杆件，承受平行于杆轴方向的均布载荷 q 作用。试画杆的内力图，并利 用相应载荷与内力间的微分关系检查内力图的正确性。题 5-13 图(a)解:坐标自左端向右取，内力 FN = 0，Fs = 0 ，故内力图只剩下 M 图了，如图 5-13(a)所示。此种受力情况，相当于梁上承受集度为 m = qh 的分布力偶的情况，利用微分关系（见题125-10 式(a)）。dM= Fs + mdx可以检查 M 图的正确性。这里， Fs = 0，m = qh 为正的常值，表明 M 图应为上倾斜直线。 图中正是这种斜直线，说明所画 M 图是正确的。(b)解：坐标自左端向右取，剪力、弯矩图及轴力图依次示于图 5-13(b)的(1)、(2)和(3)。此种受力情况，相当于杆上作用有载荷集度为 q 的均布轴向载荷和集度为 m = qh / 2 的均布力偶。y 方向无分布载荷作用，即 q y= 0 ，利用微分关系13dFsdx= q y = 0检查 Fs 图，斜率为 0，应为水平直线，这是对的。利用微分关系dMqh / 2= Fs + m = dx 3qh / 2（左半段）（右半段）检查 M 图，左半段为正常数，应为上倾斜直线，对的；右半段为负常数，应为下倾斜直线，且斜率是左边的三倍，也是对的。 利用微分关系dFNdx= q检查 FN 图，斜率为负常数，应为下倾斜直线，所绘 FN 图是对的。5-14试画图示刚架的内力图。解：内力图示如图 5-14。题 5-14 图145-15试画图示刚架的弯矩图。15解：刚架的弯矩图示如图 5-15。题 5-15 图5-16图 a 所示曲杆 AB，B 端固定，A 端承受集中载荷 F。杆的轴线为四分之一圆弧，半径为 R，横截面的位置用极角 表示，其受力如图 b 所示。试计算截面 的内力，并求杆内的最大弯矩。题 5-16 图解：参看题图(b)，杆段 AC 的平衡方程为 Fn = 0，Fs Fcos = 016 M C= 0，M FRsin = 0 Ft= 0，FN + Fsin = 0由此得到剪力、弯矩及轴力方程依次为Fs = FcosM = FRsinFN = Fsin(a) (b)(c)此即截面 的内力。 由式(b)不难判断，最大弯矩发生在固定端截面 B ，其值为M max = FR5-19图示带传动装置，胶带的横截面为梯形，截面形心至上、下边缘的距离分别为y1 与 y2，材料的弹性模量为 E。试求胶带内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。题 5-19 图解：由题图可见，胶带中性层的最小曲率半径为min = R1依据 = Ey可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为= Ey1t, maxR1和= Ey2c, maxR15-23图示直径为 d 的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h 和 b 应分别为何值；(2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h 和 b 又应分别为何值。题 5-23 图解：(1)为使弯曲强度最高，应使Wz 取最大值。 由172W = bhz6得= b (d 2 b 2 )6由此可得dWzdb= 1 (d 2 3b 2 ) = 06b = 3 d，h =3d 2 b 2 = 6 d3(2)为使弯曲刚度最高，应使 I z 取最大值。由33I = bh = hd 2 h 2z1212得dI z22= 3h (d h 2) h 4= 0由此得dh12d 2 h 2h = 3 d，b =2d 2 h 2 = d25-25图示变截面梁，自由端承受载荷 F 作用，梁的尺寸 l，b 与 h 均为已知。试计 算梁内的最大弯曲正应力。18解：1.求截面 x 处的抗弯截面系数 由于 x 处的截面高度为题 5-25 图h( x) = 2 3h x = 2h x3ll故有2W ( x) = b h 2 ( x) = 2bh x 2z62求截面 x 处的最大弯曲正应力 截面 x 处的弯矩为3l 2该截面上的最大弯曲正应力为M ( x) = F ( x l )2M xFl 2l ( x) =( ) = 3( x )3计算梁内的最大弯曲正应力 由Wz ( x)2bh2 x 22d ( x) = 0dx得1 2 ( x l ) =1 (l x) = 0故梁内的最大弯曲正应力为x 2x3x = l2x3= 3Flmax4bh 25-26图示截面梁，由18 工字钢制成，截面上的弯矩 M = 20kNm，材料的弹性 模量 E = 200GPa，泊松比 = 0.29。试求截面顶边 AB 与上半腹板 CD 的长度改变量。19解：1.查18 工字钢的有关数据题 5-26 图工字钢截面大致形状及尺寸符号示如图 5-26。由附录 F 表 4 查得h = 180mm，b = 94mmzt = 10.7mm，I z2计算顶边 AB 的长度改变量 顶边处有= 1660cm4，W= 185cm3W= Mmaxz 由此可得 AB 边的伸长量为 = = max EAB= b = bM3= 0.29 0.094 20 10 mEWz200 109 185 10 6= 1.474 10 5 m = 0.01474mm3计算上半腹板 CD 的长度改变量距中性轴 z 为 y1 的点，弯曲正应力的绝对值为 yMy120该处的横向应变为( 1 ) = （这里， y1 以向上为正）Iz1 = ( y ) = My1由此可得线段 CD 的伸长量为EI zh1=dy= Mh1y dyMh2z= 1CD01EI0 1z312EI2= 0.29 20 10 0.0793m2 200 109 1660 108= 5.49 10 6 m = 0.00549mm计算中用到 h1 = h / 2 t = 79.3mm。5-29图示矩形截面简支梁，承受矩为 Me=Fa 的集中力偶作用。试绘单元体 ABCD的应力分布图（注明应力大小），并说明该单元体是如何平衡的。截面的宽度为 b，高度为 h。解：1.画剪力、弯矩图题 5-29 图左、右支座的支反力大小均为 F / 3 ，方向是左向上、右向下。据此可画 Fs、M 图，示如图 5-29(a)、(b)。2求单元体两端面上的应力及其合力单元体两端面及纵截面上的应力分布情况示如图(c)，最大弯曲正应力和剪应力值分别为211max= M1 =Wz6Fa3bh2= 2Fa bh22 max= M 2Wz= 4Fa bh23Fs2F1max =2 max =2A2bh由切应力互等定理可知，纵截面上的切应力 x 与 2max 一样大。 左、右端面上弯曲正应力构成的轴向合力分别为F = 1 ( bh ) = Fax121max 22hF= 1 ( bh ) = Fax 222max 2h左、右端面上弯曲切应力构成的竖向合力大小相等，其值为1Fy1 = Fy 2 = F6顺便指出，纵截面上弯曲切应力构成的轴向合力为Fsx= x(ab) = Fa2h3检查单元体的平衡方程是否满足FaFx = 0，Fx 2 Fx1 Fsx =hF FFa Fa = 02h 2h22 Fy= 0，Fy1 Fy 2 = = 06 6 M Z 1 = 0，Fx 2hh3 Fx1 3 Fy 2 a =Fa Fa Fa = 0366由此可见，单元体的全部平衡方程均能满足（另三个平衡方程是恒等满足，无需写出）。5-30梁截面如图所示，剪力 F s = 200kN，并位于 x-y 平面内。试计算腹板上的最大 弯曲切应力，以及腹板与翼缘（或盖板）交界处的弯曲切应力。(a)解：首先，确定截面形心位置题 5-30 图y = 0.020 0.100 0.010 + 0.120 0.010 2 0.080 mC 0.020 0.100 + 0.120 0.020= 0.04818m其次，计算惯性矩和截面静矩(C到顶边之距)3I = 0.100 0.020z123+ 0.100 0.020 0.038182 + 2 0.010 0.12012S z ,max+ 2 0.010 0.120 0.03182 2 m 4 = 8.292 10 6 m 4= 0.09182 0.020 0.09182 m 3 = 8.431 10 5 m 32zS = 0.100 0.020 0.03818m 3 = 7.636 10 5 m 3最后，计算弯曲切应力。腹板上的最大弯曲切应力为3F S=s z , max= 200 10 8.431 105N = 1.017 108 Pa = 101.7MPamaxI z 8.292 10 6 0.020m2腹板与翼缘交界处的弯曲切应力为3= Fs S z= 200 10 7.636 10 53N = 9.21107 Pa = 92.1MPa23z交界I 8.292 10 6 0.020m 2(b)解：首先，确定截面形心位置（采用负面积法）y= 0.110 0.150 0.075 (0.110 0.020) 0.100 0.070 mC0.110 0.150 (0.110 0.020) 0.100= 0.081m(C到顶边之距）其次，计算惯性矩和截面静矩（算 I z 时也采用负面积法）3I = 0.110 0.150z12+ 0.110 0.150 (0.081 0.075) 2 0.090 0.10012+ 0.090 0.100 (0.081 0.070) 2 m 4 = 2.294 10 5 m 4S= 0.030 0.110 (0.069 0.015) + 0.020 (0.069 0.030) 2 1 m 3z ,max2= 1.934 10 4 m 3S z上S z下= 0.020 0.110 (0.081 0.010)m 3 = 1.562 10 4 m 3= 0.030 0.110 (0.069 0.015)m3 = 1.782 10 4 m 3最后，计算弯曲切应力。腹板上的最大弯曲切应力为F S=s z , max= 200 10 1.934 104N = 8.43 107 Pa = 84.3MPamaxI z 2.294 10 5 0.020m2腹板与上盖板交界处的弯曲切应力为= Fs Sz上33= 200 101.562 104N = 6.81107 Pa = 68.1MPa交界上I z 2.294 10 5 0.020m2腹板与下盖板交界处的弯曲切应力为F S = s z下3= 200 101.782 10 4N = 7.77 107 Pa = 77.7MPa交界下I z 2.294 10 5 0.020m 25-33图示铸铁梁，载荷 F 可沿梁 AC 水平移动，其活动范围为 0 3l / 2。试确 定载荷 F 的许用值。已知许用拉应力 t =35MPa，许用压应力 c =140MPa, l=1m。题 5-33 图 解：1.确定截面的形心位置及对形心轴 z 的惯性矩 由图 5-33 可得y= ( 0.100 0.020 0.010 + 0.080 0.020 0.060 )m = 0.03222mC0.100 0.020 + 0.080 0.020243I = 0.100 0.020z12+ 0.100 0.020 0.02222 2 + 0.020 0.080312+ 0.020 0.080 (0.060 0.03222) 2 m 4 = 3.142 10 6 m 42确定危险面的